概率论与数理统计 第六章样本与抽样分布

§6.1 总体与个体 二. 样本 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽 取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数 目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
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注意
i 1
n
今后，若不特别说明，就指简单随机样本.
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§6.1 总体与个体 四. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具 体的、确定的值. 如我们从某班大学生中 抽取10人测量身高，得到10个数，它们是 样本取到的值而不是样本. 我们只能观察 到随机变量取的值.
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
某批 灯泡的寿命 国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
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§6.1 总体与个体 由于每个个体的出现是随机的，所以相 应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可 以把这种数量指标看作一个随机变量，因此 随机变量的分布就是该数量指标在总体中的 分布. 注意 这样，总体就可以用一个随机变量 及其分布来描述.统称总体X。
第六章 样本与抽样分布
• 本章主要内容
§1 总体与个体 §2 直方图与经验分布函数 §3 统计量及其分布
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§6.1 总体与个体 一.总体与个体 1.定义1：一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
§6.1 总体与个体 例1-1：已知总体X服从参数为 的泊松分布，求样本
的联合分布律．
解 总体 X 的分布律为
x P{X x} e x! ，
x 0, 1, 2, ，
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§6.1 总体与个体
所以样本 X1 , X 2 ,
, X n 的联合分布律为
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§6.1 总体与个体
总体（理论分布） ？
样本 样本值 统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
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§6.1 总体与个体
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量. 但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一 次观察值，简称样本值 .
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§6.1 总体与个体 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推 断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信 息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”， 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
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§6.1 总体与个体 类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
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, X n xn } e n xi
i 1 n
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,
i 1 n
x
i
xi !
e

n
x !
i 1 i
其中 x 0,1, 2,
．
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§6.2 直方图与经验分布函数 一、直方图（自学）
当取得一组样本值后，一般先根据样本的 取值作出频率直方图对总体的分布情况作一个 几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的 分析推断．直方图是频数分布的图形表示，它 的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标 有三种表示方法：频数，频率，最准确的是频 率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。凡 此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择， 直方图本身并无变化。
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§6.1 总体与个体 2. 有限总体和无限总体
总体容量有限的成为有限总体 总体容量无限的称为无限总体 定义2：样本中所包含的个体数目n称为样本容量。
注：当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地 将它看成是无限总体.
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§6.1 总体与个体
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§6.1 总体与个体 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本， 去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项 指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车 的耗油量…) ，所谓总体的性质，无非就是 这些指标值的集体的性质.
而概率分布正是刻划这种集体性质的适当 工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等 同起来.
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, xn ) F ( xi )
i 1
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n
§6.1 总体与个体 若连续总体的概率密度函数为f (x) ， 则其样本的联合概率密度函数为
f ( x1 , x2
xn ) f ( xi )
i 1
n
离散时，概率函数是指分布率p(x), 则其样本的联合分布率为
P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P( X i xi }
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§6.1 总体与个体 由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示. 三.样本的概率分布 若总体的分布函数为F(x)，则其简单 随机样本的联合分布函数为
F ( x1 , x2 ,
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§6.1 总体与个体
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数 量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随 机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示. F(x) 寿命X可用一概 总体 率分布来刻划
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .