高三数学变量间的相互关系

从图可以看出,各点分布在一条直线附近,即它们线形相关. (2)列出下表,并计算
i xi yi xiyi
1 104 2 180 3 190 4 177 5 147 6 134 7 150 8 191 9 204
画图3
10 121
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
15125
10400 3600 0
画图1
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
例3 下表是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是
相关关系吗?求回归直线有意义吗?
年均气 温(c)
12.51
12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05
年降雨 量(mm)
748
542
507
813
574
701
432
画图2
例4 观察两相关量得如下数据: x -1 -2 -3 -4 -5 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 求两变量间的回归方程. 解：列表： i x y xiyi 1 -1 -9 9 2 -2 -7 14 3 -3 -5 15 4 -4 -3 12 5 -5 -1 5 6 5 1 5
3
5
4
3
2
7
1
9
7 3 5 15
8 4 3 12
9 2 7 14
10 来自百度文库 9 9
计算得： x 0, y 0,
x
i 1
10
2 i
110, y 330, x i y 110.
2 i 1 i i
10
b
x y
i 1 10 i
10
i
10 x y
2
x
i 1
i i i i
n 2 n 2 n i 1 i i 1 i i 1 i
i
第三步：代入公式计算b，a的值 第四步：列出直线方程。
4、利用回归直线方程对总体进行估计
例5 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直 接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间 的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量 X与冶 炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如 下表所示：
相同点：两者均是指两个变量间的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系； 相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但 可能是伴随关系）。
（3）相关关系的分析方向。
在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律， 对它们的关系作出判断。
2、两个变量的线性相关
（1）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫 回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确 定关系的某种确定性。 （2）散点图
x（0.01%） Y（min）
104 100 180 200 190 210 177 185 147 155 134 135 150 170 191 205 204 235 121 125
（1）作出散点图，找规律。
（2）求回归直线方程。
（3）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？
解: (1) 作散点图
A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程 注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.
3、回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分 布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的 关系，这条直线叫做回归直线。 （2）最小二乘法
ˆ bx a y
2.3
变量间的相互关系复习课
珠海市实验中学数学组
张习锋
2.3
变量间的相互关系
基础知识框图表解 变量间关系 散点图 函数关系 相关关系 线形回归 线形回归方程
重点知识回顾
1、相关关系
（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
（2）相关关系与函数关系的异同点。
；
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儿子张罗娶媳妇的事儿了，因为他们想早点儿抱孙子，并且多抱几个孙子和孙女呢。按照娘的意思，最好能给他找一个北方女 娃儿。她对丈夫说：“看咱们儿子，像你一样五大三粗的多好哇！要是娶个当地的媳妇，生了孙子就不是完全的北方人了呢！” 丈夫倒不是反对她的这个想法，可这武昌镇上又有几家北方人呢！于是乎，夫妻俩为这事儿还真正犯了难了。但不管怎么说， 儿子该娶媳妇了，先盖几间新房子是必须的。爹娘当年盖的那三间平房虽然每年早春做一些修缮尚可以继续居住，但作为儿子 结婚的新房显然是不合适了呢。而在这个时候，最早的那三间简易草屋早已经烂落得不成样子了。于是，白百大的父母就将草 屋全部拆了，然后请人帮忙，在这个位置上盖起了东、西各一大间加中间一个过厅的新房子，也就是白家人现在住的房子。新 房子盖好后，夫妻俩开始四处托人打听，希望能在武昌镇上给儿子找一个模样儿说得过去，年龄相仿的北方女娃儿。至于对方 的家境情况，他们倒希望最好是门当户对一些。尽管论儿子的人才和人品口碑，找一个家底儿较好一点儿人家的女娃儿，应该 也是有可能的，但他们认为，这女娃儿将来过门儿了是要过日子呢，还是穷人家的娃儿更好一些。恰在这个时候，邻近长江入 口处的汉江南堤尽然在盛夏日朝阳东升的大好时光下，突然之间发生了意外决堤。突发的大洪水，一瞬间几乎淹没了整个汉阳 镇，以及沿岸数十里内的一些低洼村镇。大量的灾民，尤其是汉阳镇上的灾民无奈过江四处逃难，而首当其冲的武昌镇便成了 灾民们逃难求生的必经之地。就在那一日的傍晚时分，一对面容憔悴，家常着装的衣服上粘有泥泞痕迹的母女俩，各挎着一个 满是泥泞痕迹的湿包裹途经白家的门前时，看到了正准备回家的白百大爹娘。当时，他们夫妇俩刚好收了菜摊儿回来，面善的 丈夫推着一个简易的木轮小车停在门前，车上放着几样没有卖完的蔬菜，而同样面善的妻子正在抬手开门锁。当妻子推开院门 帮丈夫把小车推进门道里以后转身准备掩门时，看到了相互搀扶着站在门外欲言又止的这母女俩。那妇人也就四十多岁的样子， 而女娃儿看起来应该有十六、七岁了。俩人看上去虽然非常疲惫憔悴，但却也没有显露出来特别可怜兮兮的神情；而且她们面 容姣好，不失端庄，着实很让人同情的模样。白百大的娘天性仁慈善良，看到这俩人不卑不亢欲言又止的样子，她马上想到她 们大概是遇到什么难处了，但又不好意思开口请求帮忙。再打量她们的衣着和随身带的小包裹，她立刻就明白了：她们一定是 从江对岸逃难过来的！略迟疑一下，她转头对丈夫说：“哥，这里有两个逃难的，好像是母女俩，要不咱们”白百大的爹赶快 把小车停在一边，快步过来和妻子一起出门
n n (x i -x)(yi -y) x i yi -nxy b= i=1 = i=1 , n n 2 (x -x) 2 x 2 -nx i i i=1 i=1 a=y-bx. 1 n 1 n 其中x= x i ,y= yi . n i=1 n i=1
Q ( yi bxi a)2
i 1 10
的值最小.
10 x y 1.267
2
b
x y
i 1 10 i
10
i
x
i 1
2 i
10 x
a y bx 30.51.
ˆ 所以回归直线的方程为y =1.267x-30.51
ˆ (3)当x=160时, y 1.267.160-30.51=172
(3)利用回归直线对总体进行估计
例1
下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系(
D ).
A.角度和它的余弦值
B.正方形边长和面积
C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高
例2 5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生 学科 数学 物理
A 80 70
B 75 66
C 70 68
D 65 64
E 60 62
39900 3274 5
22785 18090 25500 39155 4794 0
x 159.8, y 172,
x
i 1
10
2 i
265448, y 312350, x i y 287640
2 i 1 i i 1 i
10
10
ˆ bx a 其中a,b的值使 设所求的回归直线方程为 y
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
所求回归直线方程为
第一步：列表
y x.
注意：求回归直线方程的步骤：
x , y ,x y ; 第二步：计算：x , y , x , y , x y