结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载
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第15章 结构的塑性分析与极限荷载
第17章
结构的极限荷载
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实 上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有
时不够经济合理。
塑性设计方法 塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
2FPu2
1.2Mu 1.2Mu C
3l / 4 2
3l 2 FPu 2 M u 1.2M u (2 ) 4
3l FPu 2 4.6M u 2
FPu 2
Mu 3.07 l
FPu1
6M u l
Mu 故 FPu 3.07 l
§17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
l
3 3 9 D 2l l 2l
1 弯矩图如图，弯矩 MB= ( M u' M u ) M u ,即M u' 3M u 2
时，此破坏形态就可实现。
M u'
A
1 (M u' - M u ) 2 B
FPu D C
Mu
综上，当M ' 3M 时，两种破坏形态都可能出现， u u 此时，塑性铰出现在位置A、B、D三个截面。
1. 比例加载
所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。 2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。 2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下， 结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即 ︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够 数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载 方向作单向运动。
静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。
虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构， 利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
1.2M u
(b)
l
0.75l 0.75l
Mu
ql 1.2 M u B M u ( A B ) 1.2 M u Mu ( ) 0.5l 0.5l 0.5l 6.4 q1 2 M u l
BC跨破坏时
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
此处极限弯矩取左右两段的极 限弯矩中的较小者。
l
0.75l 0.75l
1.2M u
(d) Δ
2.4M u 2M u
1.5ql 1.2M u C 2.4M u D 2M u ( C D ) 7.6 M u 0.75l
M u S ( S S ) S [ A A .] S A [ .] S A . 26.79 KN m
塑性铰、极限荷载
FP l/2 l/2
FPu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩 Mu。
FP 2
Mu
（c)图不可能出现
FP1
Mu
FP 2
Mu
A
45KN
15KN/m B
40KN C
i
6m
1.5i
8m
i
8m
D
(c)
2m
3m
74.67
（c)图不可能出现
49.49 25.26 60 A B 120
75 C D
连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩 只可能在各跨两端出现。
【例17.3】
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
解：
FPu
FPu l Mu
已知M u
M u FPu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理： （1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。 （2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。 确定极限荷载的方法：
FP 达到极限值 FPu
Mu
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构 结构在A、C截面出现塑性铰。
1
FP
A l/2 C B l/2
静力法
1 1 FPu l M u M u 4 2 3 4 6M u FPu M u 2 l l
Mu
虚功方程： q u l M u
16 M u qu l2
【例】 AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
求图示梁的极限荷载。
A
l /3
B
FP
l /3
D
C
l /3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。 由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现
Mu
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有 限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面 产生了“塑性铰”。 ③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载 称为“极限荷载”，记作FPu。
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大 的方向发生有限的转角，卸载时消失。
A
l /3
B
FP
l /3
D
C
l /3
计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即 塑性铰的数量及位置。
二．多跨连续梁的极限荷载计算（重点）
连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相 邻几跨联合形成一个破坏机构。
FP1 M u
Mu
(a)
FP 2
FP1
Mu
FP 2
Mu
(c)
FP1 M u
(b)
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。 结构的极限受力状态应满足的条件（P273）： ⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
FPu M u l
3 6 FPu M u ( ) l l
2
当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
' u
FPu M A M u D
3 9 FPu M Mu 2l 2l
' u
FPu
A
M u'
A
2l /3
D Mu
C
l /3
D
FPu
3 A ( M u M u ) 2l
图示连续梁，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩 为 M u ，CD跨的正极限弯矩为 2 M u ；又各跨负极限弯 矩为正极限弯矩的1.2倍。试求连续梁的极限荷载 qu
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
解：
l
0.75l 0.75l
1
分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载 (穷举法)
AB跨破坏时
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例： M M b 随着M的增大，梁截面应力的变化为： h
b h
s
a)
s
s
y0 y0
s
s
b)
s
c)
b
h
s
a)
s
s
y0 y0
s
s
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M 为： bh2
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的 极限弯矩。 80 mm
A2
2 A 3600 mm 解:
等面积轴
2
A1 A2 A / 2 1800 mm
90mm
A1
20 mm
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
y .mm
在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
1
如果B、D截面出现塑性铰
A
l /3
B Mu
FPu
B
l /3
D Mu
C
此时M图如图，MA=3Mu
D
3M u
A l/3
l /3
Mu B l/6
FPu
D Mu C
3 B l
6 D l
当3M u M u ，此破坏可实现。
由虚功方程可得：
FPu M u B M u D
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
侧移机构
柱端塑性铰比较严重
破坏机构
结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
FP
A
0.5l
2FP
B
0.75l
Mu
0.5l
1.2Mu
C
0.75l
Mu A
FPu1
Mu
B
l / 2 2
解：
C
1) 第一跨破坏时
l FPu1 M u (2 ) 2
6M u FPu1 l
FP
A
0.5l
2FP
B
0.75l
Mu
0.5l
1.2Mu
C
0.75l
2) 第二跨破坏时
A
Mu B
q3
6.756 l
2
Mu
2
极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的最小值
q1
6.4 l
2
Mu
q2
17 .6 l
2
Mu
q3
6.756 l
2
Mu
qu 6.4
Mu l2
连续梁极限荷载的计算方法： ⑴对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载； ⑵取其中的最小值为极限荷载。
[例] 试求连续梁的极限荷载。
MS
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
6
s →屈服弯矩
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
bh Mu s →极限弯矩 是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
M u bh s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1 和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为 梁是没有轴力的，所以:
理想弹塑性模型 在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时 材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。 残余应变
s
A B
s
o
A
C
B
o
理想弹塑性模型
ε
εP εs ε
D
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又 称残余应变。
FPu M u ( ) 0 l l
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。 q A
qu
Mu l
2
l/2
C
l/2
B
A Mu
B C Mu 2
解： 计算刚体虚功：
l
瞬变体系机构
W y q u dx M u M u M u q u ( l l ) M u qu l M u
A
FPu
C B
Mu
极限状态的弯矩图
2
虚功法
A
Mu
FPu
C
设破坏机构
1
B
Mu
1
l/2
2
l/2
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向， 大小为δ。 2 4 1 2 21 l/2 l l 列出刚体虚功方程： FPu M u M u 0
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
M u s ( S S )
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。 由此，极限弯矩的计算方法:
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
A
(a)
FP
M A FP l
C B
FP弹性阶段
l 2
Baidu NhomakorabeaC l 2
(b)
5 M C FPl 32
弹性阶段，A截面弯矩最大。
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。 Mu A
FP 增大 C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
1.2M u
(c)
Δ
l
0.75l 0.75l
1.2M u Mu
l 8.8 q 1.2M u B 1.2M u C M u ( B C ) M u 2 l 17.6 q2 2 M u l
CD跨破坏时
第17章
结构的极限荷载
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实 上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有
时不够经济合理。
塑性设计方法 塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
2FPu2
1.2Mu 1.2Mu C
3l / 4 2
3l 2 FPu 2 M u 1.2M u (2 ) 4
3l FPu 2 4.6M u 2
FPu 2
Mu 3.07 l
FPu1
6M u l
Mu 故 FPu 3.07 l
§17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
l
3 3 9 D 2l l 2l
1 弯矩图如图，弯矩 MB= ( M u' M u ) M u ,即M u' 3M u 2
时，此破坏形态就可实现。
M u'
A
1 (M u' - M u ) 2 B
FPu D C
Mu
综上，当M ' 3M 时，两种破坏形态都可能出现， u u 此时，塑性铰出现在位置A、B、D三个截面。
1. 比例加载
所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。 2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。 2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下， 结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即 ︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够 数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载 方向作单向运动。
静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。
虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构， 利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
1.2M u
(b)
l
0.75l 0.75l
Mu
ql 1.2 M u B M u ( A B ) 1.2 M u Mu ( ) 0.5l 0.5l 0.5l 6.4 q1 2 M u l
BC跨破坏时
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
此处极限弯矩取左右两段的极 限弯矩中的较小者。
l
0.75l 0.75l
1.2M u
(d) Δ
2.4M u 2M u
1.5ql 1.2M u C 2.4M u D 2M u ( C D ) 7.6 M u 0.75l
M u S ( S S ) S [ A A .] S A [ .] S A . 26.79 KN m
塑性铰、极限荷载
FP l/2 l/2
FPu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩 Mu。
FP 2
Mu
（c)图不可能出现
FP1
Mu
FP 2
Mu
A
45KN
15KN/m B
40KN C
i
6m
1.5i
8m
i
8m
D
(c)
2m
3m
74.67
（c)图不可能出现
49.49 25.26 60 A B 120
75 C D
连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩 只可能在各跨两端出现。
【例17.3】
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
解：
FPu
FPu l Mu
已知M u
M u FPu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理： （1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。 （2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。 确定极限荷载的方法：
FP 达到极限值 FPu
Mu
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构 结构在A、C截面出现塑性铰。
1
FP
A l/2 C B l/2
静力法
1 1 FPu l M u M u 4 2 3 4 6M u FPu M u 2 l l
Mu
虚功方程： q u l M u
16 M u qu l2
【例】 AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
求图示梁的极限荷载。
A
l /3
B
FP
l /3
D
C
l /3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。 由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现
Mu
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有 限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面 产生了“塑性铰”。 ③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载 称为“极限荷载”，记作FPu。
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大 的方向发生有限的转角，卸载时消失。
A
l /3
B
FP
l /3
D
C
l /3
计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即 塑性铰的数量及位置。
二．多跨连续梁的极限荷载计算（重点）
连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相 邻几跨联合形成一个破坏机构。
FP1 M u
Mu
(a)
FP 2
FP1
Mu
FP 2
Mu
(c)
FP1 M u
(b)
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。 结构的极限受力状态应满足的条件（P273）： ⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
FPu M u l
3 6 FPu M u ( ) l l
2
当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
' u
FPu M A M u D
3 9 FPu M Mu 2l 2l
' u
FPu
A
M u'
A
2l /3
D Mu
C
l /3
D
FPu
3 A ( M u M u ) 2l
图示连续梁，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩 为 M u ，CD跨的正极限弯矩为 2 M u ；又各跨负极限弯 矩为正极限弯矩的1.2倍。试求连续梁的极限荷载 qu
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
解：
l
0.75l 0.75l
1
分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载 (穷举法)
AB跨破坏时
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例： M M b 随着M的增大，梁截面应力的变化为： h
b h
s
a)
s
s
y0 y0
s
s
b)
s
c)
b
h
s
a)
s
s
y0 y0
s
s
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M 为： bh2
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的 极限弯矩。 80 mm
A2
2 A 3600 mm 解:
等面积轴
2
A1 A2 A / 2 1800 mm
90mm
A1
20 mm
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
y .mm
在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
1
如果B、D截面出现塑性铰
A
l /3
B Mu
FPu
B
l /3
D Mu
C
此时M图如图，MA=3Mu
D
3M u
A l/3
l /3
Mu B l/6
FPu
D Mu C
3 B l
6 D l
当3M u M u ，此破坏可实现。
由虚功方程可得：
FPu M u B M u D
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
侧移机构
柱端塑性铰比较严重
破坏机构
结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
FP
A
0.5l
2FP
B
0.75l
Mu
0.5l
1.2Mu
C
0.75l
Mu A
FPu1
Mu
B
l / 2 2
解：
C
1) 第一跨破坏时
l FPu1 M u (2 ) 2
6M u FPu1 l
FP
A
0.5l
2FP
B
0.75l
Mu
0.5l
1.2Mu
C
0.75l
2) 第二跨破坏时
A
Mu B
q3
6.756 l
2
Mu
2
极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的最小值
q1
6.4 l
2
Mu
q2
17 .6 l
2
Mu
q3
6.756 l
2
Mu
qu 6.4
Mu l2
连续梁极限荷载的计算方法： ⑴对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载； ⑵取其中的最小值为极限荷载。
[例] 试求连续梁的极限荷载。
MS
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
6
s →屈服弯矩
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
bh Mu s →极限弯矩 是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
M u bh s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1 和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为 梁是没有轴力的，所以:
理想弹塑性模型 在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时 材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。 残余应变
s
A B
s
o
A
C
B
o
理想弹塑性模型
ε
εP εs ε
D
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又 称残余应变。
FPu M u ( ) 0 l l
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。 q A
qu
Mu l
2
l/2
C
l/2
B
A Mu
B C Mu 2
解： 计算刚体虚功：
l
瞬变体系机构
W y q u dx M u M u M u q u ( l l ) M u qu l M u
A
FPu
C B
Mu
极限状态的弯矩图
2
虚功法
A
Mu
FPu
C
设破坏机构
1
B
Mu
1
l/2
2
l/2
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向， 大小为δ。 2 4 1 2 21 l/2 l l 列出刚体虚功方程： FPu M u M u 0
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
M u s ( S S )
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。 由此，极限弯矩的计算方法:
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
A
(a)
FP
M A FP l
C B
FP弹性阶段
l 2
Baidu NhomakorabeaC l 2
(b)
5 M C FPl 32
弹性阶段，A截面弯矩最大。
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。 Mu A
FP 增大 C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
ql
(a) A
q
B C
1.5ql
D
0.5l 0.5l
1.2M u
(c)
Δ
l
0.75l 0.75l
1.2M u Mu
l 8.8 q 1.2M u B 1.2M u C M u ( B C ) M u 2 l 17.6 q2 2 M u l
CD跨破坏时