2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)

2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）
、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的
数”的（
6. （5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
7. （5分）我国古代名著 《庄子欧下篇》中有一句名言“一尺之棒,
其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如 图所示的程序框图的功能就是计算截取
7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处
2. 3. （5分）集合 A. 2个
(5分) (5分) 复数 A { 1, 3
2
I (1 I)
已知等比数列 0, 1}, A 的子集中，含有元素 0的子集共有（ ）
B. 4个
C. 6个
D. 8个
B. 2
C. 2i
D. 2i
{a n }的公比为正数，且a 3ga 9 2a ；, a ?
C.
D. 2 4. (5分)
“函数y
2X
1有零点” 是“函数
10g m X 在(0,
）上为减函
A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. （5分）若函数f （x ） cosx ax 为增函数，则实数 a 的取值范围为 B. [1,
C. ( 1,)
D. (1,
C#
D.
日取其半，万世不竭”，
①②③
A i, 7 ? 1
s s _ i i i 1
B i, 128? 1 s s -
i i 2i
C i, 7?
1
s s —
2i
i i 1
D i, 128?
1
s s —
2i
i 2i
8.（5分）若（x2 4）n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为（）
x
A. 1
B. 5
C. 10
D. 20
y-x
M {(x,y)| x- 0 }内随机取一点P,则点P在圆x2
x y, 2
① l// , l // , I m ,则l //m ;
② // , //,m ，则m
A. A
B. B
C. C
D. D
y2 2内部9. （5分）在平面区域
的概率（）
A . -
B .—
10. （5分）已知直线l , m ,平面
C.1
2
D- 34
,给出下列命题:
3f （x ） x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为
线段AB 的中点到直线x 段的距离为1,则p 的值为
若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“ 2021”这个数，则n 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共
60分)
17.( 12分)在 ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且bsin2A asin(A C) 0 .
其中正确的命题有
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11. (5 分)设 F 1 ,
F 2分别为双曲线 2 x
-2
a
2
^z 1（a 0,b 0）的左，右焦点.若在双曲线右支
上存在一点P , 满足 |PF 2 I IF 1F 2I,且F 2到直线PF i 的距离等于双曲线的实轴长,
则该双
曲线的离心率为
B.
11 D.-- 4
12. （5分）已知以T 4为周期的函数
f(x)
m ,1 x , x |x 2|,x
(1,1] (1,3]
其中m 0 ,若方程
B. (4,") 3
C.
3)
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.
13. (5 分)已知 tanx
2 ,求 cos2x
uur
14. （5分）若D 点在三角形 ABC 的边BC 上，且CD uur 4DB uur rAB
uur
sAC ，则3r s 的值为 15. （5分）已知A, B 两点均在焦点为 F 的抛物线
2
y 2px(p
0)上,
若 |AF | |BF | 4,
16. （5分）观察下列算式:
13 23
3 5,
33 7 9 11, 43
13 15 17 19
A .
D.
(I)求角A ;
(n)若a 3, ABC的面积为3叵，求1 1的值.
2 b c
18.(12分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为［50, 60), ［60, 70), ［70, 80), ［80, 90), ［90, 100),据此解答如下问题.
(1)求全班人数及分数在［80 , 100］之间的频率；
(2)现从分数在［80, 100］之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数
在［90, 100］的份数为X ,求X的分布列和数学望期.
19.(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB 4, AD 2, E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D至UP,且PC PB
(1)求证：PO 面ABCE.
(2)求AC与面PAB所成角的正弦值.
2 2 -
20.(12分)已知椭圆— 2~2 1(a b 0)过点(0,1),且离心率为——•直线l与x轴正半 a b 3
轴和y轴分别交于点Q、P ,与椭圆分别交于点M、N ,各点均不重合且满足
uuuu uuu uuir uur
PM 1MQ,PN 2 NQ .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若1 2 3,试证明：直线l过定点并求此定点.
“一，一一一，..
1 2
11 21. (12分)已知函数f(x) lnx —ax bx 1的图象在x 1处的切线l 过点(一，一).
2
2
2
(1)若函数g(x) f(x) (a 1)x(a 0),求g(x)最大值(用a 表示)；
1 ⑵ Of a
4 , f (x ］) f (x 2) x ^ x 2 3 x ^ x 2 2 1正明:x ^ x 2,…—.
2
(二)选考题：共 10分.请考生在第 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分.［选彳4-4 :坐标系与参数方程］
x 1 cos 22. (10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1 :
(为参数)，曲线
y sin
2 y 1 -
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C 1 , C 2
的极坐标方程；
不(-O)与G 的异于极点的交点为 A,与C 2的交点为B,求|AB|.
［选彳4-5:不等式选讲］(共1小题，满分0分)
23. 已知关于x 的不等式|x 2| |x 3|…|m 1|有解，记实数 m 的最大值为 M . (1)求M 的值；
1 1
(2)正数a, b , c 满足a 2b c M ,求证： ---------------------------- ----------- …1.
a b b c
2
C 2:- 2
(I)在以 (n)射线
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. （5分）集合A ｛1,0, 1｝, A 的子集中，含有元素 0的子集共有（ ）
A . 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
【解答】解：根据题意，在集合 A 的子集中， 含有元素0的子集有｛0｝、｛0 , 1｝、｛0 , 1｝、｛ 1 , 0, 1｝,四个；
故选：B .
2. （5分）复数 i 3（1 i ）2 （
） A. 2 B,
2
C. 2i
D. 2i
【解答】解：i 3(1 i)2 ( i)(2i) 2 , 故选：A.
3. （5分）已知等比数列｛a n ｝的公比为正数，且 a 3ga g 2a 2 , a ?
A. 1
B.匹
C. 22
2
2
【解答】解：设公比为q,由已知得a 1q 2ga 1q 8 2（a 1q 4）2 , 即q 2 2 ,又因为等比数列｛%｝的公比为正数, 所以q 亚，故&生~1邑
q 2 2 故选：B .
1 ,贝U & ( D. 2
x
4. （5分）已知m R,函数y 2 m 1有零点”是“函数 y log m x 在（0,
）上为减函
数”的（
）
A .充分不必要条件 C.充要条件
B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解：若函数y
x
f (x) 2 m 1 有零点，则 f(0) 1 m 1 m 1, 当E 0时，函数y lo
g m x 在（0,
）上为减函数不成立，即充分性不成立,
若y log m X 在（0,）上为减函数，则 0 m 1 ,此时函数y 2x m 1有零点成立，即必
故“函数y 2X m 1有零点”是“函数 y log m X 在（0,）上为减函数”的必要不充分条 件,
5. （5分）若函数f （x ） cosx ax 为增函数，则实数 a 的取值范围为（
）
【解答】 解：由 题意可得，f （x ） sin x a ⑷恒成立, 故a … sin x 恒成立, 因为1麴]sinx 1 ,
6. （5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
俯视图
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是 棱锥得到的几何体.
V PB 1c l
ABC
V A 1B 1C 1 ABC V P A 1B 1C 1
3 2 1 三 3 2
——2 2 - —— 2 1 4 3 4
5 3 ------ . 3 故选：D .
A. [ 1 ,
) B. [1, ) C. ( 1,)
D.
(1,)
A. 2向
B. 2而
D.
5<3 3
2的正三棱锥砍去一个三
7.（5分）我国古代名著《庄子耿下篇》中有一句名言“一尺之植，日取其半，万世不竭”，
其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如
图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是
尚出1/
A. A
B. B
C. C
D. D
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
1
第1次需环：S 1 - , i 4, 2
第2次循环：S 1 1 1 , i 8,
2 4
1 1 1
第3次循环：S 1 1 1 1, i 16,
2 4 8
依此类推，第7次循环：S 1 1 1 1 工，i 256,
2 4 8 128
此时不满足条件，退出循环，
其中判断框内①应填入的条件是：i, 128?,
执行框②应填入：s s 1 , i
③应填入：i 2i .
8.（5分）若（x2二）n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为（
x
A. 1
B. 5
C. 10 D・ 20
【解答】解：令x 1可得（x2!）n展开式的各项系数之和为2n 32 , x
n 5,
故其展开式的通项公式为 T r 1 e r gx105「，令10 5r 0,求得r 2,
可得常数项为e2 10 , 故选：C .
y-x
{(x,y)| x- 0 }内随机取一点P ,则点P在圆x2 y2
9. （5分）在平面区域M 2内部
x y, 2
的概率（）
B.一
4
【解答】解：如图示:
作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB,
1
则三角形的面积为 S 1 1 2 1 ,
2
点P取自圆x2 y2 2内部的面积为圆面积的 1 ,即1
8 8
则根据几何概型的概率公式可得,
则点P 取自圆x 2 y 2 2内部的概率等于 —.
4
故选：B .
【解答】 解：依题意|PF 2 | IF 1F 2I,可知三角形 PF 2F 1是一个等腰三角形，
F 2在直线PF 1的
第10页（共19
页）
-3 -4 -5
10. （5分）已知直线l, m,平面 、、，给出下列命题:
① l // , l // , I m ,则 l //m ; ② // , // , m ，则 m
③ ， ，则 ； ④ l m, l , m ，则
其中正确的命题有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【解答】 解：①由线面平行的性质定理可知 ①正确; ②由面面平行的性质定理可知， // ,因为m ，所以m ,即②正确;
③若
平行或相交，即③错误; ④由面面垂直的判定定理可知 ④正确.
所以正确的命题有①②④，
故选：C . 2 2
11. （5分）设F 1, F 2分别为双曲线x r ' 1（a 0,b 0）的左，右焦点.若在双曲线右支 a b
上存在一点P ,满足|PF 2 | |F 1F 2 |,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，
则该双
曲线的离心率为（ ）
B.
C.
投影是其中点, 由勾股定理知可知|PF1| 2 4c 4a 4b
根据双曲定义可知4b 2c 2a ,整理得c 2b a ,
代入c2a2b2整理得3b2 4ab 0 ,求得b -；
a 3
3f (x) x恰有5个实数解，则m的取值范围为( )
A.匹，后)
B. (4,币)
C. (- , 8)
3 3
4 3
2
【解答】解：Q当x ( 1 , 1］时，将函数化为方程 x24 1(y- 0), m
实质上为一个半椭圆，其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当x (1, 3］得图
象，再根据周期性作出函数其它部分的图象,
2
由图易知直线y lx与第二个椭圆(x 4)2 -yr 1(y0)相交，
3 m
2
而与第三个半椭圆(x 8)2 4 1 (y・・0)无公共点时，方程恰有 5个实数解, m
2
将 y 1x代入(x 4)2 当 1(y 0)得，(9m2 1)x2 72m2x 135m2 0,
3 m 令 t 9m2(t 0),
则(t 1)x2 8tx 15t 0,由4 (8t)2 4 15t (t 1) 0 ,得t 15,由9m215 ,且m 0
1 2
y -x与第二个椭圆(x 8) 3
用).
12. (5分)已知以T 4为周期的函数 f(x)
1 X2, x
|x 2|,x
( 1,1],其中m 0 ,若方程
(1,3]
综上可知m
2
-yi 1 (广0)由4 0可计算得m 77 , m
所以 cos2x 2cos 2 x 故答案为
3
5
【解答】 解： 如图，
uur uur uur uur
Q CD 4DB rAB
sAC ,
uur 4 uur 4 uuu 4 uur CD -CB AB -AC
5 5 5 根据平面向量基本定理得,
4小题，每小题 5分，共20分.
二、填空题：本大题共 13. (5 分)已知 tanx 2, 求 cos2x 【解答】解：Q tanx
2,
2 cos
1
2- sec
x
1 tan x
3r s
12 4 8
5 5 5
故答案为: 15. （5分）已知A, B 两点均在焦点为
8
2
F 的抛物线y
2Px(p 0)上，若 |AF| |BF| 4,
14. （5分）若D 点在三角形
ABC 的边 BC 上,
uur 且CD uuir uuu uuur
,,
4DB rAB sAC ,贝U 3r s 的值为
4 一，s
线段AB的中点到直线x E的距离为1,则p的值为 1或3 . 2 -------------
【解答】解：分别过A、 B作交线l：x E的垂线，垂足分别为C、D
2
设AB中点M在准线上的射影为点N ,连接MN ,
设 A(X , y ) , BM , y2 ), M (X o , y o )
根据抛物线的定义，得|AF | |BF | | AC | |BD| 4 ,
1
梯形ACDB 中，中位线 MN —(|AC| | BD |) 2 , 2
可得X o52, X o 2 2 2
Q线段AB的中点到直线x段的距离为1,可得|x o £| 1,
|2 p | 1 ,解得p 1 或p 3 ,
131 ,
3
2 3 5,
3
33 7 9 11,
3
43 13 15 17 19
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n
【解答】解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有
而前面n 1个等式共含有12 (n 1) n(n1)个奇数,
2
n(n 1)
2 ------------ 2021 ,
2
即n(n 1) 2021,而45 44 1980 2021.46 45 2070 2021.
故答案为：1或3.
16. （5分）观察下列算式:
45
故答案为：45.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共
60分）
17.（ 12分）在 ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且bsin2A asin （A C ） 0 .
（I ）求角A ;
（n ）若a 3, ABC 的面积为3回,求1 1的值. 2 b c
【解答】 解：（I ）由 bsin 2A asin （A C ） 0 得 bsin2 A asin B bsin A （3 分）
又0 A ,所以sin A 0 ,得2cosA 1,所以A — （6分）
3
（n ）由 ABC 的面积为巫及A —, 2
3
得 Ibcsin — 3^3,即 bc 6 （8 分） 2 3 2
又a 3,从而由余弦定理得 b 2 c 2 2bccosA 9 , 所以b c 373
（10分）
1 1 b c 3 ,/c 八、 所以一— ----------- ------- （12分）
b c bc 2
18. （12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度 的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为
［50, 60）, ［60, 70）, ［70, 80）, ［80,
90） , ［90, 100）,据此解答如下问题.
（2）现从分数在［80, 100］之间的试卷中任取 3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数 在［90, 100］的份数为X ,求X 的分布列和数学望期.
【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在［50, 60）之间的频数为4,频率为
0.0125 10 0.125,
....................
4
.
全班人数为——人. 0.125
（1）求全班人数及分数在［80, 100］之间的频率;
分数在［80, 100］之间的频数为32 4 8 10 10,
分数在［80, 100］之间的频率为— 0.3125； 32
(2)由(1)知，分数在［80 , 100］之间有10份，分数在［90 , 100］之间有0.0125 10 32 4 份.
X 0 1 2 3
P 11 3 1
6 2 10 30
19.(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB 4, AD 2, E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D至UP,且PC PB
(1)求证：PO 面ABCE.
因为PB PC BC PF，所以BC 面POF
从而BC PO (2)
由(1) (2)可得PO 面ABCE
uur uur uuu
OF如图，建立直角坐标系 {OG,OF ,OP}, 第15页(共19页)
由题意, X的取值为0, 1, 2, 3,则
P(X 0)
C3 1
前否'P(X
_ 1 _ 2
八 C4c6
1) —3-
P(X 2)
C2C；
"CT
3
6 P(X 3)
C：
C0
数学期望E(X) 0 1
2 —
3 — 1.2 .
10 30
取BC的中点F ,连OF , PF , OF //AB, OF BC
(2)作OG//BC 交AB于G, OG
(2)求AC与面PAB所成角的正弦值.
【解答】解：(1) PA PE, OA OE PO AE (1)
_ UUIT A(1, 1,0),B(1,3,0),C( 1,3,0), P(0,0 2)AC
uuu
(2,4,0), AP (
_ uuu
1,1, 2), AB (0,4,0)
设平面PAB的法向量为n
r uuu ngAP
(x,y,z) r uuu
ngAB
4y
y 2z
(J2,0,1)AC 与面PAB 所
r uuur 30
n, AC | ---------
15
20. (12分)已知椭圆二 4 1(a b 0)过点(0,1),且离心率为延.直线l与x轴正半 a b 3 轴和y轴分别交于点Q、P ,与椭圆分别交于点M、N ,各点均不重合且满足
uuuu uuuu uuir uuur
PM 1MQ,PN 2 NQ .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若1 2 3,试证明：直线l过定点并求此定点.
(1)由题意可知 c
a
2
a 1 X 3
2 b
2
椭圆的标准方程为：—y2 1 ;
3
(2)由题意设P(0,m) , Q(x0, 0), M(x1, y1) , N(x2, y?),
设直线l的方程为x t(y m),
uuuu uuuu
由 PM 1MQ 知，(x1, y1 m) 1(x0 X , y), Vi m % 1 , 由题意10, 1 m 1,
y1
uuir uuir
同理由PN 2NQ知，2皿1 , y2
1 2 3, yy2 m(y1 y2) 0 ①，
成角的正弦值sin | cos
x 3y 3,消去 x 得：(t 2 3)y 2 2mt 2y t 2m 2 x t(y m)
f (x) f (x 2) x
x 2 3x 1 x 2 2 ,
联立方程
且有y 1
2 4
2
4m t 4(t
一 2 2
3)(t m 3) 0 ②,
2
2mt y 2 ——，
2
2
t m 3肉
丫佻 一2
④，
把③代入①得：t 2m 2 2 -
2
3 mg2mt 0 , (mt) 1 ,
由题意mt 0, mt
1,满足②式,
直线l 的方程为x ty 1,过定点（1,0）,即（1,0）为定点. 21. (12 分)
1 2
已知函数 f(x) Inx -ax bx 1的图象在x
2
1处的切线l 过点
（1）若函数 g(x) f (x) (a 1)x(a 0),求 g(x)最大值(用
4, f(xj f(x 2) x 1
x 2 3x 1x 2 【解答】解: (1)函数 f(x) Inx
1 2 ax 2
bx 1的导数为:
1 f (x) — ax
x
可得图象在x 1处的切线 l 的斜率为
切点为（1,1 b
1 、 2a)，
由切线经过点 ("
可得1 a
化简可得, 则 f (x) Inx
1 2
ax 2 g(x) Inx
1 a x 2
(a 1)x( x 0,
一、1 一 g (x) 一 ax
x (a 1)
(x 1)(ax
可得 (2) 1 -
，
、
g (x)
g (x) max g (-) a 0,
Ina
证明：a 4时,
g （x ）递增；当
1
—1 2a
f (x) Inx 2x 2
1 2
一时，g(x) a
1 . —Ina ； 2a
0 ， g(x)递减.
2 2
可得 1nx i
2x 1 1 lnx 2
2x 2 1 x 1 x 2 3、x 2 2 ,
2
2
化为 2(x 1
x 2 2x 1x 2) (x 1 x 2) x 1x 2 ln(x 1x 2),
即有 2(x 1 x 2)2 (x 1 x 2) x 1x 2 In (x 1x 2), 令 t X I X 2 , t 0 ,设 h(t) t Int ,
1
h(t) 1 1当 t 1 时，h(t) 0, h(t)递增；当 0 t 1 时，h(t) 0, h(t)递减. 即有h(t)在t 1取得最小值1,
则 2(x 1 x 2)2 (x 1 x 2)...1 , 可得(x 1 x 2 1)(2x 1 2x 2 1)...0, 则 2x 1 2x 2 1- 0 , 可得为 ％ (1)
.
2
（二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分.［选彳4-4 :坐标系与参数方程］
_ x 1 cos 22. （10分）在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为G ： 了而（
为参数）,曲线
2 x C 2 :一
2
（I ）
在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 （n ）
射线
一（…0）与C I 的异于极点的交点为 A ,与C 2的交点为B ,求| AB|. 6
x 1 cos
【解答】解：（I ）曲线C 1:
（为参数）可化为普通方程：
（x 1）2 y 2
1,
y sin
, x cos
由
可得曲线C I 的极坐标方程为 2cos ,曲线C 2的极坐标方程为 y
sin
2
2
2（1 sin 2 ） 2 .
一（一。

）与曲线C I 的交点A 的极径为1 2cos — 43,
6
6
射线 一（-0）与曲线C 2的交点B 的极径满足
22（1 sin 2-） 2,解得
6
6
C I , C 2的极坐标方程;
（n ）
射线 210 5
所以 |AB| | i 2|
.3
5
［选彳4-5:不等式选讲］（共1小题，满分0分）
（1）求M 的值;
1 1
(2)正数 a , b , c 满足 a 2b c M ,求证： ---------------------------- --------- -1.
a b b c 【解答】 解：(1)由绝对值不等式得|x 2| |x 3|屋|x 2 (x 3)[ 5, 若不等式|x 2| |x 3|…|m 1|有解， 则满足|m 1|, 5,解得6fm 4.
M 4 . 1 (2)由(1)知正数 a , b , c 满足足 a 2b c 4,即一[(a b) (b c)] 1
4
b 2时，取
1 … ------ -1成立. b c
23.已知关于x 的不等式|x 2| |x 3|…|m 1|有解，记实数 m 的最大值为M .
1
4[(a b)
1 (b c)]( —— a
1 4(1
a b 「1
「海；
（2 2
)—41 4
当且仅当。