等差等比数列的性质总结

等差数列

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

，首项:，公差:d，末项:

推广：．从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列

．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数)是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

（5）若{}是等差数列，则，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得达到最大值时的值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。

若S p = S q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等比数列

1. 等比数列的定义：，称为公比

2. 通项公式：

，首项：；公比：推广：，从而得

或

3. 等比中项

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4. 等比数列的前n项和公式：

(1) 当时，

(2) 当时，

（为常数）5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列

（2）等比中项：（0）为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

（4）前n项和公式：

为等比数列

6. 等比数列的证明方法

依据定义：若或为等比数列

7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；

如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；

8. 等比数列的性质

(1) 当时

①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比

②前n项和

，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：

(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列.

(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列

(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列

(7) 若为等比数列,则数列，，，成等比数列

(8) 若为等比数列,则数列

, , 成等比数列

(9) ①当时，②当时，

,

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,,.

(11)若是公比为q的等比数列,则

例1、（1）设是等差数列，且，求及S15值。