赵树嫄微积分第四版第六章定积分
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《微积分赵树嫄》课件
ABCD
工程问题
在工程学中，微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中，微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
THANKS
感谢观看
连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质，如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率，是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ，它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质，如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛，包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中，导数可以用来 求切线斜率，解决曲线的凹凸性问题。在经济学中，导数 可以用来分析边际成本和边际收益，预测市场需求和价格 变动。在物理科学中，微分可以用来计算速度和加速度， 分析物体的运动规律。此外，导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限，我们可以 进行加、减、乘、除等运算，得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数，我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等，这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。
《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
6.1定积分的概念
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
近
似:
在小区间[xi1,
xi]上任取一点xi
作乘积
,
f
(xi
)Dxi
n
求 和: 再求和 f (xi)Dxi ;
取极限: 如果当i1 0时上述和式的极限存在, 且极限值与区
间[a, b]的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在
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实例2 （求变速直线运动的路程）
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受阅区
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实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
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性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba.
性质5
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
.
(a < b)
（2）
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx.
(a < b)
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b
a f (x)dx
（此性质可用于估计
m(ba)
积分值的大致范围）
微积分教学大纲
微积分课程教学大纲Calculus课程编号：适用专业：总学分：6学分总学时：96学时课程性质：学科专业基础课先修课程：高中数学后续课程：线性代数，概率论与数理统计教学目的与要求：高等数学课程是本科院校各专业的一门必修的重要基础课。
本课程所介绍的解决问题的方法，广泛地应用于各个学科。
通过本课程的学习，逐步培养学生抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、空间想象能力、比较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习其它基础课程和专业课程打下基础。
在课程教学中，以启发式课堂讲授为主，结合各种教学方法，有意识地增加训练、启发思维、培养能力，逐步借助现代化教学工具和教学手段，不断提高教学效率和教学质量。
部分专业可根据专业需要，由任课教师对教学内容作适当调节。
教学内容与学时安排第一章函数与极限（12学时）第一节函数一、数集与邻域二、函数的概念三、函数的表示法四、函数的特性五、复合函数初等函数六、建立函数关系举例第二节数列的极限一、数列的概念二、极限思想概述三、数列极限的定义第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质第四节无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与函数极限的关系四、无穷小的性质第五节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限存在法则两个重要的极限二、两个重要的极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性和间断点一、函数连续的概念二、连续函数的运算性质三、初等函数的连续性四、函数的间断点及其分类第九节闭区间上连续函数的性质本章重点：函数极限的概念及运算，函数连续的概念及初等函数的连续性。
本章难点：两个重要极限，无穷小比较。
第二章导数与微分（10学时）第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、按定义求导举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系第二节基本导数公式与函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、基本导数公式四、复合函数的求导法则第三节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的求法第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的求导方法二、幂指函数的求导方法*三、由参数方程所确定的函数的求导法则第五节函数的微分一、微分的定义二、可导与可微的关系三、微分的几何意义四、基本微分公式与微分的运算法则*第六节导数概念在经济学中的应用一、边际分析二、弹性分析本章重点：导数的定义、基本求导公式及求导法则。
赵树嫄-《微积分(第四版)》第八章 多元函数微积分(1)
36
例6
求
lim
( x, y)(0,0)
x2 y x2 y2
.
解 由基本不等式 | xy | 1 ( x2 y2 ) , 知 2
(2) 单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
(3) 双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
o
y
x
21
(4) 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
z
特殊情况：a b ,
x2 y2 a2z2 --圆锥面.
o
y
z
x
z x2 y2
y
o
x
28
函数 z ln( x y) 的定义域为
{( x, y) | x y 0}
y
o
x
29
例3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解 | 3 x2 y2 | 1
y
x
y2
0
2 x2 y2 4
例如： x y 0 ,
z
x yz2,
z (0,0,2)
x yz2
oy
o
y
x
(0,2,0) x (2,0,0)
14
2º 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
15
例4 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面。
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
第六章 定积分的性质
x
求 lim
x x
x2
x2
t sin
3 t
f ( t )dt .
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2 ], 使 x
x
t sin t sin
3 t 3 t
f ( t )dt sin
3
f ( )( x 2 x ), 3 f ( )
例2
估计积分
2 4
sin x x
dx 的值.
解
f (x)
sin x x
,
x[ , ] 4 2
微积分
f ( x )
x cos x sin x x
2
cos x ( x tan x ) x
2
0
f ( x ) 在 [ , ]上 单 调 下 降 , 4 2 2 2 , 故 x 为极大点，x 为极小点, M f ( ) 4 4 2
0
e dx 和
x
2
0
xdx 的大小.
令 f (x) e x x, 解
x [2, 0]
2
0
( e x ) dx 0 ,
x
2 0
2 e
0
x
dx
2x dx , 于是
0
e dx
x
0
2
x dx .
性质5的推论：（比较定理） （1） 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
在 区 间 [a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ，使 得 以 区 间 [ a , b ] 为
底边，
求 lim
x x
x2
x2
t sin
3 t
f ( t )dt .
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2 ], 使 x
x
t sin t sin
3 t 3 t
f ( t )dt sin
3
f ( )( x 2 x ), 3 f ( )
例2
估计积分
2 4
sin x x
dx 的值.
解
f (x)
sin x x
,
x[ , ] 4 2
微积分
f ( x )
x cos x sin x x
2
cos x ( x tan x ) x
2
0
f ( x ) 在 [ , ]上 单 调 下 降 , 4 2 2 2 , 故 x 为极大点，x 为极小点, M f ( ) 4 4 2
0
e dx 和
x
2
0
xdx 的大小.
令 f (x) e x x, 解
x [2, 0]
2
0
( e x ) dx 0 ,
x
2 0
2 e
0
x
dx
2x dx , 于是
0
e dx
x
0
2
x dx .
性质5的推论：（比较定理） （1） 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
在 区 间 [a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ，使 得 以 区 间 [ a , b ] 为
底边，
赵树嫄-《微积分(第四版)》第一章 函数
基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
2232??????xx????????????????????22322322xxxx?????????????????0304322xxxx?????????????????3041xxx或01??????x或43????xx01??43即即4301?????x
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
U
A B
U A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质： A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如，U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
解 由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别，若 B A ，则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
2232??????xx????????????????????22322322xxxx?????????????????0304322xxxx?????????????????3041xxx或01??????x或43????xx01??43即即4301?????x
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
U
A B
U A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质： A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如，U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
解 由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别，若 B A ，则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.
赵树嫄微积分第四版第六章 定积分
f ( x ) dx S
曲边梯形的面积
b a
f ( x ) dx S 曲边梯形面积的相反数
y
y f ( x)
a
o
y f ( x)
b
x
a o
b
x
11
y
f ( x)
A1
A3
A2
A5
a
b a
A4
b
x
f ( x ) dx A1 A2 A3 A4 A5
若要求阴影部分的面积, 则为
m(b a ) f ( x ) dx M (b a ) ，
a
b 1 m f ( x ) dx M ， ba a 由闭区间上连续函数的介值定理知， b 1 [a , b] , 使 f ( ) f ( x ) dx , ba a b 即 f ( x) dx f ( )(b a) .
不恒为零，则有
b a
f ( x ) dx 0 .
证略
17
推论1 若 f ( x ) g ( x ), x [a , b] ,
则
b a
f ( x )dx g( x )dx .
a b
b
进一步，若 f ( x ) g( x ) ，且 f ( x) 和 g( x) 不恒等，则有
于是 f ( x) 单调增加, f ( x ) f (0) 0 ，
x ln( 1 x) ， x 0 .
于是
1 0
x dx ln( 1 x ) dx .
0
23
1
2 2 x 1 dx . 例2 证明下列不等式： 2 1 x 1 5 2 x ， 证 设 f ( x) 2 x 1
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1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
2019/5/11
蚌埠学院 高等数学
8
ห้องสมุดไป่ตู้
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时，
解:利用一阶微分形式不变性,有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
2019/5/11
蚌埠学院 高等数学
6
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1：函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2：函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du
微分形式不变性
结论： 无论u是自变量还是中间 , 函变数量 y f (u)的微分形式总是不变。
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11
例1. yln(1ex2),求 d y .
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
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ห้องสมุดไป่ตู้
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时，
解:利用一阶微分形式不变性,有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
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可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1：函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2：函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du
微分形式不变性
结论： 无论u是自变量还是中间 , 函变数量 y f (u)的微分形式总是不变。
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例1. yln(1ex2),求 d y .
赵树嫄微积分第四版微分方程与差分方程简介
称 g (y)d yf(x )d x为可分离变量的方程。
两边积分, g(y)d yf(x)d x
设 函 数 G (y )和 F (x )是 依 次 为 g (y )和 f(x )
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y ) F (x ) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书 中只讨论常微分方程，如下例：
yxy, 一阶 dyxd yx
22
2
s d x x i n cx s d x c l|n cx s c cx o | C t
例 求 方 程 y x 1 ( 1 y y x 2 2 )满 足 y ( 1 ) 2 的 特 解 .
解
y
1
分离变量， 1y2dyx(1x2)dx
两边积分
1l
n1(
y2)
1
2
2
x2(11x2)dx2
dx x y2 , dy y
此 即 一 阶 线 性 方 程 , 解 得 通 解 为
将y和y代入原方程 u(x 得 )eP(x)dxQ (x),
积分得 u (x )Q (x )e P (x )d x d x C ,
所以原方程的通解为:
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
两边积分, g(y)d yf(x)d x
设 函 数 G (y )和 F (x )是 依 次 为 g (y )和 f(x )
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y ) F (x ) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书 中只讨论常微分方程，如下例：
yxy, 一阶 dyxd yx
22
2
s d x x i n cx s d x c l|n cx s c cx o | C t
例 求 方 程 y x 1 ( 1 y y x 2 2 )满 足 y ( 1 ) 2 的 特 解 .
解
y
1
分离变量， 1y2dyx(1x2)dx
两边积分
1l
n1(
y2)
1
2
2
x2(11x2)dx2
dx x y2 , dy y
此 即 一 阶 线 性 方 程 , 解 得 通 解 为
将y和y代入原方程 u(x 得 )eP(x)dxQ (x),
积分得 u (x )Q (x )e P (x )d x d x C ,
所以原方程的通解为:
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
微分经济数学赵树嫄
211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
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四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
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二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
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2.
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
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练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
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例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
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例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,