电路与电子技术基础第五章习题答案

V1 R + uS (a) 题图 5-5 习题 5-12 电路图 L + V2 (b) V1 R V2 L C V3
uS
解：电压表的读数为正弦电压的有效值。 用相量图求解，设电流为 I = I∠0 ，电阻电压与电流同相，电感电压超前电流 90°，电容电
o
i(t ) = i1 (t ) + i 2 (t ) = 2 cos(ωt + 60 o ) (A)
•
•
•
I 2 = 3∠90 o = j 3
•
（注：所谓正弦量既可以是正弦也可以是余弦，仅差 900 相位差，所以此处将其化为余 弦，主要就是让同学们了解：正弦量不单单是正弦，也可以是余弦。 ） 5-2 已知 u ab = 100 cos(314t + 30 o ) V，u bc = 100 sin(314t + 60 o ) V ，在用相量法求 uac 时，
+ cosωt + 1H 1F (a) 题图 5-2 习题 5-4 电路图及相量图 (b)
I
•
1Ω
1∠0 o
jω
−j
1
ω
解：画出原电路的相量模型如题图 5-2(b)所示，根据欧姆定律有：
I= 1+ jω − j
•
1∠0 o jω ( − j 1
= )
ω 2 −1 ω 2 − 1 − jω
=
(ω 2 − 1)(ω 2 − 1 + jω ) (ω 2 − 1) 2 + ω 2
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习题五
5-1 若 i1 (t ) = cos ωt A，i 2 (t ) = 3 sin ωt A，求i1 (t ) + i 2 (t )。
解：设 i(t)=i1(t)+i2(t)，各电流均为同频率的正弦波，以相量表示后得：
I = I1+ I 2
• • •
根据已知条件有： I 1 = 1∠0 o = 1 所以， I = 1 + j 3 = 2∠60 o 与相量 I 相对应的正弦电流 i(t)为：
• • • •
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（2）指出下列各式是否有错？
U I= ； R + ωL U = U L +U R ；
• • • • •
Im =
Um ； R + ωL
U L =U
•
•
jωL ； R + jωL
U R =U
•
•
R R + ωL
u = u L + u R；
U m = U Lm + U rm
o
o
•
[
o
)
]
（2） U = 5∠90 o = 5 2 sin(ωt + 90 o )V 同（1）相量形式与瞬态表示不是相等关系而是对应关系。 （3） i (t ) = 2 cos(ωt − 15 o ) = 2∠ − 15 o A 同（1） i (t ) = 2 cos(ωt − 15 o ) = 2 sin(ωt + 75 o )A （4） U = 220∠38 o V U 应该是相量形式，而不是有效值。即 U = 220∠38 o V 5-8 试求下列正弦信号的振幅、频率和初相角，并画出其波形图 解： （1）u(t)=10sin314tV
=
(ω 2 − 1) 2 + jω (ω 2 − 1) (ω 2 − 1) 2 + ω 2
ω
1
ω
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• (ω 2 − 1) 2 = 0 (实部） 令 I = 0 ，则有 2 ω (ω − 1) = 0 （虚部）
解之得：ω=±1 时，实部和虚部均为 0，舍去负值后得ω=1 故当ω=1rad/s 时，LC 并联电路发生谐振，其阻抗为无穷大，此时的电路相当于开路， 故稳态电流为零。 5-5 若某电路的阻抗为 Z=3+j4，则导纳 Y =
• • • •
解：方法（一） 、 （三）是正确的，方法（二） 、 （四）是错误的，它们的错误在于：在 同一问题中采用了两种不同的标准来表示正弦量，方法（二）中， U ab 是用 1∠0 o 代表 cos ωt 写出的，而 U bc 则是用 1∠0 o 代表 sin ωt 写出的，其结果显然是不正确的。方法（四）中，U ab 是用 1∠0 o 代表 sin ωt 写出的， U bc 则是用 1∠0 o 代表 cos ωt 写出的，其结果仍然是不正确的。 因此在分析正弦稳态电路时， 虽然既可以用正弦表示也可以用余弦表示， 但在分析题是只能 选其中一种，不可混用，否则导致错误。 5-3 （1）指出题图 5-1 所示相量模型是否有错？
o
= 2.24∠63.4 o V
u s (t ) = 2.24 cos(2t + 63.4 o )V
2Ω 1H 2Ω 1/4F 2Ω • •
j2Ω
•
+j -j2 2Ω
UC
•
+
i
+ us -
uR1 - +
uL
+
+ + •
U R1 - + U L Us UC IC
• •
I
Us
•
UL
Leabharlann Baidu
•
uc
ic
iR2
I R2
• • R R 应改为 U R = U R + ωL R + jωL • • •
改为 U m = U Lm + U rm ， 即用最大值相量表示也是正确的。 式 U m = U Lm + U rm 是不正确的， 5-4 电路如题图 5-2(a)所示，问频率ω为多大时，稳态电流 i(t)为零？
i(t) 1Ω
解： （1）题图 5-1(a)所示的相量模型有错误，因为电流应用相量表示，电感需用感抗表 示，故应改为题图 5-1(b)所示的相量模型。
i +
UL L R U
•
•
I
+
•
UL jωL R U
•
•
U
(a)
•
U
(b)
•
题图 5-1
习题 5-3 电路相量图
• • •
（2）式 U L = U 错。
•
•
jωL ； R + jωL
2ω − j
=
8ω 4 − 6ω 2 + 3 + j (−4ω 3 + ω ) 4ω 4 − 3ω 2 + 1
当ω=0 时，Z=3Ω
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5-12
电路如题图 5-5 所示， 电压源均为正弦电压， 已知图(a)中电压表读数为 V1： 30V，
V2：60V；图(b)中的 V1：15V，V2：80V，V3：100V。求电源电压 US。
•
•
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Um=10V，ω=314，ω=2πf，f=ω/2π=314/2π=50Hz，θu=0 （2）u(t)=5sin(100t+30°)V Um=5V，ω=100，ω=2πf，f=ω/2π=100/2π=15.92Hz，θu=30 （3）u(t)=4cos(2t-120°)V Um=4V，ω=2，ω=2πf，f=ω/2π=2/2π=0.32Hz，θu=-120+90=-30 （4） u (t ) = 8 2 sin(2t − 45 o ) Um=11.31V，ω=2，ω=2πf，f=ω/2π=2/2π=0.32Hz，θu=-45
1 1 + j 。对吗？为什么？ 3 4
解：这是不对的。 因为导纳 Y 定义为： Y = 故有： Y = G + jB =
1 ，而 Y = G + jB, Z
Z = R + jZ
R 1 X = 2 −j 2 2 R + jX R + X R +X2
R 1 ≠ G= 2 2 R R +X 于是得： −X 1 B = ≠ 2 2 X R +X
下列四种算法得答案哪些是正确的？不正确的，错在何处？ 方法一： 方法二：
U ab = 86.6 + j 50 U bc = 86.6 − j 50 U ab + U bc = 173.2 + j 0 u ac = 173.2 cos 314t V
• • • •
U ab = 86.6 + j 50 U bc = 50 + j86.6 U ab + U bc = 136.6 + j136.6 u ac = 193.4 cos(314t + 45 o ) V
• • • • •
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UC
•
− j2 × 2 • • • 2 − j2 1− j = Us = U s = 0.447∠ − 63.4 o × U s − j2 × 2 2 + j2 +1 − j 2 + j2 + 2 − j2
UC
•
则 故
Us =
•
0.447∠ − 63.4
−j
4
2 2
=
3 4 −j 25 25
答： （1） i (t ) = 2 sin(ωt − 15 o ) = 2e − j15 A 因为 i(t)是瞬态表示，它与相量是对应关系而不是相等关系，即 i (t ) = 2 sin(ωt − 15 o ) ，
↔ I = 2e − j15 。若用等式表示，则应写为 i (t ) = 2 sin(ωt − 15 o ) = IM 2e j (ωt −15
U = U L +U R ；
u = u L + u R 是正确的，其余各式均有
• U U 式I = 应改为 I = （欧姆定理在正弦稳态电路中的形式） R + ωL R + jωL
•
•
•
式 Im =
•
Um 应改为 I m = R + ωL
•
Um R 2 + (ωL) 2
（计算电流的模的方法）
式U R = U
• • •
•
方法三：
U ab = −50 + j86.6 U bc = 50 + j86.6 U ab + U bc = 0 + j173.2 u ac = 173.2 sin(314t + 90 o ) V
• • • •
方法四：
U ab = −50 + j86.6 U bc = 86.6 − j 50 U ab + U bc = 36.6 + j 36.6 u ac = 51.7 sin(314t + 45 o ) V
•
U R1
•
+1 (a) 题图 5-3 (b) 习题 5-10 电路图和相量模型 (c)
相量图题图 5-3(c)所示。 5-11 电路如题图 5-4(a)所示，写出输入阻抗与角频率ω的关系式，当ω=0 时，输入阻 抗是多少？
2Ω 2H 2Ω
j2ω
1F
1Ω
-j1/ω
1Ω
(a) 题图 5-4 习题 5-10 电路图及相量模
(b)
解：原电路的相量模型如题图 5-4(b)所示，输入阻抗为
Z = 2+
(1 + j 2ω )(− j 1 + j 2ω − j
1 1
ω = 2+
)
ω
1 + j (−4ω 3 + ω ) ω − j (2ω 2 − 1) 2 = + ω + j (2ω 2 − 1) ω − j (2ω 2 − 1) ω 2 + (2ω 2 − 1) 2 × Ω
因此， Y = 5-6
3
2 2
3 +4 3 +4 在某一频率时，测得若干线性时不变无源电路的阻抗如下： RC 电路： Z=5+j2 RL 电路： Z=5-j7 RLC 电路： Z=2-j3 LC 电路： Z=2+j3 这些结果合理吗？为什么？ 解： （1）此结果不合理。因为 RC 电路阻抗 Z 的虚部应为负值。 （2）此结果不合理。因为 RL 电路阻抗 Z 的虚部应为正值。 （3）此结果合理。 （4）此结果不合理。因为 LC 电路阻抗 Z 的实部应为零。 5-7 指出并改正下列表达式中的错误
u u
-30 0
ωt
0
ωt
(1) u
(2) u
0 30
ωt
0 45
ωt
(3)
(4)
5-9
写出下列相量所表示的正弦信号的瞬时表达式（设角频率均为ω）
• •
答： （1） I 1m = (8 + j12)A 因为： I 1m = (8 + j12) = 14.42∠56.31o A 则： i1 (t ) = 14.42 sin(ωt + 56.31o )A （2） I 2 = 11.18∠ − 26.6 o A 则： i 2 (t ) = 211.18 sin(ωt − 26.6 o ) = 15.81 sin(ωt − 26.6 o )A （3） U 1m = (−6 + j8)V 因为： U 1m = (−6 + j8) = 10∠126.87 o V 则： u1 (t ) = 10 sin(ωt + 126.87 o )V （4） U 2 = 15∠ − 38 o V 则： u 2 (t ) = 215 sin(ωt − 38 o )V = 21.21 sin(ωt − 38 o )V 5-10 电路如题图 5-3(a)所示。 已知 uc(t)=cos2t V，试求电源电压 us(t)。分别绘出题图中所标出的所有电压和和所标出 的所有电流的相量图。 解：做原电路的相量模型，如题图 5-3(b)所示。 已知： U C = 1∠0 o V ，根据分压公式得：