矩阵及其运算精品PPT课件

(2) | A | = n| A |;
(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.
一个重要结论 A, B为n阶方阵，则：
(1) AB 0 | AB | 0 | A | 0或 | B | 0
(2) AB 0, 且A 0 | B | 0
(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构
| A| (3)初等变换法 (4)分块矩阵法; 待定系数
A为n阶方阵, 记
(A)=a0E+a1A+···+amAm, 则(A)称为方阵A的m次多项式, 简称矩阵多项式.
矩阵多项式可以类似与一般多项式一样相乘或分解因 式.
定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P-1AP = B ,
成的如下矩阵
A
A11 A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质: (1) AA* = A*A = | A | E.
(2) ( A* )1 ( A1 )* A | A|
10. 逆矩阵
对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = E
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
4 29 2
2 9 0
2012年选考题 三、计算下列各题
1 0 1
1 0 0
1.(8分)设A 0 2 0，C 0 2 0，B为一个3阶
则称矩阵A与B相似. 也有A = PBP-1, 相似矩阵有
(1). Am= PBmP-1.
(2).若(A)=a0E+a1A+···+amAm, 则
(A) =P(B)P-1
一、矩阵的运算（加法、数乘、乘法和转置）
2010年期末考试题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
4. 矩阵的加法
设有两个同型的 mn 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩 阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即
5. 数与矩阵相乘
数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作A或 A, 简称为数乘.(注意与数乘行列式的区别)
6. 矩阵与矩阵相乘
设A=(aij)是一个ms 矩阵, B=(bij)是一个sn 矩阵,
则称矩阵A是可逆的(非奇异的, 非退化的), 并称矩阵B 为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作A-1.
(1) 若 AB = E ( 或 BA = E ), 则 B = A-1.
(2) 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0. (3) 若A是可逆矩阵, 则 A1 1 A ,
| A|
(4) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且
0
2
n
0
1
2
Hale Waihona Puke Baidu, (1 2 n 0)
1
n
0 n
2
1 0
1
0 1
1 n1
分块对角阵的 逆矩阵类似！
A
0
1
0 1 A1
B
0
0
B
1
1
n
,
0
(12 n 0)
0 A1 0 B1
B
0
A
1
0
逆矩阵的计算方法:
(1)定义法; (2)伴随矩阵法: A1 1 A; 低阶矩阵
0 0 1
1 0 0
可逆矩阵，求(BCT E)T (AB1 )T [(BA 1 )T ]1 .
1 0 0 答案：CAT 0 4 0
1 0 0
2012年选考题
五.(10分)设三阶矩阵A满足AP PB，其中
1 0 0
1 0 0
B 0 1 0，P 1 1 0，求A及A5 .
0 0 0
2 1 1
A1 1 A1 .
(5) 若A可逆, 则A-1亦可逆, 且 (A-1)-1 = A.
(6) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1.
(7) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.
(8) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=| A |-1.
转置矩阵的运算性质
(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
方阵行列式的运算性质 (1) | AT | = | A |;
一、基本概念
1. 矩阵的定义
由mn个数 aij ( i=1,2,···,m;j=1,2,···,n )排成的m行
n列的数表:
A
a11
a21 am1
a12
a22 am1
a1n
a2n amn
称为m行n列的矩阵. mn 矩阵.:
A=Amn=( aij )mn=( aij ).
这mn个数aij称为矩阵A的元素.
2011年选考题，填空题(4分)
0 0 0
1、已知 （1,2,3）, (1, 1 , 1 )，且A T ，
则An ____1___12.
1 3
定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵, 其
中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aik bkj
k 1
( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作C=AB.
注意：矩阵相乘不满足交换律
7. 转置矩阵
把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵 A 的转置矩阵, 记作AT.
1 0 0
1 0 0
答案：P 1
1
1 0，A A5 2 1 0
3 1 1
1 1 0
矩阵的n次幂
2011年期末考试题 ，填空题(4分) (课后题2题)：
1 0 1
4、设A 0 2 1,而n 2为正整数,则An 2 An1 _____ .
1 0 1
0 0 0
2n2 0 2n2
二阶矩阵求逆矩阵的计算
例4:
求
a c
b d
的逆矩阵(
ad
–
bc
0
).
求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法, 其做
法如下: 先将矩阵A中的主对角元素调换其位置, 再将次对
角元素调换其符号, 最后除A的行列式|A|.
A1
|
1 A A|
ad
1
bc
d c
ab .
对角矩阵的逆矩阵
1
0
1
1 1
0