等腰直角三角形存在性
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1.如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B．点A的坐标为（0,3），点B的坐标为（3,0）点C的坐标为（-1，0），若在直线AB上存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点P坐标。
x
分析：1.研究基本图形。 直线AB ：3+-=x y
定点：A （0，3）B （3，0）C （-1，0） 动点：P （m,-m+3） ο
45=∠ABC
2.根据直角进行分类画图，根据等腰三角形的性质（尽量选取横平竖直的线段）构建 方程。
①当点B 为直角顶点时；很明显此时AB 上不存在点P 使得ο
90=∠PBC ②当点C 为直角顶点时；即BC PC ⊥时，过点C 作BC CP ⊥交AB 于P 。
.4,1-P -1
m 43-m 3-m 0-3-m CP 4)1(3）
坐标为（点又是等腰直角三角形∴=∴=+∴+=+==--==∴∆BC BC
CP BCP ΘΘ
③当点P 为直角顶点时，因为
∠。
.2,1P 1
m 4
2
13-m 3-m 0-3-m PD 4
2
1
,）坐标为（
点又平分是等腰直角三角形∴=∴⨯=+∴+=+===∴∴
∆BC BC PD BC PD PD BCP ΘΘ 3.综上所述，点P 的坐标为（-1，4
3.如图，直线AB ：62+-=x y 与x 轴交于B ，与y 轴交与A 点，直线AC ：b x y +=3交x 轴于点C ，交y 轴于点A 。D 是线段AB 上的一个动点，过点D 作平行于x 轴的直线DE ，交AC 于点E ，若在x 轴上存在点P ，使得△DEP 是等腰直角三角形，求点P 坐标。
4.
x
分析：1.研究基本图形。
定点：A （0，6）B （3，0）C （-2，0） 直线AC ：63+=x y 动点：),3
6
(),,26(
m m E m m D -- 2.根据直角进行分类画图，根据等腰三角形的性质（尽量选取横平竖直的线段）构建
方程。
①当点D 为直角顶点时；过点D 作BC DP ⊥交BC 于P,则P 为⎪
⎫
⎛-0,6m 。
.
0,11
18
P 1130m m 65m
-30m
0-m DP 3626）坐标为（
点又∴=
∴=∴
===---==∴∆m m DE DE
DP DEP ΘΘ ②当点E .0,11
12P 1130m m 65m
-30m
0-m EP 6
530）坐标为（点又是等腰直角三角形-
∴=
∴=∴
==-==∴∆m
DE DE
EP DEP ΘΘ
③当点P 为直角顶点时，过点P 作F ED ED PF 于点交⊥。
则点F 坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-m m ,126，点P
.
0,17
6
P 1730m 12530012
53021,）坐标为（点又平分是等腰直角三角形∴=
∴=-∴
=-=-==∴∴⊥∆m m
m
m PF m
DE PF DE
PF PF DEP ΘΘ 3.综上所述，点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛017601112-0,1118，或，或.
≅
∆
DAC
FHG∆BED∆
≅
∆GJI
三等角模型
3如图，直线ED 交x 轴于点E ，交y 轴于点D ，点E ，点D 坐标分别为（-4，0）和（0，2）.直线AB ：63-=x y ，与直线ED 交于点C ，P 为直线ED 上的动点，当△BCP 是等腰直角三角形时，求点P 坐标。
分析：1.研究基本图形。 直线DE ：22
1
+=
x y 定点：E （-4，0）,D （0，2）,A （-6，0）,B(2，0) ,C )5
18,516( 动点：P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+221,
m m 2.根据直角进行分类画图，根据等腰三角形的性质（尽量选取横平竖直的线段）构建
方程。
①当点C 为直角顶点时；很明显此时DE 上不存在点P 使得ο
90=∠PCB
②当点B 为直角顶点时；作BC PB ⊥交ED 于点P 。过点P 作
F x x PF 轴于点轴交⊥，过点C 作R x x CR 轴于点轴交⊥。
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-∴-
=∴=+∴==+=+=
=∴≅∆56,585
8
5
6221,
5
6
2-516 2
2
1
0-221
,0,,为点又）为（易证P m m BR m m PF BR
PF R m F BRC PFB Θ
③当点P 为直角顶点时，过点B
作P DE DE BP 于点交⊥。
M MN MN CM C N x x MN P 于点交作，过点轴于点轴交作过点⊥⊥。
⎪
⎭
⎫
⎝⎛∴=
∴-=+∴=+=+==∴≅∆512,545
45
16221,
-5
16
2
21
0-221
(,0,为点又为），为（易证P m m m m CM m m PN CM
PN m M m N CMP PNB Θ 3.综上所述，点P 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-5125456,58，或