《数学分析》第五章导数和微分3
数学分析第五章第一节
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西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若令 x 0 ∆ 注 (2)若令 x= x +∆ 则 x→ ⇔x→x 0 0
f (x)− f (x ) 0 f ′(x ) = lim 0 x→ 0 x x−x 0
, 从而
f (x +∆ )− f (x )可变化为 x 0 0 f 0 即 ′(x ) = lim x 0 ∆→ x ∆ f (x +h − f (x ) ) f (x)− f (x ) 0 0 0 f ′(x ) =lim = lim 0 h 0 x→ 0 x → h x−x 0 f 0 在 例若 ′(x )存 ,则 f (x −∆ )− f (x ) x 0 0 lim =−f ′(x ), 0 x 0 ∆→ x ∆ f (x )− f (x −h ) 0 0 lim = f ′(x ). 0 h 0 → h
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点处的可导性： 例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性：
1 x≠0 xsin (1 f (x) = ) ; x x=0 0 1 2 x≠0 x sin (2 f (x) = ) . x x=0 0
1 xsin f (x)− f (0 ) x =lim 1不 在 存 ) 为 解 (1因 lim sin =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x−0 x x
(四)左右导数 四 左右导数
则称此极限值为函数ƒ(x)在点 0处的右导数.也称 在点x 右导数.也称ƒ(x)在点 0的右 在点x 则称此极限值为函数 在点 在点 可导. 可导 记作
左导数. 也称ƒ(x)在点 x0 左可导 记 限值为函数 ƒ(x)在点 x0 处的左导数 也称 在点 在点 左可导. 作
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
《导数与微分》ppt课件
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
[高等教育]《数学分析》17第五章 导数与微分
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第五章 导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下：1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。
总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念[学习目的] 使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
[学习要求] 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
[学习重点] 导数的概念。
[学习难点] 导数的概念。
[教学方法]“系统讲授”结合“问题教学”。
[学习程序]一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。
后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
导数与微分课件
导数的计算
导数的计算可以通过使用导 数的定义和基本的微积分规 则。
导数的应用
导数的应用包括函数的单调 性、极值点和图像与导数的 关系。
微分的定义
增量与微分
微分是通过增量的概念进行定 义的，它描述了函数在某一点 上的变化情况。
微分的几何意义
微分具有几何意义，可以用来 描述件
欢迎来到本次的导数与微分ppt课件！在本课件中，我们将介绍导数和微分的 概念，探讨它们的应用和真实世界中的案例，帮助您更好地理解这一重要的 数学概念。
什么是导数和微分
我们将开始本次课程的旅程，从导数与微分的概念入手。导数是函数在某一点上的变化率或斜率。微分是通过 导数对函数进行近似的方法。让我们深入了解这两个重要的数学概念。
导数和微分的关系
1 密切联系
导数和微分是密切相关的 概念，导数提供了微分的 基础。
2 应用广泛
3 互相补充
导数和微分在数学和实际 应用中都起着重要的作用， 例如函数的图像和曲线拟 合。
通过导数和微分，我们可 以更好地理解函数的性质 和变化规律。
导数的定义
极限的概念
导数的定义涉及到极限的概 念，即函数在某一点上的变 化率。
微分的计算
微分可以通过使用微分的定义 和数学推导方法进行计算。
微分的应用
1
极值问题
微分可以帮助解决极值问题，即找到函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
微分还可以应用于最优化问题，例如在限制条件下求函数的最大或最小值。
3
凸函数与微分
微分可以用于研究凸函数，以及凸函数与微分之间的关系。
总结
通过本次课程，我们深入了解了导数与微分的关系，学会了计算导数和微分， 并了解了它们在实际问题中的应用。下一节课，我们将进一步学习函数的积 分。
《导数和微分 》课件
极值与导数
总结词
导数的零点通常是函数极值点，可用 于判断和求解极值。
详细描述
函数在极值点的一阶导数为零，且在 极值点左右两侧的导数符号相反。
曲线的凹凸性与导数
总结词
导数的正负决定了曲线的凹凸性，二 阶导数的符号可用于判断。
详细描述
当一阶导数大于0时，曲线为凹；当 一阶导数小于0时，曲线为凸。二阶 导数大于0时，曲线为下凸；二阶导 数小于0时，曲线为上凸。
导数可以帮助我们更准确地描 绘函数的图像，了解函数在不
同区间的变化情况。
导数在物理中的应用
01
02
03
04
速度与加速度
在物理中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度，例如瞬 时速度和瞬时加速度的计算。
弹性分析
在弹性力学中，导数可以用来 分析物体的弹性性质，例如弹
性模量、泊松比等。
能量变化
在物理过程中，导数可以用来 计算能量的变化率，例如热传
在物理学中，导数可以用于描述物理量的变化率，如速度和加速度。通过导数的 计算，可以得到物体运动的速度和加速度，从而更好地理解物理现象的变化规律 。
02
导数的性质
函数单调性与导数
总结词
导数与函数单调性密切相关，导 数的正负决定了函数的增减性。
详细描述
当函数在某区间的导数大于0时， 函数在此区间单调递增；当导数 小于0时，函数在此区间单调递减 。
复合函数的微分
复合函数的概念
01
由多个基本初等函数通过有限次复合而形成的函数称为复合函
数。
复合函数的导数
02
根据链式法则，可以求出复合函数的导数，进而得到其微分。
微分在求复合函数增减性中的应用
§5.5 微分 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0()f x '*点击以上标题可直接前往对应内容微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的如果给边长x 一个增量, 正方形面积的增量Δx 的线性部分和的高阶部分( )2.Δx 2Δx x Δx Δx 此时, 当边长x 增加一个微小量时,可用Δx Δx ΔS 微分的概念222Δ()2()S x x x x x x =+∆-=∆+∆由两部分组成:设一边长为x 的正方形, 它的面积S = x 2是x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.数.后退前进目录退出因的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量Δx2(Δ),x即以为边长的小正方形(如图).Δx2xΔx x2Δx定义500Δ(Δ)()y f x x f x =+-可以表示成ΔΔ(Δ),(1)y A x o x =+设函数0(),().y f x x U x =∈并称为 f 在点处的微分, 记作ΔA x 0x 其中A 是与无关的常数, 则称函数f 在点0x Δx 由定义, 函数在点处的微分与增量只相差一个0x 关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.Δx d y Δx ,d 0x A y x x ∆==()(2).d 0x A x f x x ∆==或更通俗地说, 是的线性近似.Δy d y 如果增量可微,定理5.10Δ(1).ΔyA o x=+于是00d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且证(必要性)如果在点可微, 据(1) 式有f 0x 0Δ0Δ()lim Δx yf x x →'=即在点可导, 且f 0x 0().f x A '=函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x Δ0lim ((1)),x A o A →=+=(充分性) 设在点处可导,f 0x 0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+00d ()Δ.x x yf x x ='=且f 则由的有限增量公式说明函数增量可Δy 表示为的线性部分,与关于的高x ∆0()Δf x x 'Δx 所以在点可微,f 0x 阶无穷小量部分之和.(Δ)o x 定理5.1000d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙Δ,y RQ =它是点P 处切线相在点的增量为f 0x d ,y RQ '=而微分是应于的增量.Δx 当很小时,两者之差相比于|Δd |y y Q Q '-=|Δ|x |Δ|x 将是更小的量(高阶无穷小).微分概念的几何解释:更由于0Δ0Δ0Δd limlim()0,Δx x y y Q Qf x xRQ →→'-'=='故若0()0,f x '≠Δ0lim 0.x Q Q RQ →'='这说明当d ()Δ,,(3)y f x x x I '=∈的高阶无穷小量.QQ 'RQ '还是Δ0,x →时若函数在区间上每一点都可微,则称是上f I f I 它既依赖于,也与有关.Δx x ()f x I 在上的微分记为的可微函数.则得到0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙d ()d ,.(4)y f x x x I '=∈(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看所以导数也称为微商. 习惯上喜欢把写成,于是(3) 式可改写成Δx d x d d Δ.y x x ==这相当于的情形,此时显然有y x =d (),d yf x x '=(5)积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商, 即更多的好处将体现在后面d (sin )cos d ;x x x =d()ln d .x xa a a x =1d()d ;x xx ααα-=例12()()d ()()d ()3.d ;()()u x v x u x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.d (())()()d ,().f g x f u g x x u g x ''==其中由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:1.d (()())d ()d ();u x v x u x v x ±=±2.d(()())()d ()()d ();u x v x v x u x u x v x =+d ()d ,u g x x '=由于故运算法则4 又可以写成微分的运算法则d ()d .y f u u '=解2222ln d()d(ln )sin d()x x x x x x =+-2(2ln 12sin )d .x x x x =+-它在形式上与(4)式完全一样, 不管是自变量还u 例2 求的微分.22ln cos y x x x =+这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量( 另一个变量的可微函数) 上式都成立.22d d(ln cos )y x x x =+22d(ln )d(cos )x x x =+2222d(cos )sin d()2sin d x x x x x x =-=-这里在的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求的微分.123e ++=x x y 解3213d e d(21)x x y x x ++=++3221(32)e d .x x x x ++=+§5 微分微分的概念微分的运算法则微分在近似计算中的应用高阶微分或写作22d ()d ,y f x x ''=称为f 的二阶微分.d(d )d(()Δ)y f x x '=()ΔΔ()d(Δ)f x x x f x x '''=⋅+则当f 二阶可导时, d y 关于x 的微分为若将一阶微分d ()Δy f x x '=仅看成是的函数, x 注由于与x 无关, 因此x 的二阶微分Δx d(Δ)x =三者各不相同, 不可混淆.2()()f x x ''=∆2()(d ).f x x ''=d(d )x x 2d =,0=22d (d ),x x =它与2d()2d x x x=高阶微分22d ()d ;(6)y f x x ''=当x 是中间变量((),())y f x x t ϕ==时, 二阶微分依次下去, 可由阶微分求n 阶微分:1n -对的n 阶微分均称为高阶微分. 2n ≥当x 是自变量时,的二()y f x =阶微分是为高阶微分不具有形式不变性.)d (d d 1y y n n -=(1)1d(()d )n n f x x --=()()d .n n f x x =22()d ()d .(7)f x x f x x '''=+()2d d ()d y f x x '=()d d ()d(d )f x x x f x x '''=+例422()sin ,(),d .y f x x x t t y ϕ====设求解法一2 () (), sin ,x t y f x y t ϕ===先将代入得.0d 2=x 而当x 为自变量时,它比(6) 式多了一项2()d ,f x x '()x t ϕ=当时,由(6) 得22d ()d x t t ϕ''=不一定为0,22cos ,y t t '=于是.sin 4cos 2222t t t y -=''22222d (2cos 4sin )d .y t t t t =-解法二依(7) 式得222d ()d ()d y f x x f x x'''=+22sin d cos d x x x x =-+2222..sin (2d )cos 2d t t t t t =-+2222(2cos 4sin )d .t t t t =-2()d f x x '如果将漏掉就会产生错误.22d ()d x t tϕ''=§5 微分微分的概念微分的运算法则高阶微分微分在近似计算微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算000(Δ)()()Δ.(8)f x x f x f x x '+≈+000()()()().(9)f x f x f x x x '≈+-(9) 式的几何意义是当x 与x 0充分接近时, 可用点0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+由于由此得Δd .y y ≈记, 即当时，0Δx x x =+0x x ≈故当很小时, 有Δx (8) 式可改写为中的应用公式(9) 分别用于sin x , tan x , ln(1+x ), e x ( x 0= 0 ), ,sin x x ≈,tan x x ≈(),1ln x x ≈+.1e x x +≈例5 试求sin 33o 的近似值( 保留三位有效数字).解π,60x ∆=由公式(9) 得到处的切线近似代替曲线, 这种线性近00(,())P x f x 可得近似计算公式( 试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,606sin 33sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ 0()sin ,,6f x x x π==取sin33sin cos 6660πππ⎛⎫⎛⎫≈+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.545≈2.误差的估计0|Δ|||,x x x x δ=-≤设数x 是由测量得到的, y 是由函数经过()y f x =如果已知测量值x 0 的误差限为,即x δ算得到的y 0= f (x 0) 也是y = f (x ) 的一个近似值. 差, 实际测得的值只是x 的某个近似值x 0. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误计算得到.由x 0计000().(11)||()yx f x y f x δδ'=则当x δ很小时, 量y 0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为0|()|y x f x δδ'=称为y 0 的绝对误差限,而的0y 0()()y f x f x ∆=-0()f x x '≈∆0().x f x δ'≤33001π38792.39cm ,6V d =≈201π2V d d δδ=解以d 0 = 42,0.05d δ=计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:203001π21||π6V d d V d δδ=⨯‰.03 3.57d d δ=≈例6 设测得一球体直径为42cm, 测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的2π420.052=⨯⨯3138.54cm ;≈。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
导数与微分ppt
导数与微分ppt
数导数与微分ppt
一、数导数
1、什么是数导数
数导数是一个函数在某一点处的切线上斜率的数字值，也就是某一点在函数上变动最快的速率。
它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
2、数导数的意义
数导数可用来描述某点处函数变化的快慢程度。
它反映出函数变化对自变量变化的敏感度，利用它们还可以判断函数的极值，求解函数的最值问题。
3、数导数的概念
把一个函数表示为f(x)在x点处的导数，就是用f'(x)来表示了。
可以看成f'(x)是函数f(x)在x 点处的变化速率，也就是它与x的变化之间的关系。
4、数导数的用途
数导数有很多应用，可以用它来解决诸如求两个函数的最小点、求两个函数的最大点等函数最值问题，也可以求得函数图像上弧长、判断函数的性质等等问题。
二、微分
1、什么是微分
微分是我们研究函数的变化时使用的一种数学手段，它可以简化函数
的变化，从而计算函数的变化情况。
2、微分的意义
微分可以求出一个函数的泰勒斯级数展开式，从而可以应用于复杂的
函数计算，同时也是求极限和极小值的必要条件。
3、微分的概念
微分概念很简单，求函数在相邻点处的变化，就可以用微分进行表示，有时也可以用它来表示函数的增长、减少程度等，或者判断函数的变
化趋势。
4、微分的用途
微分可以用来求解各种代数、几何以及曲线图形的微分，还可以确定
函数在某点上的角度，求函数的泰勒斯展开式，判断函数的性质等。
数学分析教案(华东师大版)导数和微分
数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。
1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。
1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程。
第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。
强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。
2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。
2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。
第三章：导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。
3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。
3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。
第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n 次。
导数与微分的定义通用课件
目录
• 导数定义与性质 • 微分定义与性质 • 导数与微分的关系 • 导数与微分在各领域的应用 • 导数与微分常见问题解析
01
导数定义与性质
导数的定义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数 值随自变量变化的速率。
符号表示
用 f'(x) 表示函数 f 在 x 处的导数。
单调性与极值综合问题
掌握如何结合单调性和极值解决综合问题的方法。
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导数的性质
线性性质
若 c 是常数，f 和 g 是可导函数，则 (c * f)' = c * f' 和 (f + g)' = f' + g'。
链式法则
若 u = g(x) 是可导函数，y = f(u) 是可导函数，则 (f ∘ g)' = f'(g(x)) * g'(x)。
乘积法则
若 f 和 g 是可导函数，则 (fg)' = f'g + fg'。
03
导数与微分的关系
导数是微分的商
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在这一点上切线的斜率，用微 分除以自变量的增量得到。
导数表示函数在某一点附近的小范围 内变化的速度或趋势，是微分的一种 数学表达。
导数与微分的应用
01
导数在经济学中用于研究边际 成本、边际收益和边际利润等 概念，帮助理解经济行为的变 化趋势和最优决策。
详细描述
在物理学中，导数和微分被用于描述物体的速度、加速度、温度变化、电磁场等物理量随时间或空间 的变化规律。例如，在经典力学中，物体的速度和加速度可以通过导数和微分来计算；在热力学中， 温度的变化率可以用导数来描述。
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
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（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
ppt课件
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例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
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（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
数学分析第五章 导数和微分
(2) 求分段函数在分段点的导数.
例7
设f
(x)
1
cos x,
x,
x 0, 讨论f (x)在x 0处的左右 x 0.
导数与导数.
解 由于
f
(0
x) x
f
(0)
1 cosx , x 1,
f
(x)
f
(x0 )，
f
'
(
x0
)
0时,
0,当x (x0, x0
)时,
f
(x)
f
(x0 )，
f
'
(
x0
)
0时,
0,当x (x0, x0
)时,
f
(x)
f
(x0 )。
2 定理 (费马定理)
定理5.3 设函数f在点x0的某邻域内有定义, 且 在点x0可导;若点x0为f的极值点, 则必有 f (x0 ) 0
例3 求函数 f (x) x2在点x 1处的导数,并求曲线在 点(1 , 1) 处的切线方程.
解: 由定义求得
f '(1) lim f(1 x) f(1) lim (1 x)2 1
x 0
x
x x0
x
lim 2x x2 lim (2 x) 2
x0 x
x 0
由此知道抛物线 y x2在点(1 , 1)处的切线斜率为
存在, 则称函数f在点x0处可导, 并称该极限为函数f在点x0
处的导数,记作f (x0 ).
即
f
(x0
)
lim
x0
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思考题
因 为 一 元 函 数 yf(x)在 x0的 可 微 性 与
可 导 性 是 等 价 的 ， 所 以 有 人 说 “ 微 分 就 是 导 数 ， 导 数 就 是 微 分 ” ， 这 说 法 对 吗 ？
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
d(1si n tC)co tsd. t
(2)dd(s( inxx)2)2xc1oxsd2xdx4x xcox2s, 2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(c x ) o sx s i .n d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
五、微分的求法
d yf(x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0).
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ), yAo(x),
x
x
则 lim yA lim o( x)A.
x 0 x
x 0 x
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
x l x i 0 d m x l y x i 0fm ( x 0 )x ( x 0 )0.
2.从几何意义 , f上 (x0来 )是看 曲y线 f(x)在 点(x0, f(x0))处切线的 ,而斜微率 d分 yf(x0) (xx0)是曲y线 f(x)在点 (x0, f(x0))处的切 线方程x在 0的点纵坐标 . 增量
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d u
d( ) v
v2
例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量 y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y su i ,u n 2 x 1 . dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x 例4 设 ye as x ibn ,求 xd.y 解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的微
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x
dy f(x). dx
即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 " 商 .
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
六、微分形式的不变性
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
★ 导数与微分的区别:
1.函数 f(x)在点 x0处的导数是一 f(x个 0),定 而微d分 yf(x0)(xx0)是xx0的线性,它 函数 的定义R域 ,实是 际,它 上是无.穷小
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .
解 d y(x3)x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
(2) 充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ( x 0 微 ) A .