投入产出表的数学模型
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0.8947 = -0.1404 -0.0526 -0.0111 -0.1053 299.25 0.8889 -0.2632 1980 -0.0333 0.8246 638.4
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
-1
1.1296 0.0198 = 0.2021 1.1422 0.0803 0.0474
0.1505 0.3903 1.2382
Y ( I A) X
X ( I A) 1 Y
投入产出 表行模型
出X。
例：利用上述的直接消耗系数，已知农业、工业和“其 他”三个部门的总产出分别在285亿元、1800亿元和570亿元 的基础上增长5%、10%和12%，试推算各部门的最终使用。
285 × 105% = 299.25 0.1053 0.0111 0.1053 X = 1800 × 110% = 1980 A 解：已知 = 0.1404 0.1111 0.2632 570 × 112% = 638.4 0.0526 0.0333 0.1754
1 - c1 0 0
式中
ˆ (I - c)
-1
0 1 1 - c3
农业生产对电力的消耗
农业对电力 的直接消耗
灌溉、脱粒
农业对电力的 一次间接消耗 农业对电力的 二次间接消耗
种子
农业 生产 化肥 运输
生产种子消耗的电力
煤 机器 设备 生产煤消耗的电力 钢铁 煤
农业对电力的 四次间接消耗
即农业、工业、“其他”各部门的总产出应分别达到301.13 亿元、1945.71亿元和624.79亿元。
把直接消耗系数引入投入产出表的列模型:
把 xij aij X j 代入投入产出表的纵向关系方程 ： 第一列 a11 X 1 a21 X 1 an1 X 1 G1 X 1 第二列 a12 X 2 a22 X 2 an2 X 2 G2 X 2 第一列各直接消耗系 …… 数之和，用C1表示； 第n列 a1n X n a2n X n ann X n Gn X n 整理,得：
所以： Y ( I A) X
1 0 0 0.1053 0.0111 0.1053 299.25 = 0 1 0 - 0.1404 0.1111 0.2632 1980 0 0 1 0.0526 0.0333 0.1754 638.4
Y ' M
i 1 i i 1
n
n
i
G j
j 1
n
三、
在模型中引入直接消耗系数
直接消耗系数是指第j部门生产单位产品所直接消耗的第i部门产品 或服务的数量, 记为aij (i、j＝1、2、……、n)。公式表示为：
a ij
xij X
j
由上节简表中的数据计算的全部直接消 耗系数列表如下： 其他部门 3 0.1053 0.2632 0.1754 0.5439
第二节
完全消耗系数
一、完全消耗的概念： 生产第j种产品对第i种产品的直接消耗和所有的间接消耗 之和就是第j种产品对第i种产品的完全消耗。示例如下：
农业
农业对电力 的直接消耗
农业
工业
其他部门 电力
农业对电力的 一次间接消耗
农业、工业、其他部门
农业对电力的 二次间接消耗
二
完全消耗系数
完全消耗系数：是第j部门生产单位产品对第i部门产品(或服务)的完
该方程组称为投入产出表的消耗平衡方程组。
（三）横向与纵向关系 就各部门而言(即i=j时)，i部门总产出等于j部门总投入，即第 I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示为：
x
j 1
n
ij
Y 'i M i xij G j
i 1
n
（四）最终使用与最初投入之间的关系 第II象限总量等于第III象限总量，即在一定时期内，全社会 国内生产总值的使用额与生产额相等。公式表示为：
投
入
二 投入产出表的数学模型 投入产出表的数学模型主要表现四个方面的关系：
（一）横向关系 各生产部门为其他部门(包括本部门)提供的中间产品和为社会提供的 最终产品之和减进口等于该部门的总产品，公式表示为：
该式称为投入产出表的分配平衡方程组。 （二）纵向关系
各生产部门的中间投入加最初投入等于该部门的总投入，公式表示为：
终
使
用
部 门2 x12 x22 … xn2 xnn
n
出口 合计 资本 … 形成Hi Ei Y’i H1 H2 … Hn ∑Hi E1 E2 … En Y’1 Y’2 … Y’n
进 口 (-) Mi
M1 M2 … Mn
总 产 出 Xi
X1 X2 … Xn
i
中 间 投 入
第三章 投入产出表的数学模型
第一节
第二节
投入产出表数学模型的一般形式
完全消耗系数
第一节
投入产出表数学模型的一般形式
一、投入产出表的一般形式
中
产出 投入 部门1 部门2 … 部门n 部 门1 x11 x21 … xn1
1
间
使
用
合计 ∑x1j ∑x2j … ∑xnj ∑∑x
ij
最
最终 消费 wi w1 w2 …. wn ∑wi
0.1053 0.0111 0.1053 0.1404 0.1111 0.2632 0.0526 0.0333 0.1754
直接消耗系数反映的是各部门之间的技术经济联系。直接消耗系数是 投入产出模型的核心。有了直接消耗系数，我们就可以把经济因素和技术因 素有机地结合起来，对经济问题进行定性与定量的结合分析。
所以，X = (I -
1.1296 0.0198 0.1505 182 301.13 301.13 -1 = 1945.71（亿元） 1522.8 1945.71 = A) Y 0.2021 1.1422 0.3903 0.0803 0.0474 1.2382 434.5 624.79 624.79
xn1 xn 2 xnn Y ' n M n X n
x11 x12 x1n Y '1 M 1 X 1 x21 x22 x2n Y ' 2 M 2 X 2 ……..
x11 x21 xn1 G1 X 1 x12 x22 x2n G2 X 2 …… x1n x2n xnn Gn X n
用矩阵表示该方程组为：
c1 0 0 c2 ˆ c = 0 0 0 0 0 0 O 0
式中
n ai1 0 i=1 0 = cn
ˆ cX G X
a
i=1 n i2
X O n ain i=1
把直接消耗系数引入投入产出表的行模型: 由式 aij 第一行 第二行
= xij Xj
得
xij aij X j 代入投入产出表的横向关系方程:
可以由已知的各部 门总产出Xi推算各 部门的最终使用Yi 当知道 直接消 耗系数 矩阵A和 最终使 用列向 量Y时, 可推算 各部门 的总产
a11X1 + a12 X 2 + + a1n X n + Y1 - M1 = X1 a 21X1 + a 22 X 2 + + a 2n X n + Y2 - M 2 = X 2
该式的意义在于： 由各部门总产出X测 算各部门增加值G。 0 0 1 - c3
该式的作用是： 由各部门增加值 G测算各部门总 产出X。
2. 用增加值表示总产出
1 =
ˆ X ( I c) 1 G
0 1 1 - c2 0 0
全消耗量，它等于直接消耗系数与全部间接消耗系数之和。用bij表示：
bij aij bi1 a1 j bi 2 a 2 j bin a nj
第j种产品通过 第1种产品对第 i种产品的全部 间接消耗
(I - A)-1 1 0 = 0 1 0 0 0 0.1053 0 - 0.1404 1 0.0526 0.0111 0.1053 0.1111 0.2632 = 0.0333 0.1754
-1
直接消耗系数表 农业部门 1 工业部门 2 农业部门1 工业部门2 其他部门3 合 计 0.1053 0.1404 0.0526 0.2983 0.0111 0.1111 0.0333 0.1555
全部直接消耗系数组成的矩阵称直接消耗系数矩阵，用大写字母Ａ表 示，即：
a11 a 21 A = a n1 a12 a 22 a n2 a1n a 2n a nn
…… a n1X1 + a n2 X 2 + + a nn X n + Yn - M n = X n 第n行 为了简便，令 Y 'i M i Yi （下文仍称Yi为最终产品） 上述方程组可用矩阵表示为： Y X AX
Y1 a11 a12 L a1n X1 式中： = a 21 a 22 L a 2n X = X 2 Y = Y2 A L L L Y X a a L a n n n1 n2 nn
X1 G1 X G = 2 G = 2 L L X G n n
由
ˆ cX G X
ˆ 1. 用总产出表示增加值 G ( I c) X
0 1 0 0 c1 0 0 1 - c1 (I ˆ 式中 - c) = 0 1 0 - 0 c2 0 = 0 1 - c2 0 0 1 0 0 c 0 0 3
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
-1
1.1296 0.0198 = 0.2021 1.1422 0.0803 0.0474
0.1505 0.3903 1.2382
Y ( I A) X
X ( I A) 1 Y
投入产出 表行模型
出X。
例：利用上述的直接消耗系数，已知农业、工业和“其 他”三个部门的总产出分别在285亿元、1800亿元和570亿元 的基础上增长5%、10%和12%，试推算各部门的最终使用。
285 × 105% = 299.25 0.1053 0.0111 0.1053 X = 1800 × 110% = 1980 A 解：已知 = 0.1404 0.1111 0.2632 570 × 112% = 638.4 0.0526 0.0333 0.1754
1 - c1 0 0
式中
ˆ (I - c)
-1
0 1 1 - c3
农业生产对电力的消耗
农业对电力 的直接消耗
灌溉、脱粒
农业对电力的 一次间接消耗 农业对电力的 二次间接消耗
种子
农业 生产 化肥 运输
生产种子消耗的电力
煤 机器 设备 生产煤消耗的电力 钢铁 煤
农业对电力的 四次间接消耗
即农业、工业、“其他”各部门的总产出应分别达到301.13 亿元、1945.71亿元和624.79亿元。
把直接消耗系数引入投入产出表的列模型:
把 xij aij X j 代入投入产出表的纵向关系方程 ： 第一列 a11 X 1 a21 X 1 an1 X 1 G1 X 1 第二列 a12 X 2 a22 X 2 an2 X 2 G2 X 2 第一列各直接消耗系 …… 数之和，用C1表示； 第n列 a1n X n a2n X n ann X n Gn X n 整理,得：
所以： Y ( I A) X
1 0 0 0.1053 0.0111 0.1053 299.25 = 0 1 0 - 0.1404 0.1111 0.2632 1980 0 0 1 0.0526 0.0333 0.1754 638.4
Y ' M
i 1 i i 1
n
n
i
G j
j 1
n
三、
在模型中引入直接消耗系数
直接消耗系数是指第j部门生产单位产品所直接消耗的第i部门产品 或服务的数量, 记为aij (i、j＝1、2、……、n)。公式表示为：
a ij
xij X
j
由上节简表中的数据计算的全部直接消 耗系数列表如下： 其他部门 3 0.1053 0.2632 0.1754 0.5439
第二节
完全消耗系数
一、完全消耗的概念： 生产第j种产品对第i种产品的直接消耗和所有的间接消耗 之和就是第j种产品对第i种产品的完全消耗。示例如下：
农业
农业对电力 的直接消耗
农业
工业
其他部门 电力
农业对电力的 一次间接消耗
农业、工业、其他部门
农业对电力的 二次间接消耗
二
完全消耗系数
完全消耗系数：是第j部门生产单位产品对第i部门产品(或服务)的完
该方程组称为投入产出表的消耗平衡方程组。
（三）横向与纵向关系 就各部门而言(即i=j时)，i部门总产出等于j部门总投入，即第 I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示为：
x
j 1
n
ij
Y 'i M i xij G j
i 1
n
（四）最终使用与最初投入之间的关系 第II象限总量等于第III象限总量，即在一定时期内，全社会 国内生产总值的使用额与生产额相等。公式表示为：
投
入
二 投入产出表的数学模型 投入产出表的数学模型主要表现四个方面的关系：
（一）横向关系 各生产部门为其他部门(包括本部门)提供的中间产品和为社会提供的 最终产品之和减进口等于该部门的总产品，公式表示为：
该式称为投入产出表的分配平衡方程组。 （二）纵向关系
各生产部门的中间投入加最初投入等于该部门的总投入，公式表示为：
终
使
用
部 门2 x12 x22 … xn2 xnn
n
出口 合计 资本 … 形成Hi Ei Y’i H1 H2 … Hn ∑Hi E1 E2 … En Y’1 Y’2 … Y’n
进 口 (-) Mi
M1 M2 … Mn
总 产 出 Xi
X1 X2 … Xn
i
中 间 投 入
第三章 投入产出表的数学模型
第一节
第二节
投入产出表数学模型的一般形式
完全消耗系数
第一节
投入产出表数学模型的一般形式
一、投入产出表的一般形式
中
产出 投入 部门1 部门2 … 部门n 部 门1 x11 x21 … xn1
1
间
使
用
合计 ∑x1j ∑x2j … ∑xnj ∑∑x
ij
最
最终 消费 wi w1 w2 …. wn ∑wi
0.1053 0.0111 0.1053 0.1404 0.1111 0.2632 0.0526 0.0333 0.1754
直接消耗系数反映的是各部门之间的技术经济联系。直接消耗系数是 投入产出模型的核心。有了直接消耗系数，我们就可以把经济因素和技术因 素有机地结合起来，对经济问题进行定性与定量的结合分析。
所以，X = (I -
1.1296 0.0198 0.1505 182 301.13 301.13 -1 = 1945.71（亿元） 1522.8 1945.71 = A) Y 0.2021 1.1422 0.3903 0.0803 0.0474 1.2382 434.5 624.79 624.79
xn1 xn 2 xnn Y ' n M n X n
x11 x12 x1n Y '1 M 1 X 1 x21 x22 x2n Y ' 2 M 2 X 2 ……..
x11 x21 xn1 G1 X 1 x12 x22 x2n G2 X 2 …… x1n x2n xnn Gn X n
用矩阵表示该方程组为：
c1 0 0 c2 ˆ c = 0 0 0 0 0 0 O 0
式中
n ai1 0 i=1 0 = cn
ˆ cX G X
a
i=1 n i2
X O n ain i=1
把直接消耗系数引入投入产出表的行模型: 由式 aij 第一行 第二行
= xij Xj
得
xij aij X j 代入投入产出表的横向关系方程:
可以由已知的各部 门总产出Xi推算各 部门的最终使用Yi 当知道 直接消 耗系数 矩阵A和 最终使 用列向 量Y时, 可推算 各部门 的总产
a11X1 + a12 X 2 + + a1n X n + Y1 - M1 = X1 a 21X1 + a 22 X 2 + + a 2n X n + Y2 - M 2 = X 2
该式的意义在于： 由各部门总产出X测 算各部门增加值G。 0 0 1 - c3
该式的作用是： 由各部门增加值 G测算各部门总 产出X。
2. 用增加值表示总产出
1 =
ˆ X ( I c) 1 G
0 1 1 - c2 0 0
全消耗量，它等于直接消耗系数与全部间接消耗系数之和。用bij表示：
bij aij bi1 a1 j bi 2 a 2 j bin a nj
第j种产品通过 第1种产品对第 i种产品的全部 间接消耗
(I - A)-1 1 0 = 0 1 0 0 0 0.1053 0 - 0.1404 1 0.0526 0.0111 0.1053 0.1111 0.2632 = 0.0333 0.1754
-1
直接消耗系数表 农业部门 1 工业部门 2 农业部门1 工业部门2 其他部门3 合 计 0.1053 0.1404 0.0526 0.2983 0.0111 0.1111 0.0333 0.1555
全部直接消耗系数组成的矩阵称直接消耗系数矩阵，用大写字母Ａ表 示，即：
a11 a 21 A = a n1 a12 a 22 a n2 a1n a 2n a nn
…… a n1X1 + a n2 X 2 + + a nn X n + Yn - M n = X n 第n行 为了简便，令 Y 'i M i Yi （下文仍称Yi为最终产品） 上述方程组可用矩阵表示为： Y X AX
Y1 a11 a12 L a1n X1 式中： = a 21 a 22 L a 2n X = X 2 Y = Y2 A L L L Y X a a L a n n n1 n2 nn
X1 G1 X G = 2 G = 2 L L X G n n
由
ˆ cX G X
ˆ 1. 用总产出表示增加值 G ( I c) X
0 1 0 0 c1 0 0 1 - c1 (I ˆ 式中 - c) = 0 1 0 - 0 c2 0 = 0 1 - c2 0 0 1 0 0 c 0 0 3