概率论 总体与样本

总体
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…
注: ▲ 总体依其包含的个体总数分为有限总体(个体 的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。
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总体可以用一个随机变量来表示
考察某大学一年级 学生的年龄
设该大学一年级学生 的年龄分布如下表
年龄 18 19 20 21 22
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总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也 就是样本取到样本值的规律，因而可以由样 本值去推断总体.
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总体
寿命X可用一概 F(x) 率分布来刻划
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号
或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
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二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”，所抽取的部分个体称为 样本，
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。 例如:
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样”
这 5 辆轿车为一个样本，其样本容量为 5
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为了使得样本能很好的反映总体的情况，从总体 中抽取样本，必须满足下述两个条件：
随机性：为了使样本具有充分的代表性，抽样必 须是随机的，总体中的每个个体都有同等的机会 被抽到；
总体与样本
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一. 总体和个体
定义
数理统计中，我们把所研究对象的全体称 为总体；总体中的每个元素称为个体
例1. (1)
(2)
当研究某地区职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
F ( x1, xn ) F ( xi )
i 1
X1,
X2, Xn
联合概率密度为：
n
f ( x1, xn ) f ( xi )
i 1
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三. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体 的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽 取10人测量身高，得到10个数，它们是样 本取到的值而不是样本. 我们只能观察到 随机变量取的值而见不到随机变量.
在对总体X进行一次具体的抽样并观测之后，
得到样本
X1, X 2 的X确n 切数
值 x1, x2 xn，称为样本观察值(观测值)， 简称为样本值
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如果把容量为 n 的样本看作 n 维随机变量。 且总体X 的分布函数为 F( x )，概率密度为 f (x)，则 ：
X1, X2,
Xn
联合分布函数为：
n
比例 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03
某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体
若从该大学一年级学生中任 意抽查一个学生的年龄，所 得结果为一随机变量，记作
X.
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考察某大学一年级 学生的年龄
X的概率分布是：
18 19 20 21 22 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03
某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体
可见，X的概率分布反 映了总体中各个值的分布 情况. 很自然地，我们就 用随机变量X来表示所考 察的总体.
也就是说，总体可以用一个随机变量 及其分布来描述.
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又如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数
量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随Hale Waihona Puke Baidu
机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.
独立性：各次抽取必须是独立的，即每次抽样的 结果既不影响其它各次抽样，也不受其它各次抽 样的影响
这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样 由此得到的样本称为简单随机样本
以后我们涉及的抽样和样本都是指简单随机抽样 和简单随机样本
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定义
设总体X是具有某一概率分布的随机变量。 如果 X1, X 2 X n 相互独立，且都与X具 有相同的概率分布，则称其为来自总体X 的简单随机样本，简称为样本，n称为样 本容量。