知识讲解-直线与抛物线的位置关系-基础

知识讲解-直线与抛物线的位置关系（理）-基础

直线与抛物线的位置关系

【学习目标】

1■能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物

线的方程;

2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离

心率、准线）解决相关问题;

3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方 程组解的

问题，判断位置关系及解决相关问题 •

【知识网络】

抛物线

抛物线的准线

抛物线

【要点梳理】 要点一、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点F 和一条定直线I （ l 不经过 点

F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛 物线的焦

点，定直线I 叫做抛物线的准线.

抛物线

直线与抛

抛物线

抛物线

要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F （即焦点），一定直线（即准线），一定值（（即动点M 到定点F的距离与定直线I的距离之比）

要点二、抛物线的标准方程

抛物线标准方程的四种形式：

要点诠释：求抛物线的标准方程应从定形”、定式

和定值”三个方面去思考•定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据形”设抛

物线方程的具体形式；定值"是指用定义法或待定系数法确定p的值•

要点三、抛物线的几何性质

范围：｛XX 0｝，｛yy R｝,

抛物线y2=2px (p>0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x, y)的横坐标满足不等式x》0当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。

对称性：关于x轴对称

抛物线y2=2px (p > 0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点

抛物线y2=2px (p>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0, 0)。

离心率：e 1.

抛物线y2=2px (p >0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离

的比，叫做抛物线的离心率。用e表示，e=1 抛物线的通径

通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径

要点三、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程y kx m与抛物线的方程y2=2px (p> 0) 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为△.

2

ky 2py 2 pm 0

若k 0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若k 0

①厶〉0 直线和抛物线相交，有两个交点；

②厶二0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③△< 0直线和抛物线相离，无公共点.

直线与抛物线的相交弦

设直线y kx m交抛物线务岭1 (a 0,b 0)于点P(x,,y i)卫化小), a b

两点，则

L 2 2

| PP21 V(x i X2) (y i y2)

=.(x i X2)2[1 (y i y2)2] = -.1 k2|X i X2I

\ X i X2

同理可得1PP2I i i I y i y2i (k 0)

这里Ix i X2|,|y i y2|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题

已知过抛物线y22px(p 0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两

点。

设A(x i,y i), B(X2,y2)，则:

①焦点弦长| AB| X i X2 p或|AB|上2=(为AB的倾斜角)

sin

2

②X1X2 —，y』2 -p2

4

③金話P，其中|AF|叫做焦半径，|FA| X i I

④焦点弦长最小值为2p。根据|AB|単可见，当为-时，

sin 2 7即AB垂直于X轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.

【典型例题】

类型一：抛物线的方程与性质

例I •顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点

M(4，8)的抛物线有几条？求出它们的标准方程.

【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M (4,8)，所以可设它的标准方程为y2 2px或X2 2py(p 0)因为点M在抛

物线上，所以64 8p或I6 i6p即

P 8或p 1

,因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是

y 2

16x 或 x 2

2y

【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨 论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程 是解决问题的关键•

举一反三：

【变式1】若抛物线通过直线y 卜与圆X 2

+ y 2

+ 6x = 0 的

两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程.

1

y 2X 得 X 0

，

x 2

y 2

6x 0

y 0

根据题意可设抛物线的方程为 =—2px(p>0)，

则(24, ¥)在抛物线上，二m = 方程为X

2

48

y

或y

2

6x

5

5

【变式2】已知定点F(0,2)，若动点M(x ，y)满足|MF | =y + 2,则点M 的轨迹方程为 _______________ .

【答案】由已知得点 M 到点F 的距离等于点M 到 直线y =

— 2的距离，故点M 的轨迹方程为x 2

= 8y. 类型二：直线与抛物线的位置关系

例2 .过定点P(0,2)作直线I ，使I 与抛物线y 2

= 4x

24

或％壬 或 12，

y

石

【答案】由