大一高数复习资料【完整版】

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高等数学（非数院）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部

分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

(){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列{}n

x ，证明{}lim n

x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言 1．由n

x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦ 2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦。当N n >时，始终有不等式n

x a ε-<成立， ∴{}a x n

x =∞

→lim

第三节 函数的极限 ○0

x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim 【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()0

0x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当0

0x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim ○∞→x 时函数极限的证明

（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim 【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式

()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim 第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大

⇔()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相

关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1

f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1

-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦

（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在

x x =的任一去心邻域()δ,0

x U

内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）

2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0

x

x →时的无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞

→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦ （()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★

★）

（定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m

m m

b x b x b x q a

x a x a x p 1

101

1

则有

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

()()()

()000

lim 0

0x x f x g x f x g x →⎧⎪

⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==

（特别地，当

()()00lim 0

x x f x g x →=（不

定型）时，通常分子分母约

去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值2

3

3

lim 9

x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2

3

3

3

3311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()2

3

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

3

332

33

11lim lim lim

9

26

9x L x x x x x x x '→→→'

--===-'

-

○连续函数穿越定理（复合

函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00

lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

【题型示例】求值：9

3lim 23

--→x x x 【

求解示

例

】

223

3331

6lim 996

6

x x x x x x →→--===

--

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：1sin lim 0

=→x

x

x ∵⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0

=→x x

x 0

00

lim11

lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫ ⎪⎝⎭

（特别地，0

sin(

)

lim 1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）

（★★★）

第二个重要极限：e

x

x

x =⎪

⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

（

一

般

地，

()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦

⎣⎦

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞

→⎪⎭⎫

⎝⎛++x x x x 【求解示例】 ()()21

1

1

212

1212

2121

1221

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

⋅++++⋅⋅+++→∞

+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫

⎛

⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎡

⎤⎛

⎫⎛

⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭

⎝⎭

⎣

⎦

⎡

⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣

⎦

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 1

21x x x x x x x x x e

e

e e +→∞⎡⎤

⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦

+⎛⎫

⎪

+⎝

⎭

==== 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +-

2．U U cos 1~212

- （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim

2

++++→ 【求解示例】