离散数学-第7章-特殊关系ppt课件
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
《离散数学 》课件_第7章
图 7.2―6
图 7.2―7
7.3 特殊的格
7.3.1 分配格
任何格的元素都能满足分配不等式,但某些特殊格, 其所有元素都能满足分配律。
序关系≤可定义为细分,πi≤πj当且仅当πi中的每一块都在
πj的某一块中。
+分别是保交和
保联。所以〈π(S),≤〉是格。
例如S=｛a,b,c｝,则 π(S)=｛π1,π2,π3,π4,π5｝ π1=｛｛a,b,c｝｝,π2=｛｛a,b｝,｛c｝｝, π3=｛｛a,c｝,｛b｝｝, π4=｛｛a｝,｛b,c｝｝ π5=｛｛a｝,｛b｝,｛c｝｝ 〈π(S),≤〉的哈斯图如图7.1―1(d)所示。 (e)图7.1―1(e)所示的哈斯图也是一个格。
(9) 吸收律的证明。
由公式(1′)有a≥a,由公式(4)有a≥a*b,因此,根据公式
(5′)得a≥a (a*b),但由公式(4′)有a (a*b)≥a,这样,根据 公式(2′)得a Fra biblioteka*b)=a。
(10)a≤b a*b=a a b=b的证明。
先证a≤b a*b=a,由公式1知a≤a,由假设a≤b,所以,由
由对偶原理得a*b=b*a。(下边都仅证两对偶恒等式 中的一个。)
(7) 结合律的证明。
设R=a (b c)和R′=(a b) c,由公式(4′)(加撇表示 右侧的公式,下同)得R≥a,R≥b c,根据公式(4′)和(3′)得 R≥b和R≥c。这样,根据公式(5′)得R≥a b;由R≥a b和R≥c 得R≥(a b) c=R′。类似地可证R′≥a (b c)=R。因此, 根据公式(2′)
(12) 保序性的证明。
公式(11)中d取为a即得。
(13)分配不等式的证明。
离散数学课件
1 1 1 c a c b b d a c c b
0 ¬ 1
1 0
《离散数学》
page: 4
7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y
z=x*y
x
x
2013年10月25日星期五
作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
《离散数学》
page: 5
o a b zl c zl d zl o a b c d zr zr zr zr zr
zl zl
如，R上的普通除法中的0，普通乘法中的0，集合交， 并运算中的空集与全集 page: 19
2013年10月25日星期五
《离散数学》
7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素，逆元，消去律 ③零元 设o为S上的二元运算，若存在元素，∀x↔S，有 zlox=zl (xozr=zr) ， 则称 zl(zr)为左（右）零元。 若运算o既有左零元zl，又有右零元zr，则其左右零元 必相等且惟一，此时称为运算o的零元z。
2013年10月25日星期五
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z↔S，都有: x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。 如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
2013年10月25日星期五
《离散数学》
page: 7
7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y↔S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。 如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
离散数学第七章第2讲课件.ppt
《定理》如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配 的，反之亦然。 证明：已知对格中任意元素a,b,c，有： a (b c) ＝ (a b) (a c)，而 (a b) (a c b) c) =a ((a c) (b c)) =(a (a c)) (b c) =a (b c)
《定义》设<A,,>是由格<A,≤>所诱导的代数系统。对A 中任意a，b，c，如果b ≤ a，就有 a (b c) ＝ b (a c) 则称<A,≤>为模格。
《定理》分配格是模格。 证明：对于分配格中任意元素a,b,c,有： a (b c) ＝ (a b) (a c) 若b ≤ a，则a b=b，代入上式得 a (b c) ＝ b (a c) ∴分配格是模格。
即：并对交也是分配的。
《定理》每个链均是分配格。 证明：设<A,≤>是链。对任意a，b，cA (1) 若a≤b或a≤c，则 a (b c) ＝ a， (a b) (a c)＝a 即： a (b c) ＝ (a b) (a c) (2) 若a≥b且a≥c，则 a (b c) ＝ b c， (a b) (a c)＝ b c 即：a (b c) ＝ (a b) (a c)。 ∴ 定理成立。
《定理》如果<A,≤>是有界格，全上界和全下界分别是1和0，则 对任意元素aA，有： a1 = 1a = 1 a1 = 1a = a a0 = 0a = a a0 = 0a = 0 证明：∵ a≤a，a≤1，∴a ≤ a 1， 而 a1 ≤ a，根据偏序关系的反对称性可得 ： a1= a， 由交换律可得：a 1＝1 a=a。 类似可证另两式。
定理：设<A，≤>是一个分配格，则对于任意a，b，c A， 如果有a∧b =a∧c和a∨b =a∨c成立，则必有b=c。
第7章 特殊关系
0 1 2 11
……
12 20102010-7-2 13 14 23 9292-8
离散数学课程组——国家精品课程, 离散数学课程组——国家精品课程,国家双语教学示范课程 ——国家精品课程
解 (续)
(x1. 对 任 意 x∈A , 有 (x-x) 被 12 所 整 除 , 所 以 <x,x>∈R, 是自反的. <x,x>∈R,即R是自反的. 任意x,y∈A x,y∈A, <x,y>∈R, (x-y)被12整除 整除, 2. 对任意x,y∈A,若<x,y>∈R,有(x-y)被12整除, (y-x)= (x-y)被12整除 所以,<y,x>∈R, 整除, 则(y-x)=-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R, 是对称的. 即R是对称的. 任意x,y,z∈A x,y,z∈A, <x,y>∈R且 <y,z>∈R, 3. 对 任意 x,y,z∈A , 若 <x,y>∈R 且 <y,z>∈R , 有 (x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除 所以(x 所整除且(y 所整除, (x(x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除,所以(x(x(yz) = (x-y) + (y-z) 被 12 所 整 除 , 所 以 , <x,z>∈R, 是传递的. <x,z>∈R,即R是传递的. 由1,2,3知R是等价关系. 是等价关系.
一般掌握
了解 3 拟序, 1 拟序,全序 和良序关系的 相关性质. 相关性质.
2
拟序, 1 拟序,全序 和良序关系的 定义; 定义; 2拟序与偏序关 的联系 拟序,全序, 3 拟序,全序, 良序的联系. 良序的联系.
……
12 20102010-7-2 13 14 23 9292-8
离散数学课程组——国家精品课程, 离散数学课程组——国家精品课程,国家双语教学示范课程 ——国家精品课程
解 (续)
(x1. 对 任 意 x∈A , 有 (x-x) 被 12 所 整 除 , 所 以 <x,x>∈R, 是自反的. <x,x>∈R,即R是自反的. 任意x,y∈A x,y∈A, <x,y>∈R, (x-y)被12整除 整除, 2. 对任意x,y∈A,若<x,y>∈R,有(x-y)被12整除, (y-x)= (x-y)被12整除 所以,<y,x>∈R, 整除, 则(y-x)=-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R, 是对称的. 即R是对称的. 任意x,y,z∈A x,y,z∈A, <x,y>∈R且 <y,z>∈R, 3. 对 任意 x,y,z∈A , 若 <x,y>∈R 且 <y,z>∈R , 有 (x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除 所以(x 所整除且(y 所整除, (x(x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除,所以(x(x(yz) = (x-y) + (y-z) 被 12 所 整 除 , 所 以 , <x,z>∈R, 是传递的. <x,z>∈R,即R是传递的. 由1,2,3知R是等价关系. 是等价关系.
一般掌握
了解 3 拟序, 1 拟序,全序 和良序关系的 相关性质. 相关性质.
2
拟序, 1 拟序,全序 和良序关系的 定义; 定义; 2拟序与偏序关 的联系 拟序,全序, 3 拟序,全序, 良序的联系. 良序的联系.
离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
第七章 格和布尔代数
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学关系完整ppt课件
因为A ⊆ A，B∩C ⊆ B和B∩C ⊆ C，所以有 A×(B∩C) ⊆ A×B和A×(B∩C) ⊆ A×C成立， 因此A×(B∩C) ⊆(A×B)∩(A×C)。
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
精选ppt
11
(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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9
证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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6
定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
精选ppt
7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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8
定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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11
(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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9
证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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6
定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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8
定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
《离散数学关系》课件
表示元素之间的顺序关系，如 大小关系、前后关系等。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学 关系的性质 PPT
离散数学 关系的性质
自反性与反自反性
例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA
小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则
s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
对称性与反对称性
实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系
反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.
实例
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系
自反性与反自反性
例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA
小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则
s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
对称性与反对称性
实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系
反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.
实例
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系
离散数学第7章PPT课件
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
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7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
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0 0
1 0
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7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
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判定下列关系具有哪些性质
1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”
关系；
2. 对任何非空集合A，A上的全关系；
3. 三角形的“相似关系”、“全等关系”；
4. 直线的“平行关系”； 5. “朋友”关系。
等价 关系
解：1, 2, 3都具有自反性，对称性和传递性 ；
4. 具有反自反和，对称性，不具有自反和传递性；
7.1 本章学习要求
重点掌握
1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
2020/4/8
一般掌握
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义； 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
了解
3 1 拟序、全序 和良序关系的 相关性质。
92-3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
(3) 对任意x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有 n|事(x实-y上) 且，n对|(任y-意z)正，整所数以n，由整(x数-z集)=合(xZ-的y)任+(意y-非z)
空子得集n|A(上x-的z)关，系所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(R2=){、<x(,3y)>知|{，x,Ry是∈ZA上}∧的(等n|价(x关-y系))。} 都是等价关系。
关系R将集合A分成了如下的12个子集： {0,12}，{1,13}，{2,14}，{3,15}， {4,16}，{5,17}，{6,18}，{7,19}， {8,20}，{9,21}，{10,22}，{11,23} 。
这12个A的子集具有如下特点： 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2、不同子集的元素之间无关系R。
2020/4/8
92-12
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
说明
这n个Z的子集具有如下特点： 1. 在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2. 不同子集的元素之间没有关系R； 3. 不同子集的交集是空集； 4. 所有这些子集的并集就构成集合Z。
解
（1）R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,…,<23,23 >,<0,12>, <12,0>,<1,13>,<13,1>,<2,14>,<14,2>, …, <11,23>,<23,11>}}
（2）此关系的关系图：
0
1
2
11
……
12
13
14
2020/4/8
23 92-8
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离散数学
电子科技大学计算机科学与工程学院
2020年4月8日星期三
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第7章 特殊关系
1
2
内
容
3
提
要
4
5 2020/4/8
等价关系 拟序关系 偏序关系 全序关系
良序关系
次 序 关 系
92-2
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5. 具有自反和对称性，不具有传递性。
2020/4/8
92-4
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7.2 等价关系
定义7.2.1 设R是定义在非空集合A上的关系，如 果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等 价关系。
由定义7.2.1知： （1）关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性； （2）关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反 性或对称性或传递性。
有 (x-y) 被 12 所 整 除 且 (y-z) 被 12 所 整 除 ， 所 以
(x-z)＝(x-y)＋(y-z)被12所整除，所以，
<x,z>∈R，即R是传递的。
由1,2,3知R是等价关系。
2020/4/8
92-9
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从例7.2.2可以看出
2020/4/8
92-5
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例7.2.1
判定下列关系是否是等价关系? 不具有对称性
1. 幂集上定义的“”关系；
2. 整数集上定义的“＜”关系； 不具有对称性，
3. 全体中国人所组成的集合上
自反性
定义的“同性别”关系。
是等价关系
2020/4/8
92-6
解 (续)
1. 对任意x∈A， 有 ( x - x ) 被 1 2 所 整 除 ， 所 以
<x,x>∈R，即R是自反的。
2. 对任意x,y∈A，若<x,y>∈R，有(x-y)被12整除，
则(y-x)＝-(x-y)被12整除，所以，<y,x>∈R ，
即R是对称的。
3. 对任意x,y,z∈A，若<x,y>∈R且<y,z>∈R，
此时，R将Z分成了如下n个子集：
{…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…}
{…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…}
{…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…}
…
{…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
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92-11
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以n为模的同余关系
上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence
Relation)，记xRy为
x＝y(mod n)
称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。
2020/4/8
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例7.2.3
证设明n为(正1)整数对，任考意虑x整Z数，集有合n|Z(上x-的x)整，除所关以系<如x,下x>：R， 即R是自R=反{<的x,。y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))}
(证2)明R对是任一意个x等,y价关Z，系若。<x,y>R，即n|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。
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例7.2.2
在时钟集合A＝{0,1,2,…,23}上定义整除关系： R＝{<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)｝。
（1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。
2020/4/8
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1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”
关系；
2. 对任何非空集合A，A上的全关系；
3. 三角形的“相似关系”、“全等关系”；
4. 直线的“平行关系”； 5. “朋友”关系。
等价 关系
解：1, 2, 3都具有自反性，对称性和传递性 ；
4. 具有反自反和，对称性，不具有自反和传递性；
7.1 本章学习要求
重点掌握
1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
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一般掌握
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义； 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
了解
3 1 拟序、全序 和良序关系的 相关性质。
92-3
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(3) 对任意x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有 n|事(x实-y上) 且，n对|(任y-意z)正，整所数以n，由整(x数-z集)=合(xZ-的y)任+(意y-非z)
空子得集n|A(上x-的z)关，系所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(R2=){、<x(,3y)>知|{，x,Ry是∈ZA上}∧的(等n|价(x关-y系))。} 都是等价关系。
关系R将集合A分成了如下的12个子集： {0,12}，{1,13}，{2,14}，{3,15}， {4,16}，{5,17}，{6,18}，{7,19}， {8,20}，{9,21}，{10,22}，{11,23} 。
这12个A的子集具有如下特点： 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2、不同子集的元素之间无关系R。
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说明
这n个Z的子集具有如下特点： 1. 在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2. 不同子集的元素之间没有关系R； 3. 不同子集的交集是空集； 4. 所有这些子集的并集就构成集合Z。
解
（1）R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,…,<23,23 >,<0,12>, <12,0>,<1,13>,<13,1>,<2,14>,<14,2>, …, <11,23>,<23,11>}}
（2）此关系的关系图：
0
1
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第7章 特殊关系
1
2
内
容
3
提
要
4
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等价关系 拟序关系 偏序关系 全序关系
良序关系
次 序 关 系
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5. 具有自反和对称性，不具有传递性。
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7.2 等价关系
定义7.2.1 设R是定义在非空集合A上的关系，如 果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等 价关系。
由定义7.2.1知： （1）关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性； （2）关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反 性或对称性或传递性。
有 (x-y) 被 12 所 整 除 且 (y-z) 被 12 所 整 除 ， 所 以
(x-z)＝(x-y)＋(y-z)被12所整除，所以，
<x,z>∈R，即R是传递的。
由1,2,3知R是等价关系。
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从例7.2.2可以看出
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例7.2.1
判定下列关系是否是等价关系? 不具有对称性
1. 幂集上定义的“”关系；
2. 整数集上定义的“＜”关系； 不具有对称性，
3. 全体中国人所组成的集合上
自反性
定义的“同性别”关系。
是等价关系
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解 (续)
1. 对任意x∈A， 有 ( x - x ) 被 1 2 所 整 除 ， 所 以
<x,x>∈R，即R是自反的。
2. 对任意x,y∈A，若<x,y>∈R，有(x-y)被12整除，
则(y-x)＝-(x-y)被12整除，所以，<y,x>∈R ，
即R是对称的。
3. 对任意x,y,z∈A，若<x,y>∈R且<y,z>∈R，
此时，R将Z分成了如下n个子集：
{…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…}
{…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…}
{…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…}
…
{…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
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以n为模的同余关系
上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence
Relation)，记xRy为
x＝y(mod n)
称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。
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例7.2.3
证设明n为(正1)整数对，任考意虑x整Z数，集有合n|Z(上x-的x)整，除所关以系<如x,下x>：R， 即R是自R=反{<的x,。y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))}
(证2)明R对是任一意个x等,y价关Z，系若。<x,y>R，即n|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。
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例7.2.2
在时钟集合A＝{0,1,2,…,23}上定义整除关系： R＝{<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)｝。
（1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。
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