0-1背包问题的算法设计策略对比与分析

算法设计与分析大作业

班级：电子154 *名：***

学号： ************* 任课老师：李瑞芳

日期： 2015.12.25

算法设计与分析课程论文

0-1背包问题的算法设计策略对比与分析

0 引言

对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的。在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起到决定性的作用。通俗的讲，算法是解决问题的一种方法。也因此，《算法分析与设计》成为计算科学的核心问题之一，也是计算机科学与技术专业本科及研究生的一门重要的专业基础课。算法分析与设计是计算机软件开发人员必修课，软件的效率和稳定性取决于软件中所采用的算法；对于一般程序员和计算机专业学生，学习算法设计与分析课程，可以开阔编程思路，编写出优质程序。通过老师的解析，培养我们怎样分析算法的“好”于“坏”，怎样设计算法，并以广泛用于计算机科学中的算法为例，对种类不同难度的算法设计进行系统的介绍与比较。本课程将培养学生严格的设计与分析算法的思维方式，改变随意拼凑算法的习惯。本课程要求具备离散数学、程序设计语言、数据结构等先行课课程的知识。

1 算法复杂性分析的方法介绍

算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上，所需的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需资源越少，该算法的复杂性越低。对计算机资源，最重要的是时间与空间（即存储器）资源。因此，算法的复杂性有时间复杂性T(n)与空间复杂性S(n)之分。

算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，这个量应集中反映算法的效率，并从运行该算法的实际计算机中抽象出来，换句话说，这个量应该只依赖要解决的问题规模‘算法的输入和算法本身的函数。用C表示复杂性，N,I和A表示问题的规模、算法的输入和算法本身规模，则有如下表达式：

C=F(N,I,A) T=F(N，I,A) S=F(N，I,A)

其中F(N,I,A)是一个三元函数。通常A隐含在复杂性函数名当中，因此表达式中一般不写A。

即：C=F(N,I) T=F(N,I) S=F(N,I)

算法复杂性中时间与空间复杂性算法相似，所以以下算法复杂性主要以时间复杂性为例：

算法的时间复杂性一般分为三种情况：最坏情况、最好情况和平均情况。下面描述算法复杂性时都是用的简化的复杂性算法分析，引入了渐近意义的记号O,Ω，θ，和o。

O表示渐近上界Ω表示渐近下界：

θ表示同阶即：f(n)= O(g(n))且 f(n)= Ω（g(n)）

2 常见的算法分析设计策略介绍

2.1 递归与分治策略

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

递归算法举例：

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0-1背包问题的算法设计策略对比与分析

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Fibonacci 数列

无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci 数列。它可以递归地

定义为：

第n 个Fibonacci 数可递归地计算如下：

int fibonacci (int n)

{

if (n <= 1) return 1;

return fibonacci (n-1)+fibonacci (n-2);

}

从上看出：

递归算法的有点为：

结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、

调试程序带来很大方便。

缺点为：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递

归算法要多。

分治算法：

一个分治法将规模为n 的问题分成k 个规模为n ／m 的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc 解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k 个子问题以及用merge 将k 个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：

通过迭代法求得方程的解： 算法举例：

二分搜索技术：给定已按升序排好序的n 个元素a[0:n-1]

，现要在这n 个元素中找出一特定元素x 。

据此容易设计出二。搜索算法：

template

int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r)

{

while (r >= l){

int m = (l+r)/2;

if (x == a[m]) return m;

if (x < a[m]) r = m-1; else l = m+1;

}

return -1;

} 110)2()1(11)

(>==⎪⎩⎪⎨⎧-+-=n n n n F n F n F 11)()/()1()(>=⎩⎨⎧+=n n n f m n kT O n T ∑-=+=1log 0log )

/()(n m j j

j k m m n f k n n T

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算法复杂度分析：

每执行一次算法的while 循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，

while 循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下

的计算时间复杂性为O(logn)。

快速排序法：

在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就

能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，

因而总的比较和移动次数较少。

void QuickSort (Type a[], int p, int r)

{

if (p

int q=Partition(a,p,r);

QuickSort (a,p,q-1); //对左半段排序

QuickSort (a,q+1,r); //对右半段排序

}

}

复杂性分析：

最坏时间复杂度：O(n2)

平均时间复杂度：O(nlogn)

辅助空间：O(n)或O(logn)

2.2 动态规划

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题但是经分解

得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

方法步骤：

1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

2）递归地定义最优值。

3）以自底向上的方式计算出最优值。

4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

举例：矩阵连成问题

基本要素：

1） 最优子结构

2） 重叠子问题

3） 备忘录方法

将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i ≤j

考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak 和Ak+1之间将矩阵链断开，i ≤k

A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。

)

...)(...(211j k k k i i A A A A A A +++