2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共

10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5 分）（2011?湖北）i 为虚数单位，则（）2011

=（）

A．﹣i B．﹣1C．i D．1

2．（5 分）（2011?湖北）已知U={y|y=log 2x，x＞1} ，P={y|y= ，x＞2} ，则C u P=（）

A．

[ ，+∞）

B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）

3．（5 分）（2011?湖北）已知函数f（x）= sinx﹣c osx，x∈R，若f（x）≥1，则x 的取值范围为（）

A．

B．

{x|k π+ ≤x≤kπ+π，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C．

D．

{x|k π+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z}

2

4．（5 分）（2011?湖北）将两个顶点在抛物线y =2px （p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为

n，则（）

A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3

2

），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）5．（5 分）（2011?湖北）已知随机变量ξ服从正态分布

N（2，a A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

x﹣x

﹣

a

6．（5 分）（2011?湖北）已知定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a +2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（）

2

A．2 B．C．D．a

7．（5 分）（2011?湖北）如图，用K、A 1、A 2 三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且 A 1、A 2 至少有一

个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576

8．（5 分）（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的

取值范围

为（）

A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]

9．（5 分）（2011?湖北）若实数a，b 满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b 互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b

那么φ（a，b）=0 是a 与b 互补的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

10．（5分）（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯

137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯

137的含量．已知t=30时，铯

137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）

A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）（2011?湖北）（x﹣）1815

的展开式中含x的项的系数为_________．（结果用数值表示）

12．（5分）（2011?湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示

）

13．（5分）（2011?湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上

面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第

5节的容积为_________升．

14．（5分）（2011?湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′O y′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．

（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；

2（Ⅱ）已知平面β内的曲线

C′的方程是（x′﹣

）

+2y 2

﹣

2=0，则曲线

C′在平面α内的射影C的方程是_________．

15．（5分）（2011?湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色

正方形互不相连的着色方案如图所示

：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（10分）（2011?湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

（I）求△ABC的周长；

C）的值．

（II）求cos（A﹣

17．（12分）（2011?湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车

流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

观测

点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某

可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

18．（12分）（2011?湖北）如图，已知正三棱柱A BC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1

上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；

A F﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．

（Ⅱ）设二面角

C﹣

19．（13分）（2011?湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．

，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

**

（Ⅱ）若存在k∈N，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意

的m∈N

．

论

成等差数列，并证明你的结

20．（14分）（2011?湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点

的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2

（Ⅱ）当m=﹣

1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣

2

的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，．

请说明理由

21．（14分）（2011?湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2⋯，n）均为正数，证明：

⋯≤1；

（1）若a1b1+a2b2+⋯a n b n≤b1+b2+⋯b n，则

222

（2）若b1+b2+⋯b n=1，则≤⋯≤b1．

+b2+⋯+b n