5-5——华东师范大学数学分析课件PPT

3.
d
u( x) v( x)
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
当 | Δ x | 很小时,两者之差 | Δy dy | QQ 相比于
| Δ x | 将是更小的量(高阶无穷小). 更由于
Δy dy lim Δ x0 Δ x
lim QQ Δ x0 RQ
f ( x0 ) 0 ,
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
故若 f ( x0 ) 0 , 则得到 lim QQ 0 . Δ x 0 RQ
的应用
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§5 微分
微分的概念
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的
线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函
数. 如果给边长 x 一个增量 Δx , 正方形面积的增量
(3)
它既依赖于 Δ x , 也与 x 有关.
数学分析 第一章 实数集与函数
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§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
习惯上喜欢把Δ x 写成 d x ,于是 (3) 式可改写成
d y f ( x)d x , x I .
(4)
这相当于 y x 的情形, 此时显然有 d y dx Δ x .
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
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§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
数学分析 第一章 实数集与函数
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§5 微分
微分的概念
微分概念的几何解释:
f 在点 x0 的增量为 Δy RQ,
微分的 运算法则
y
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
Q•
y f (x) •
Q
dy
Δy
P•
•
R
而微分是 dy RQ,
O
x0 x0 Δ x x
它是点 P 处切线相 应于Δ x 的增量.
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
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§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
定义5
设函数 y f ( x), x U ( x0 ). 如果增量
Δ y f ( x0 Δ x) f ( x0 ) 可以表示成
Δ y AΔ x o(Δ x),
(1)
其中 A 是与 Δ x 无关的常数, 则称函数 f 在点 x0
可微, 并称 AΔx 为 f 在点 x0 处的微分, 记作
dy Ax, 或df x Ax. (2)
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
此时, 当边长 x 增加一个微小量Δ x 时, Δ S 可用 Δ x
的线性部分来近似.
数学分析 第一章 实数集与函数
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即 f 在点 x0 可导, 且 f ( x0 ) A .
数学分析 第一章 实数集与函数
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§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
定理5.10
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可 导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由此产生的误差是一个关于 Δx 的高阶无穷小量 (Δx)2, 即以 Δx 为边长的小正方形(如图).
Leabharlann Baidux2
xΔ x
Δx 2
xΔ x
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微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
数学分析 第五章 导数和微分
§5 微分
若在有限增量公式
y f ( x0 ) x o( x)
中删去高阶无穷小量项,
则得 y 关于 x 的一个线
性近似式,这就是“微 分”;其中的线性因子f (x0) 即为导数.所以,微分和导 数是一对相辅相成的概念.
一、微分的概念 二、微分的运算法则 三、高阶微分 四、微分在近似计算中
微分的 运算法则
y
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
Q•
y f (x) •
Q
dy
Δy
P•
•
R
这说明当
O
x0 x0 Δ x x
Δ x 0 时, QQ 还是 RQ 的高阶无穷小量.
若函数 f 在区间 I 上每一点都可微,则称 f 是 I 上
的可微函数. f ( x) 在 I 上的微分记为
d y f ( x)Δ x, x I ,
(充分性) 设 f 在点 x0 处可导,则由 f 的有限增量 公式 Δ y f ( x0 )Δ x o(Δ x), 说明函数增量 Δ y 可
表示为 x 的线性部分 f ( x0 )Δ x ,与关于Δ x 的高
阶无穷小量部分 o(Δ x) 之和.所以 f 在点 x0 可微,
且 d y x x0 f ( x0 )Δ x .
x x0
x x0
由定义, 函数在点 x0 处的微分与增量只相差一个 关于Δ x 的高阶无穷小量,而 d y 是 Δ x 的线性函数.
更通俗地说, dy 是 Δ y 的线性近似.
数学分析 第一章 实数集与函数
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§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
定理5.10
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0