数学的四种抽象思维

数学的四种抽象思维

可能接触过数学的人都有体会，数学有一个大的特点就是抽象。而数学对象都是抽象

思维的产物。所谓抽象思维，一般指抽出同类事物的共同的、本质的属性或特征，舍弃非

本质的属性或特征的过程。如此看来，那些待抽象出来的本质属性或特征原本就存在于同

类的事物中，抽象的过程是把它们分离出来，当然了有时还要先对事物进行分类或识别；

抽象出来的属性或特征，必须是事物的本质属性或特征，是决定其他非本质的属性或特征

的东西。

弱抽象

一般地，如果说经过抽象的数学对象，在概念外延上更宽广一些，而在内涵或结构上

相对弱一些，这种抽象为“弱抽象”。简单的说，就是减弱数学结构的抽象。而从貌似不

同的同类的数学对象中找出共同的东西，在众多的属性或特征中辨认出本质属性与特征的

抽象法则，称为“特征分离概括化法则”。

强抽象

而区别于弱抽象的从同类数学对象中抽取属性或特征的另外一种抽象类型，通过把新

特征引入原有数学结构加以强化而形成，这种抽象即为“强抽象”。而经过强抽象后获得

的数学对象，在概念的外延上更窄一些，内涵上更丰富具体一些。也由于这些数学对象更

具体，更接近于现实世界，特别是那些为人们的感觉经验无法直接把握的世界。强抽象可

以把一些表面上看来互不相关的数学概念联系起来，引进新的关系结构，把新出现的性质

作为特征规定下来，这种抽象思维法则是“关系定性特征化法则”。该法则要求使用人有

渊博的知识背景和较大的思维跨度，同时对数学整体的内在统一性有较深刻的理解。

希尔伯特曾说过：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个

部分之间的联系，……数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且这门

科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，

它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来。”

在具有对偶关系的数学结构之间，根据对偶性质，由已知数学结构引导到与之对偶的

新的数学结构的抽象思维法则称为“结构关联对偶化法则”，它是“关系定性特征化法则”在特定场合的具体应用。

构象化抽象

构象化抽象的产物，多是一些不能由现实原型直接抽取的，完全理想化的数学对象，

比如只有位置没有大小的点，没有粗细而可延伸的直线等，都是出于数学发展的逻辑需要

而构想出来的，其作用在于可以作为一种新元素添加到某种数学结构系统中，使之具有完

备性，即在结构系统中畅行无阻。该类型抽象思维法则为“新元添加完备化法则”。比如有理数系统添加无理数，使得实数具有完备性。

公理化抽象

该类抽象具有完全理想化的色彩，其产物并非新的数学概念，而是对新的公理的完全理想化的构想。这种公理化抽象的作用自然在于更换公理，以排除数学悖论，使整个数学理论体系恢复和谐统一。其抽象法则是“公理更新和谐化法则”。

数学抽象思维的发展是具有层次性的，最低的层次是感性认识直接把握的现实世界数量关系。经过初步的弱抽象和强抽象，可以获得较低层次的思维中的“具体”。随着数学家们对思维中的“具体”的熟悉，它们也会带有某些感性特征，称为新的抽象的出发点。因此，在数学的抽象思维的发展过程中，抽象与具体也是相对的。

来源：究尽数学

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