《数学分析》第五章导数和微分3

M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
五、微分的求法
d yf(x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量 y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y su i ,u n 2 x 1 . dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x 例4 设 ye as x ibn ,求 xd.y 解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的微
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x
dy f(x). dx
即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 " 商 .
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
d(1si n tC)co tsd. t
(2)dd(s( inxx)2)2xc1oxsd2xdx4x xcox2s, 2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
六、微分形式的不变性
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
思考题
因 为 一 元 函 数 yf(x)在 x0的 可 微 性 与
可 导 性 是 等 价 的 ， 所 以 有 人 说 “ 微 分 就 是 导 数 ， 导 数 就 是 微 分 ” ， 这 说 法 对 吗 ？
(2) 充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ( x 0 微 ) A .
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .
解 d y(x3)x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0).
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ), yAo(x),
x
x
则 lim yA lim o( x)A.
x 0 x
x 0 x
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(c x ) o sx s i .n d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
Baidu Nhomakorabea
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
★ 导数与微分的区别:
1.函数 f(x)在点 x0处的导数是一 f(x个 0),定 而微d分 yf(x0)(xx0)是xx0的线性,它 函数 的定义R域 ,实是 际,它 上是无.穷小
x l x i 0 d m x l y x i 0fm ( x 0 )x ( x 0 )0.
2.从几何意义 , f上 (x0来 )是看 曲y线 f(x)在 点(x0, f(x0))处切线的 ,而斜微率 d分 yf(x0) (xx0)是曲y线 f(x)在点 (x0, f(x0))处的切 线方程x在 0的点纵坐标 . 增量