微积分(上册)第六章

以及点ξi的取法无关，则该极限称为函数f(x)在区间［a,b］上的
定积分，记作∫baf(x)dx
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分 变量，a称为积分下限，b称为积分上限，［a,b］称为积分区间， “∫”称为积分号，是拉丁文Summa一词的字头S拉长.
一、 定积分的概念
(1)定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和积分区间 ［a,b］有关，而与积分变量用哪个字母表示、区间如何分 割(采用均匀分割或非均匀分割)及点ξi的取法(可以取第i个 小区间的左端点、右端点或中点，也可以是区间内任意一 点)
Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1 在每个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n 个乘积f(ξi)Δxi
一、 定积分的概念
记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},
λ→0
∑ni=1f(ξi)Δxi的极限存在，并且其极限与区间［a,b］的分割方法
前面介绍的两个实例其解决的实际 问题虽不同，但其解决问题所用的思想 和方法却是相同的，即“分割、近似、 求和、取极限”.我们就把这类问题抽象 成一个数学概念，称之为定积分.
一、 定积分的概念
定义1
设f(x)是定义在区间［a,b a=x0<x1<…<xn－1<xn=b
把区间［a,b］分成个n x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn
ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n).
一、 定积分的概念
(3)求和.把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯 形面积A
A≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn=∑ni=1f(ξi)Δxi. (4)取极限.为了保证每个小区间的长度都趋近于零，就必 须要求小区间长度的最大值趋于零，若记 λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，则上述条件相当于λ→0.当λ→0时(必 然是小区间的个数无限增大，即n→∞)，对上式取极限，就得
一、 定积分的概念
1. 实例引入
实例1求曲边梯形的面积. 设f(x)为闭区间［a,b］上的连 续函数，且f(x)≥0.由曲线y=f(x)， 直线x=a，x=b以及x轴所围成的 平面图形，称为曲边梯形，如图61所示.那么，这个曲边图形的面积 如何计算呢？
图 6-1
一、 定积分的概念
我们知道，平面图形可以划为若干个曲边梯形 之和.为了解决求平面图形面积的问题，先来解决如 何求曲边梯形的面积问题.现在，我们所遇到的Βιβλιοθήκη Baidu要 困难是：它的一条边f(x)是曲线，如果f(x)是平行于x
一、 定积分的概念
(1)分割.在［a,b］区间内任取n－1 a=x0<x1<…<xn－1<xn=b
把区间［a,b］分成个n ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn
Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1 过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. (2)近似.在每个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－ xi－1为底，f(ξi)为高的窄矩形代替第i个小曲边梯形(i=1,2,…,n)，若记ΔAi为第 i
一、 定积分的概念
实例2变速直线运动的路程. 设某物体做直线运动，已知它的速度v=v(t)是时间间隔 ［T1,T2］上的连续函数，且v(t)≥0.该物体在这段时间内所经历
匀速直线运动中，v(t)=
但速度随时间变化的运动就不能用这种方法计算路程了.然 而，由于物体运动的速度是连续变化的，在很短的时间间隔内， 速度的变化很小，可以把这段时间间隔内变速运动近似看成匀 速运动.这就提示了计算变速直线运动路程的方法.
可见，定积分本质上就是一个和式的极限.利用定积分 (1)连续曲线y=f(x)［f(x)≥0］、x轴及两条直线x=a， x=b所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间［a,b］上
(2)
v=v(t)(v(t)≥0)
t=T1到t=T2，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间 ［T1,T2
一、 定积分的概念
微积分
（上册）
第三章 导数与微分
第一节 导数的基本概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高 阶 导 数 第四节 隐函数及由参数方程所确定 第五节 函数的微分及其应用
第一节
定积分的概念及性质
第六章 定积分及其应用
一元函数的积分学分为两个部分，一部分是上 一章介绍的不定积分；另一部分就是本章将要介绍 的定积分，它包括定积分的概念、运算与应用.定积 分有着广泛的应用，本章着重介绍如何运用定积分 的微元法解决各种实际问题的定积分模型.作为定积 分概念的推广，本章还要介绍广义积分.
矩形的面积＝底×高.
一、 定积分的概念
但曲边梯形的面积不能用这个公式计算，因为它各处的高 是不同的.为了解决上面的困难，我们用一组平行于y轴的直线 将曲边梯形分割成若干个小窄曲边梯形.针对每个小窄曲边梯形， 由于它的底很窄，高f(x)变化不大，可以近似地看作不变，小窄 曲边图形可近似为窄矩形.把这些小窄曲边图形面积的近似值加 起来就得到了原曲边梯形面积的近似值.可以想象，把曲边梯形 分得越细，所得到的近似值的精确度就越高.因此，当无限细分 (每个小矩形的底边长都趋于零)时，所得的近似值如果有极限， 就可定义该极限值为曲边梯形的面积.下面分四步具体讨论：
一、 定积分的概念
(1)分割.在时间间隔［T1,T2］内任意插入n－1 T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2
把［T1,T2］分成n ［t0,t1］,［t1,t2］,…,［tn－1,tn
Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t1,…,Δtn=tn－tn－1
Δs1,Δs2,…,Δsn. (2)近似.在时间间隔［ti－1,ti］上任取一时刻τ i，以τ i时的速度v(τ i) 作为时间间隔［ti－1,ti］上的平均速度计算Δsi
Δsi≈v(τ i)Δti(i=1,2,…,n).
一、 定积分的概念
(3)求和.将这n个小段路程相加就得到物体在时间 间隔［T1,T2
(4)取极限.记λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，当λ→0时， 对上式取极限，就得到变速直线运动在时间间隔 ［T1,T2
一、 定积分的概念
2. 定积分的定义