06第六讲 数学思想的现代语言——集合论

集合论的建立引起了数学中无穷观的一场革命。康托 尔认为，在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能 的，实无穷必须肯定。
很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等 等，事实上都是实无穷的概念； 关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的， 而实数理论的建立（无理数的引进）又必须以这样或那样的 实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序 列都是一种实无穷的概念。极限理论事实上也是建立在实无 穷的概念之上。 因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷。变量如 能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取 值域，而这个域就是一个实无穷。
康托尔的集合定义(Cantor,1874)：
吾人直观或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之 全体即谓之Baidu Nhomakorabea合，其组成此集合之物谓之集合之元素。
——肖文灿《集合论初步》 （我国第一本集合论著作）
从集合的定义来看，集合、元素都是泛指，或说是抽象的， 因此，不仅数、点、形，世界的各种事物无不可以按某种属 性或关系的比较加以类聚。数学可以舍弃这些类聚事物的质 的规定性，而使用各元素的集合对不同事物群的结构共性给 予抽象、概括。 从集合观点看，数学概念都可以看成集合，因此，数学概念 都可以用集合来表述，用揭示概念外延的方式定义概念实际 上就是给出集合的元素，用揭示概念内涵的方式定义概念实 际上就是给出集合中元素所满足的性质。 不论哪一门数学，开宗明义，总得有自己的研究对象，这些 研究对象就形成一个集合或一些集合。因此，每门数学都用 得上集合论。
About Cantor
Cantor was a German mathematician who is best known as the creator of modern set theory. He is recognized by mathematicians for having extended set theory to the concept of transfinite numbers, including the cardinal and ordinal number classes. Cantor is also known for his work on the unique representations of functions by means of trigonometric series (a generalized version of a Fourier series).
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) Germany
集合论的抽象思想 集合是抽象思维的产物。在集合论中，集合被用来表 示抽象事物的聚集。而从认识论角度上看，集合本质 上又可视为描述人脑对客观事物进行识别和分类的一 种抽象方法。正是由于这种方法的普遍性，使得集合 成为数学抽象最有力的工具。
朴素集合论
集合论发轫于分析的严密化运动。十九世纪后期，因追寻实数 的坚实基础及突变函数性质研究的需要，孤立地研究实数轴上 某个点或某个数的方式被代之以将各点联系在一起作为整体研 究。这就形成了能把握实数的精确结构及性质的“点集论”。 德国数学家康托尔（Georg Cantor）是集合论的创立者。1872 年，他在《数学年鉴》上发表的论文引进极限点、导集等概念， 从而奠定了“点集论” 的基础。1874年，他在《数学杂志》上又 发表了关于无穷集合理论的论文；此后发表的一系列论著进一 步阐明了他的集合论思想。 康托尔在集合论上的主要贡献有：明确给出了集合的定义，以 及集合的并、交等运算；提出无穷集的势等概念，通过一一对 应关系建立了集合大小的比较原则，给出了无穷集的分类法； 建立了基数和序数的理论；证明了超越数的存在；他所提出的 连续统假设，至今未能获得圆满解决。等
十九世纪末提出的集合概念，后来被证明为数学中最基本、最有 用的观点之一，集合论成为现代数学的理论基础。借助集合论， 严格的实数理论和极限理论都可以建立起来，“……数学已被算术 化了。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了” 。（庞加莱 Poincare ，1900年巴黎国际数学大会） 数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉 了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念， 便可以建造起整个数学的大厦。 但不久人们就发现，从Cantor的朴素集合论中可引出一系列悖论。 由于集合论在整个数学理论中的基础地位，集合论悖论的发现使 人们对整个数学理论的正确性产生了怀疑。更重要的是，由于引 出悖论的方式又与集合论中以至一般数学中一些最常用的论证模 式并无不同，数学推理的严密可靠性也被怀疑了，从而触发了数 学史上的第三次危机。
同样地，超穷数也是抽象思维的产物。跟有穷 数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来 的。 康托尔指出，集合的基数是两次抽象的结果： 一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性， 另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系； （良序）集合的序数则是一次抽象的结果，即 是从对象中抽去了它们所具有的质的特性。
集合论的实无穷思想
集合论是实无穷观的产物，cantor 的实无穷思想是他创立集合 论的关键。 无穷的问题自古以来在数学和哲学中占有特别重要的位置。 The infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man. Quoted in J R Newman, The World of Mathematics (New York 1956). 無限！再沒有其他問題如此深 刻地打動過人類的心靈。 “从来沒有任何问題能象无限那样，深深地触动人们的情感；沒 有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理 智；也沒有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄 清。” “数学是研究无穷的科学”
集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把 一般的集合作为现代数学的研究对象，就能将数学的 各个不同领域统一起来，成为各个数学分支的基础， 同时也极大地扩大了数学的范围。 因此，在现代数学里，研究对象就不再是数和形这两 大传统、经典的研究领域，而是一般的集合、各种空 间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来， 已很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴。
“数学的一个分支”——公理化集合论； 一种基本的应用工具和方法——朴素集合论；
集合论最初是用“朴素”或者“直觉”的方法来进行研究 的，这被称为“朴素集合论”（ “naive set theory ” or “intuitive set theory ” ）； 由于朴素集合论允许我们不加限制地对集合施加任意 的操作，这导致集合悖论被发现，如“罗素悖论” （Russell‘s paradox）； 为了解决这个问题，集合论不得不重新建构，其中最 重要的解决方法是把集合论建立在公理化的基础上， 这被称为“公理化集合论”。 （Axiomatic set theory ）
——(美)M.Kline克莱因
这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的，我 是经过多年科学上的努力，几乎违背我的意愿……， 逻辑地被迫承认的；
—— Cantor
除非我从你这位老朋友（指戴德金）口中得悉证明 是对或错，否则我的心情难以平静下来。在你未曾 证实这回事之前，我只能说，我看到，但我不相信！
—— Cantor
自亚里士多德直至高斯，多数哲学家和数学家赞成“潜 无穷”观点。特别是19世纪初，法国数学家柯西运用 “潜无穷”的观点创造性地提出了极限方法，并用这种 思想方法解决了牛顿微积分中的矛盾，从而使得“潜无 穷”在数学中占了统治地位。
高斯： “我反对把无穷量当作一个实体，这在数学中是从来不允许 的，无穷只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时， 是指某些比值可以任意近地趋近它，而另一些则允许没有界 限地增加”
集合论的褒贬与罗素悖论
集合论向传统数学观念提出了直接挑战， 引起了数学史上最重要、最深刻的一场争 论。
集合论处理了数学史最棘手的对象——无限, 不可避免地遭到了传统思想的反对。 康托尔抛弃了一切经验和直观，用彻底的理 性来论证，数学史上没有比康托尔更大胆的 设想和步骤。
要是它不遭到反对，那倒是个奇迹。
贬
克罗内克（Kronecker) ：骗子、叛徒 庞加莱(Poincare)： "set theory is a disease from which mathematics will one day recover“ 布劳威尔(Brouwer)
褒
希尔伯特(David Hilbert) "No one shall expel us from the Paradise that Cantor has created."没有 人能把我们从康托尔为我们所创造的乐园中赶出。 数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之 一。 数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果。 罗素(Russell) 可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作。
对于什么是无穷，历来有两种观点
“潜无穷”(potential infinity)：认为无穷是无限延伸 的且永远完成不了的一个过程。它认为“全体自然数” 是不存在的，因为自然数是数不完的，即自然数的 产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了， 才能得到自然数的全体，但这个过程永不结束，因 而无法得到自然数的全体。 “实无穷” (actual infinity)：认为无穷是无限延伸或 无限变化过程中可以自我完成的无限实体或无限整 体。它认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然 数都是可以数到的，所以每个自然数都存在，既然 每个自然数都存在， “全体自然数”当然存在。
集合论的建立开辟了数学研究的一个全新领域，是数学发展的 一个里程碑，它不仅回答了“什么是数”、“什么是无限”这两个 哲学家和数学家都迫切需要解决的问题，而且为数学奠定了坚 实的基础，对整个现代数学结构产生了重大和深远的影响。
康托尔的集合论为数学分析建立了基础，据此，严格的实数理论建立起 来了。 集合论第一次把哲学中的无穷概念变成为精确数学研究的对象，把数学 从潜无穷的观点转到实无穷的观点上来，树立了一种全新的数学传统。 集合论的创立标志着一个数学新时代的开始。在集合论刚建立的时候， 集合论的重要性仅仅为少数几个数学家所赏识。然而在其进一步发展中， 集合论渗透到了几乎所有的数学分支，对这些数学分支的发展有着深远 的影响，还改变那些已经确立的理论的面貌。 集合论的思想导致了对数学基础更为深刻的分析，对数学概念之间的相 互关系以及各种理论结构的探讨，对数学证明和数学理论证明方式的审 查。
康托尔的无穷观集中反映了他的数学观：数学的本质 不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由 性。
他引进了两种真实性的概念。
“内在真实性”指数学对象在逻辑上的相容性； “外部真实性”指数学对象所具有的客观实在性；
他认为，数学对象的两种真实性事实上是一致的，一个概念 如果具有“内在真实性”就必然具有“外部真实性” 。 因此，对数学家来说，就只须考虑数学对象的“内在真实性”， 即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容。从而在数 学对象的创造中，数学家具有充分的自由。这正是现代数学 的一个特征。
康托尔的实无穷观点，肯定了无穷是某种完成了的确定的东西， 是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。
把无穷看成完成了的确定东西的整体，从而构成集合。 康托尔在集合论中，对无穷概念作了精确的数学表述，揭示了无穷集合 的本质特征：无穷集合的部分等势于整体。 ”势“的概念的引入，使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集 合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性 的差别，即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无 穷集合的发现，使康托尔对无穷的认识大大地加深。以往人们总认为只 有有限才是可把握的、有层次的，而无限至多只是一个模糊的记号，现 在康托尔却把无限象有限那样地分出了层次，使得它容易把握。 他特别是将超穷数定义为具有某种特征的无穷集合，对这些超穷数象自 然数那样建立了它们的理论体系，使得无穷作为一个实体能比较大小和 参与运算，从而成为数学的研究对象。
第六讲
数学思想的现代语言 ——集合论
本讲内容
集合论的思想发展 集合论的基础地位 集合论作为语言工具
集合论的思想发展
集合论是关于集合的数学理论，现已发展成为 数学基础的一个分支。 集合论被称为是“数学的基础结构”（布尔巴基 学派），它在现代数学中扮演着中心和基础的 角色。 今天，数学家眼中的“集合论”有不同的含义：