清华大学水力学(1)第三章教案

开，可对流体微团的运动进行分析。
z
ux
=
ux0
+
⎜⎛ ⎝
∂u x ∂x
⎟⎞ ⎠0
d
x
+
⎜⎜⎝⎛
∂u x ∂y
⎟⎟⎠⎞0
d
y
+
⎜⎛ ⎝
∂u x ∂z
⎟⎞ ⎠0
d
z
= ux0
+
1 2
⎜⎛ ⎝
∂ux ∂x
+
∂ux ∂x
⎟⎞ d x + ⎠0
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂ux ∂y
+
∂u y ∂x
⎟⎟⎠⎞0 d
y+
1 2
z 微分形式连续方程可写成 ρuG 的散度。
∂ρ + ∇ ⋅ (ρuG) = 0 ，其中 ∇ ⋅ (ρuG) = ∂ (ρux ) + ∂ (ρuy ) + ∂ (ρuz ) 是
∂t
∂x
∂y
∂z
z 对柱坐标中的平面流动（实际上就是极坐标），
取微元如图，经过与直角系中相同的步骤，可
以写出极坐标中平面流动的微分形式连续方
∫∫
G u
⋅
G n
d
A
称为穿过曲面
A
的体积流量，
∫∫
ρ uG
⋅
G n
d
A
称为质量流量。定义曲面
A
A
A
的侧，决定法线指向，指向不同，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法
向。
z 过水断面流量和平均流速：过水断面流速与法向一致，所以穿过过水断面 A 流量大小
为
Q = ∫∫ u dA ，定义
A
v = Q 为断面平均流速。
G ∇×u =
∂
∂
∂ . 流速场的旋度场形成了一个新的矢量
∂x ∂y ∂z
ux uy uz
场。流速场的旋度是流体旋转角速度矢量的两倍。
§3—4 有旋流动和有势流动
一. 无旋流动与有势流动的等价性
z 一个矢量场的旋度处处为零，称为无旋场。
z 一个矢量场可以表示成某个数量场的梯度，称此矢量场为有势场，该数量场为其势函
第三章 流体运动学
本章在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行 分类。本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。连续方程是质量守恒 定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。
§3—1 描述流动的方法
一. 拉格朗日法和欧拉法
z
拉
格朗
日法是
质点
系
法，
y,
z
)
是空间
点（场点）。流体的其它物理特性和运动要素也都用对应于时间与空间域的场的形式
描述。
二. 流体质点的加速度、质点导数
z 在拉格朗日观点下，流体质点加速度的求法是比较简单的。求速度和加速度只须将位
移矢量直接对时间求一、二阶导数即可，求导时 a,b,c 作为参数不变，意即跟定流体质
点。
G u
=
z
在欧拉观点下，迹线的微分方程为：
d
G r
=
G u(x,
y,
z,
t
)
d
t
，
即
dx
=
dy
=
dz
= dt
ux[x(t), y(t), z(t), t] uy[x(t), y(t), z(t), t] uz[x(t), y(t), z(t), t]
z 流线是某瞬时对应的流场中的曲线，该瞬时位于流
线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是
与欧拉观点相对应的概念。
z
根
据
定
义
，
流
线
的
微
分
方
程
为
GG u ×dl = 0
（
G dl
=
d
G xi
+
d
G yj
+
d
G zk
），即
dx = dy = dz .
ux (x, y, z, t) uy (x, y, z, t) uz (x, y, z, t)
实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可解得两族曲面，它们的交线就是流线族。 z 在恒定流情况下，流线不随时间变，迹线将沿着流线走，两者重合。即便如此，迹线
A
四．均匀流、非均匀流；渐变流、急变流
3-2
z 把位变导数为零的流场称为均匀流，否则为非均匀流。
z
由均匀流的位变加速度
K (u
⋅
G ∇)u
=
0，不难分析得知，均匀流的流线必为相互平行的直线，
而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。
z 恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速
G
G
∂u ∂x
dx dt
+
∂u ∂y
dy dt
+
∂u ∂z
dz dt
=
∂u ∂t
+ ux
∂u ∂x
+uy
∂uG ∂y
+ uz
∂uG ∂z
=
∂ ( ∂t
GG + u ⋅∇)u
.
z 建立 t 时刻和 t+dt 时刻的流场图，假设一流体质点在 t 时刻位于场点 M，t + dt 时刻
它到达场点M’，在 t+dt 时刻的流场图上再标上与点M处于同一位置的场点M1，此时 有另一个流体质点占据该场点。
它
定义
流体质
点的位
移矢
量
为：
G r
=
G r (a,b, c, t)
，其中
(a
,
b,
c)
=
G r
(
a
,
b,
c,
t0
)
是拉格朗日变数，即t0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷
多个质点进行编号，作为质点标签。
z
欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：
G u
=
G u
(x,
y,
z
,
t
)
，其中
(x,
能实现的。
z 连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，根据质量守
恒原理，单位时间控制体内质量的增加等于穿越控制面流进控制体的质量流量。
z 在直角坐标系中，取体积微元六面体，直接对微元应用质量守恒定律，建立微分形式
的连续方程。单位时间微元内流体质量增量为
∂ρ ∂t
d
x
d
y
d
z
，单位时间通过左右一对表面
dt
∂t
表示求位变导数（迁移导数）。 z 时变导数是由流场的不恒定性引起的，把不随时间变化，即 ∂ = 0 的流场称为恒定流，
∂t
3-1
否则为非恒定流。 z 位变导数是由流场的不均匀性引起的，把位变导数为零的流场称为均匀流，否则为非
均匀流。
§3—2 有关流场的几个基本概念
一．恒定流、非恒定流
z 若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非
流出微元的流体质量为 ∂ (ρuy ) d y d x d z ，同
∂y
理可知单位时间通过上下、前后两对表面
流出微元的流体质量。根据微元内流体质
量增量应该等于流入微元的流体质量，即
得：∂ρ + ∂ (ρux ) + ∂ (ρuy ) + ∂ (ρuz ) = 0 . 这就是
∂t ∂x
∂y
∂z
直角系中的微分形式连续方程。
恒定流。恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐
标的函数，时变导数为零。
z 流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关。
二. 迹线和流线
z 迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。拉格朗日法中位移表
达式
GG r = r (a,b, c,t)
即为迹线的参数方程（t 是变数，a,b,c 是参数）。
ωz
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uy ∂x
−
∂ux ∂y
⎞ ⎟ ⎠
表示流体两直角边旋转的平均速度，等于直角平分线旋转速度。
z
G u
=
G u0
+
G ω
×
d
G r
+
[ε ] ⋅
d
G r
表明流体微团的速度可以分解成三部分：平移、转动和变形。刚
体的速度分解没有变形部分。
G GG i jk
z
流速场的旋度：直角坐标系下
=
d
∂uy
⎞ ⎟
2 ⎝ ∂y ∂x ⎠
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uy ∂y
+
∂uy ∂y
⎞ ⎟ ⎠
1
⎛ ⎜
∂uz
+
∂uy
⎞ ⎟
2 ⎝ ∂y ∂z ⎠
1 2
⎛⎝⎜
∂ux ∂z
+
∂uz ∂x
⎞⎠⎟
⎤ ⎥ ⎥
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uy ∂z
+
∂uz ∂y
⎞ ⎟ ⎠
⎥ ⎥ ⎥
是流体的变形速率张量。
⎥
1 2
⎛⎝⎜
∂uz ∂z
流动：
⎧⎨⎪uuθr
= =
ur 0
(r, z, t )
.
⎩⎪uz = uz (r, z, t)
六．系统和控制体
z 由确定的流体质点组成的集合称为系统。系统在运动过程中，其空间位置、体积、形
状都会随时间变化，但与外界无质量交换。
z 有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同的时间控制体
⎜⎛ ⎝
∂ux ∂z
+
∂uz ∂x
⎟⎞ d z + ⎠0
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂ux ∂y
−
∂u y ∂x
⎟⎟⎠⎞0
d
y
+
1 2
⎜⎛ ⎝
∂ux ∂z
−
∂uz ∂x
⎟⎞ d z ⎠0
≡ ux0 + ε xx d x + ε xy d y + ε xz d z − ω z d y + ω y d z
同理可得 uy ,uz 的展开式，合并成矢量式：
z 二维流动是指流场与某一坐标变量无关，沿该坐标方向无速度分量。如直角系中的平
面流动：
⎧⎨⎪uuxy
= =
ux (x, y, t) uy (x, y,t)
；柱坐标系中的平面流动：
⎧⎨⎪uuθr
= =
ur (r,θ , t) uθ (r,θ , t)
；柱坐标系中的轴对称
⎩⎪uz = 0
⎩⎪uz = 0
直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。
z 由于均匀流是一个绝对的概念，在工程实际中其判别标准难于完全满足，所以将接近
于均匀流的流动称为渐变流，否则为急变流。
五. 流动按空间维数的分类
z 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情
况下对实际流动的简化和抽象，以便数学处理。
数。无旋场与有势场是等价的，即
∇
×
G u
=
0
⇔
G u
=
∇ϕ
.
z 若流体流动的速度场无旋，就称为无旋流动，也称为有势流动。
三. 有旋流动和有势流动的判别
z 有势流动就是无旋流动，所以有旋流动和有势流动的判别就在于流速场的旋度是否为
零。这样我们又可按照是否有旋来对流动进行分类。
z 需要提醒注意，不要根据流线是直线或曲线来直观判别。事实上流线是圆周的平面流
xx
[ε ] = ⎢ε yx
⎣⎢ε zx
ε xy ε yy ε zy
ε
xz
⎤ ⎥
ε yz ⎥
ε zz
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢
1 2
⎛⎝⎜
∂ux ∂x
⎢ ⎢ ⎢
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uy ∂x
⎢
⎢ ⎢ ⎣
1 2
⎛⎝⎜
∂uz ∂x
+ + +
∂ux ∂x
⎞⎠⎟
∂ux ∂y
⎞ ⎟ ⎠
∂ux ∂z
⎞⎠⎟
1
⎛ ⎜
∂ux
+
d
G r
=
∂rG
,
d t ∂t
G a
=
G du dt
=
∂uG ∂t
=
∂
2ห้องสมุดไป่ตู้
G r
∂t2
.
z 欧拉法中流体质点加速度的表达必须特别注意，求加速度需要跟定流体质点，于是 x,y,z
均随 t 变，而且
G a
=
G du
=
∂uG
+
dt ∂t
d(x, y, Gdt
z)
= (ux , uy , uz )
G
G
，所以加速度
动：
⎧u ⎩⎨u
r θ
=0 =k /r
恰恰是无旋的；而流线是直线的平面流动：
⎧⎨⎩uuxy
= =
ky 0
恰恰是有旋的。上
述两个流动是否有旋也可用流体直角的平分线在流动中是否转动来说明。
3-4
§3—5 连续方程
一. 三维流动的连续性微分方程
z 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，不满足连续方程的流动是不可
G u
=
G u0
+
G ω
×
d
G r
+
[ε ] ⋅
d
G r
z
G ω
=
(ω
x
,ω
y
,ω
z
)
=
⎡1 ⎢ ⎣⎢ 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uz ∂y
−
∂u
y
⎞ ⎟
,
∂z ⎠
1 2
⎛⎝⎜
∂ux ∂z
−
∂uz ∂x
⎞⎠⎟
,
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂uy ∂x
−
∂ux ∂y
⎞ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎦⎥
是流体旋转角速度矢量。
3-3
z
⎡ε ⎢
+
∂uz ∂z
⎞⎠⎟
⎥ ⎥ ⎦
对角线上三个元素是线变形速率，其它是角变形速率。变形速率张量是二阶对称张量。 z 以几个分量为例，解释ωG 和 [ε ] 的含义：
ε xx
=
∂ux ∂x
表示单位时间、单位长度流体线段的伸长。
ε xy
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂ux ∂y
+
∂uy ∂x
⎞ ⎟ ⎠
表示流体直角减小速度之半。
程：
∂ρ + 1 [∂ (rρur ) + ∂ (ρuθ ) ] = 0
∂t r ∂r
∂θ
z ∂ρ + ∇ ⋅ (ρuG) = 0 是微分形式连续方程的一般表达式。如果流动是恒定的，那么连续方程
∂t
成为 ∇ ⋅ (ρuG) = 0 .
z
由于
∂ρ
+
∇
⋅
(ρuG )
=
∂ρ
+
G (u
⋅ ∇)ρ
+
ρ∇
⋅
G u
将被不同的系统所占据。
z 站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站
在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。
§3—3 流体微团运动的分析
z 通过对流体微团内一点 M (x0 + d x, y0 + d y,z0 + d z) 的流速在邻近点 M 0 (x0 ,y0 ,z0 ) 作台劳展
和流线仍是两个完全不同的概念。
z 除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。
三．流管和流量
z 流管：过一封闭曲线上每一点的流线围成的管状曲面，是瞬时概念。
z 过水断面：与流动方向正交的流管的横断面。
z 元流：过水断面为面积微元的流管中的流动。
z 总流：过水断面为有限面积的流管中的流动。
z
流量：
根据加速度的定义可知
G a
=
G du
GG = uM′ − uM
GG GG = (uM1 − uM ) + (uM′ − uM1 )
=
∂duGt
+
G u
⋅
dt G ∇u
dt
∂t
z
其它定义在流体质点上的物理量对时间的导数，也是相同的求法。
d
≡(∂
+
G u
⋅
∇)
.
其
d t ∂t
中 d 表示求质点导数（全导数）； ∂ 表示求时变导数（当地导数或局部导数）；uG ⋅ ∇