曲率及其曲率半径的计算讲解

于是
da
y
1 y2
dx．又知 ds
1 y2 dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K

| (1
y | y2 )3
2

0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)

y


(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K

|
j(t) (t) j(t) [j2 (t) 2 (t)]3
(t)
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0a ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da

为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
2
|
．
三、曲率圆与曲率半径
y
曲线在M点的曲率半径
y=f(x)
Dr M
|DM| 1 r
K
O 曲线在M点的曲率圆
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r 1 ， K 1 ．
K
r
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(

Ds Dx
2


MM Dx


曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．

1


Dy Dx
2


y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
(
Ds
Dx

|
MM MM

|
2

1


Dy Dx
2


(
(
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又 lim Dy y，
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
代入曲率公式，得
K
(1
|
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
Dx0 | MM | M M | MM |
Dx0 Dx
因此 ds dx
1 y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而 ds >0, dx
ds 1 y2 ． dx
于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
2


|
MM MM

|
2
|
MM |2 (Dx)2
(


|
MM MM

|

2

(Dx)2 (Dy)2 (Dx)2
(


|
MM MM

|

2

1


Dy Dx
2


(
Ds
Dx

|
MM MM

|
2