理学数学分析导数与微分

1
x
x 0 ，ln x / 1 x
x 0
.
例6.求 y x 的导数.
例7.求 y x x 的导数.
注. 对 y f x g x , 先取对数, 再求导, 称为
对数求导法.
注. 若初等函数在定义域内可导, 则其导函数 仍是初等函数.
§3 微分的概念
1.无穷小量阶的比较
定义. 设 lim x 0，lim x 0 且 x 0 .
2.隐函数求导法
若函数 y f x 由一个关于 x 与 y 的方程
决定, 该函数称作隐函数. 求隐函数导数的方法: 方程两端关于 x 求导, y 是 x 的函数.
例. 求由 y sin y x 00 1 所确定函 数 y f x 的导数.
例2. 求由 e xy x2 y 1 0 确定的函数 y y x
注.一个函数在一点的导数恰好等于其反函数 在对应点导数的倒数.
例3.求 y arcsin x 和 y arccos x 的导数.
注.
arcsin
x
arccos
x
2
例4.求 y arctan x 和 y arccot x 的导数.
例5.求 y loga x a 0,a 1 的导数.
注. ln x/
有极限位置;
而
y
1
x3
在
0,0 是有切线的,
切
线是 y 轴.
因此, y f x 在 x0 可导,则曲线在 x0, f x0
处有非垂直切线. 有切线并不意味着可导.
§2 复合函数与反函数的导数
1.复合函数的导数
定理2.1.设 y f x 在 a,b 有定义,值域包含
在 A, B 中,又设 z g y 在 A, B 有定义.若
处连续.
注. 连续是可导的必要条件, 但不充分.
3.导数的四则运算
定理1.2.设 y f x, y g x 在a,b 可导, 则
(1) y f x g x在 a,b 可导, 且
f x g x/ f / x g / x ;
(2) y f x g x在a,b 可导, 且
4.函数的可导性
定义.若 lim f x0 x f x0 存在, 则称之
x00
x
为 f x 在 x0 的右导数,记为 f / x0 0 .
类似地, 若 lim f x0 x f x0 存在, 则
x00
x
称之为 f x 在 x0 的左导数, 记为 f / x0 0 .
例2. sin x/ cos x
注. 同理 cos x/ sin x
例3. 设m为一自然数, 则 xm / mxm1 . 注.下一节证明 R, x / x1. 例4. 证明: ex / ex
注.下一节证明 a x / a x lna a 0.
2.可导与连续
定理1.1.设 y f x 在 a 处可导, 则它在该点
的导数.
3.反函数的导数
定理2.2. 设 y f x 在a,b 连续且严格单
调, 其值域为 A, B , 又设其反函数 x g y 在 A, B 内 y0 处有导数, 且不为 0 , 则 y f x
在 x0 g y0 处有导数, 且
f
/
x0
g/
1
y0
或
f
/
x0
g/
1
f x0
xa
xa
假若
lim
xa
x x
l
0
，
则称 x 与 x 是同阶无穷小量.
若 l 1, 则称 x 与 x 是等价无穷小量, 记作 x ~ x x a .
假若
lim
xa
x x
0
，
则称 x 是比 x 更高阶的无穷小量.
记作 x o x x a .
若存在 0及 M 0 , 使得
y f x 在 x0 a,b可导, z g y在相应
的 y0 f x0 可导,则 z g f x在 x0 可导,且
dg f x
dx
g / y0 f / x0
x x0
或写作
dz dz dy
dx xx0
dy y y0
dx xx0
注.如果y f x及z g y 在各自定义域内
x x M,
x x0
x0
x
存在, 则称这个函数在x0 可导，并称这个极限值
为 f x 在 x0点的导数或微商, 记作 f / x0 或 df
或 dy .
dx x0
dx x0
如果 y f x 在定义域 a,b中每一点导 数都存在, 那么称 f x在 a,b可导, y f / x
称作导函数.
例1. 常数函数的导数处处为0 .
可导,那么
dg f x g/ f x f / x dx
或简写成
dz dz dy dx dy dx
一般称之为链式法则.
例1.求下列函数的导数 (1) y sin2 x
(2) y cos xn
(3) y e x2
(4)
y
x
12
e
x
3
(5) y sin e x 1
注. a x / a x ln a a 0
f x g x/ f / x g x f x g / x
(3)若g 且
x
f
0,x
x /
a f
,b, 则 பைடு நூலகம் xg
y
x
f g
f
x x x
在 g/
a,b
x
可导,
g
x
g x2
例5.求下列函数的导数 (1) y ex cos x (2) y ex sin x (3) y tan x (4) y an xn an1xn1 L a1x a0 (5) y sin2 x
第二章 导数与微分
§1 导数的概念及其四则运算 1.导数定义
定义.设y f x 在 a,b有定义, 考虑一个增 量x , x 0, 且使得 x0 x a,b, 记
y f x0 x f x0 ,
称为函数关于x的增量, 有时也记作 f .
若极限
lim y lim f x0 x f x0
注. 函数在一点可导的充要条件是:在该点左 右导数都存在且相等.
例6.证明:
y
x
sin
1 x
0
可导.
x 0在 x 0 连续, 但不
x0
例7.证明:
y
1
x3
在
x 0 没有导数.
注. 从几何上看 y xsin 1 的曲线在 0,0没有
x
切线. 当动点趋于 0,0 时, 割线摆动不定, 没