二次型的定义和矩阵表示
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f ( x1, x2, x3 )
1 2
x1 x2
x1 x3
1 2
x2
x1
3 2
x2 x3
x3
x1
3 2
x3 x2
令
x1 X x2 ,
x3
则
0
A
1
1 2 0
1
3
2 2
1
3 2
0
f ( x1, x2, x3 ) X T AX
令
x1
X
x2
,
M
xn
则
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
f ( x1, x2, , xn ) X T AX
a1n
a2n
M
ann
称对称矩阵A为二次型的矩阵，称 秩(A) 为二次型的秩。
例 已知弹簧系统的动能与势能
其中
X x1 , x2
k
A
1
m
2
1 2
k
k
该系统正规振动的角频率为 ，其中 是方程
的解。
| K A | 0
例 写出下列二次型的矩阵表达式
(1) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) 2x12 x32 5x42 x1x2 4x2 x4
X
x2 x3 x4
,
则
2
A
1 2
1 2 0
0 0
0
2
0 0 1 0
0 2 0 5
f ( x1, x2, x3, x4 ) X T AX
（2） f ( x1, x2 , x3 ) x1x2 2x1x3 3x2 x3
均为实（复）数时，称之为实（复）二次型。
称 xi2 为二次型的平方项，称 xi x j 为二次型的交
叉项或混合项。
令
aj i
ai
j
1 2
di
j
(i j,
i, j 1,2, , n)
ai i di i ( i 1,2, , n )
则
f ( x1, x2, , xn ) a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2
•
T [x1
•
x2
]
1 2
m
1 2
m
•
x1
•
x2
•
X
TK
•
X
其中
•
X
•
x1
•
x2
,
K 21 m
21 m
V [x1
k
x2
]
1
m
2
1 2
k
x1
XT
AX
k x2
（3） f ( x1, x2, x3, x4 ) x12 2x22 3x32
令
x1
X x2 ,
x3
1
A 2
3
则
f ( x1, x2, x3 ) X T AX
f
(
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4
)
2 x12
1 2
x1 x2
0 x1 x3
0 x1x4
1 2
x2 x1
0
x22
0 x2 x3
2x2 x4
0x3 x1 0x3 x2 x32 0x3 x4
0x4 x1 2x4 x2 0x4 x3 5x42
wk.baidu.com 令
x1
定义 n个变量 x1，x2， ，xn 的二次齐次多
项式
f x1，x2， ，xn d11x12 d12 x1x2 d1nx1xn
d22 x22 d2n x2 xn dnnxn2
称为一个n元二次型。当 f ( x1，x2， ，xn ) 的系数
f ( x1, x2, x3 )
1 2
x1 x2
x1 x3
1 2
x2
x1
3 2
x2 x3
x3
x1
3 2
x3 x2
令
x1 X x2 ,
x3
则
0
A
1
1 2 0
1
3
2 2
1
3 2
0
f ( x1, x2, x3 ) X T AX
令
x1
X
x2
,
M
xn
则
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
f ( x1, x2, , xn ) X T AX
a1n
a2n
M
ann
称对称矩阵A为二次型的矩阵，称 秩(A) 为二次型的秩。
例 已知弹簧系统的动能与势能
其中
X x1 , x2
k
A
1
m
2
1 2
k
k
该系统正规振动的角频率为 ，其中 是方程
的解。
| K A | 0
例 写出下列二次型的矩阵表达式
(1) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) 2x12 x32 5x42 x1x2 4x2 x4
X
x2 x3 x4
,
则
2
A
1 2
1 2 0
0 0
0
2
0 0 1 0
0 2 0 5
f ( x1, x2, x3, x4 ) X T AX
（2） f ( x1, x2 , x3 ) x1x2 2x1x3 3x2 x3
均为实（复）数时，称之为实（复）二次型。
称 xi2 为二次型的平方项，称 xi x j 为二次型的交
叉项或混合项。
令
aj i
ai
j
1 2
di
j
(i j,
i, j 1,2, , n)
ai i di i ( i 1,2, , n )
则
f ( x1, x2, , xn ) a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2
•
T [x1
•
x2
]
1 2
m
1 2
m
•
x1
•
x2
•
X
TK
•
X
其中
•
X
•
x1
•
x2
,
K 21 m
21 m
V [x1
k
x2
]
1
m
2
1 2
k
x1
XT
AX
k x2
（3） f ( x1, x2, x3, x4 ) x12 2x22 3x32
令
x1
X x2 ,
x3
1
A 2
3
则
f ( x1, x2, x3 ) X T AX
f
(
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4
)
2 x12
1 2
x1 x2
0 x1 x3
0 x1x4
1 2
x2 x1
0
x22
0 x2 x3
2x2 x4
0x3 x1 0x3 x2 x32 0x3 x4
0x4 x1 2x4 x2 0x4 x3 5x42
wk.baidu.com 令
x1
定义 n个变量 x1，x2， ，xn 的二次齐次多
项式
f x1，x2， ，xn d11x12 d12 x1x2 d1nx1xn
d22 x22 d2n x2 xn dnnxn2
称为一个n元二次型。当 f ( x1，x2， ，xn ) 的系数