一线三等角的基本图形
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师生共用导学稿
年级:九年级 学科:数学 执笔: 审核:九年级数学组 内容:专题:一线三等角的基本图形 课型:复习 时间:11年 8月 日 〖课前回顾〗
1、 三角形相似的判定定理有哪些
2、 相似三角形中常用基本图形有哪些 〖学习目标〗
1、探究并掌握M 型基本图形的几种类型及常用结论。
2、运用M 型基本图形的性质解决问题。
〖自主学习〗
一.
1、如图1、点E 为BC 上任意一点,若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 你能得出那些结论
2、如图2、点E 为BC 上任意一点,若 ∠B=∠AEF =
∠C=60°, 你能得出那些结论
3、如图3、点E 为BC 上任意一点,若 ∠B=∠AEF =∠C=α ,上述结论还成立吗
通过做以上三道题,你能得出什么结论 二、 1、如图4、点E 为BC 的中点,若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF
①找出图中所有的相似三角形,并证明。 ②说出各边之间的关系 ③说出图中各对相等的角
2、如图5、点E 为BC 的中点,若 ∠B=∠AEF =∠C=α 连接AF
①找出图中所有的相似三角形,并证明。 ②说出各边之间的关系 ③说出图中各对相等的角 ④若BA ·FC=48,求BC 的长
⑤若AF=m ,点E 到两腰的距离为h ,求三角形AEF 的面
积。
通过做以上两道题,你能得出什么结论 三.变式练习
1、如图4①若 ∠B=∠AEF =∠C=90°,且Rt △ABE ∽Rt △AEF,
求证:E 为BC 的中点
②、若AB=6,CF=4,BC=14,CF ∥AB,在CB 边上找一点E ,使E 、A 、B 为顶点的三角形和以E 、C 、F 为定点的三角形相似,求出此时CE 的长。
2、点E 为BC 的中点,若 ∠B=∠AEF =∠C= ,
连接AF ,把∠AEF 绕点E 旋转到图6的位置, ①图中有多少对相似三角形
②、若把图6中的点E 向右平移,上述结论还成立吗,为什么
〖课堂小结〗
图1
F
E C
B
A 图2F C
B
A 图3
F
E C
B A
图4
F
E C
B
A
图5
D F
E C
B
A
图4
F
E C
B A
图6D F E
C B A α
一线三等角教案
相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标 1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。 2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程,归纳出“一线三等角”图形的基本特征,并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。 3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。 二、教学重点、难点 1、重点:运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明 2、难点:在不同背景中识别基本图形 三、教学方法:教师主导与学生合作探究相结合。 四、教学过程
例2. 在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=CD=AD=6,∠ABC=60°,点E,F 分别在线段AD,DC 上(点E 与点A,D 不重合),且∠BEF=120°,设AE=x,DF=y. (1)求y 与x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少? C D A B E F 一线三等角与梯形知识的结合。 引导学生思考如何确定y 与x 的 关系,有没有基 本图形的模型。 例2,学生到 黑板上完成,其他同学自 主完成,教师 巡视 例3如图,正方形ABCD 的边长为10,部有6个全等的正方形,小正方 形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上,则DE 的长为 . 在正方形中体会“一线三等 角”的重要性 教师引导学生观察有没有基本图形?如何构造基本图形。 学生思考问题,可以在和同学交流的基础上完成。 四知识巩固: 1已知,如图,在矩形ABCE 中, D 为EC 上一点,沿线段AD 翻折,使得点 E 落在BC 上,若借助此题,让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角 的特点,容易和“一线三直 角”基本图形建立联系。 本题融入了轴对称的变换, 教师引导学生观察图形,找基本图 形。 师生共同完成
(完整版)中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》
专题18《弦图模型》 破解策略 1.内弦图 如图,在正方形ABCD中,BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF,则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.证明因为∠ABC=∠BFC=90° 所以∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB-90°. 所以∠ABE=∠FC B. 又因为AB=B C.所以△ABE≌△BCF, 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. D C 2.外弦圈 如图,在正方形ABCD中,点M,N,P,Q在正方形ABCD边上,且 四边形MUPQ为正方形,则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. 证明因为∠B=∠QMN=∠C=90°, 所以∠BQM+∠QMB=∠QMB+∠NMC=90°, 所以∠BQM=∠NM C. 又因为QM=MN,所以△QBM≌△MCN. 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. N Q D A 3.括展 (1)如图,在Rt△ABH中.∠ABH=90°,BE⊥AH于点E.所以 △A BE≌△BHE≌△AH B. (2)如图,在Rt △QBM和Rt△BLK中,QB=BL,QM⊥BK,所以 △QBM≌△BLK.
证明因为∠BLK=90°,QM⊥BK, 所以∠KBL+∠QMB=∠KBI十∠K=90° 所以∠QMB=∠K, 又因为QB=BL. 所以△QBM≌△BLK. 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在的直线上,连结CE,以CE 为边,作正方形CEFG(点D,F在直线CE的同侧),连结BF.当点E在线段AD上时,AE =1,求BF的长. G 解如图,过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H, 延长FH交BC的延长线于点K. 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形, 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH,所以FH=ED=AD-AE=3,EH=CD=4.因为CDHK为矩形,所以HK=CD=4,CK=DH=EH-ED=1. 所以FK=FH十HK=7,BK=BC+CK=. 5. 所以BF
基本图形-一线三等角
基本图形:一线三等角,相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同,就是可以得到一组相似三角形而已,但因为这组相似三角形的对应关系较难看出,因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形,就有其价值了。 例1:在等腰△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,作∠ADE=∠B,问:△ABD与△DCE相似吗?如果相似,请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。 讲评:从这个例子,我们可以提炼出如下基本图形:“三个相等的顶点在一直线上,就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形,简称“一线三等角”。 如图,当∠A=∠B=∠EDC时,就有△ADE∽△CDB; 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用,因此在书写证明时,还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意的是,这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”,要把其中一个三角形转过一个角度后,才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”:从图中的点E出发,沿逆时针沿外周绕,得比例EA:AD=DB:BC.
例2:在等边△ABC中,将角A翻折,使点A落在BC边的D点上,EF为折痕,求证:△BED∽△CDF.并写出对应线段比例式。 例3.在矩形ABCD中,AD=4,CD=5,点F在AD上,将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处,求 的值。 例4:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B.∠MEN的顶点E在边BC上移动,一条边始终经过点A,另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=,DF=,试建立关于的函数关系式,并写出函数定义域。
(完整word版)几何模型:一线三等角模型.docx
一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型, 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形, 这个角可以是直角, 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下,如图 3-1 ,由∠ 1=∠ 2=∠ 3,易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时,则两个三角形全等 . 如图 3-1 ,若 CE=ED ,则△ AEC ≌△ BDE.
3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠ 1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3,当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时,点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, BOC901 BAC 这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图 3-4(右图)中,如果延长BE 与 CF,交于点 P ,则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5 ,以等腰三角形为例进行说明) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
一线三等角模型
专题九:“一线三角型”模型的应用 1、如图,在△ABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上,且APM B ∠=∠,AP=MP,求证:△APB≌△PMC。 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据 已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ABC为等边三角形,60 APM? ∠=,BP=1, 2 3 CM=,求△ABC的边长。 3、如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=,P为BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得APM B ∠=∠。 (1)求证:△ABP∽△PCM; (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由。
4、如图,, ===, AB cm CD cm BD cm ⊥⊥,且6,4,14 AB BD CD BD 问:在BD上是否存在P点,使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中,AD//BC,AD BC <,且AD=5,AB=DC=2。 (1)如图a,P是AD上的一点,满足BPC A ∠=∠。 ①求证:△ABP∽△DPC;②求AP的长。 (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足BPE A ∠=∠,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么: ①当点Q在线段DC的延长线上时,设, AP x CQ y ==,求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,如图。 (1)证明Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设BM x =,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数 关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出
一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)
如图,AB=12米,CA丄AB于点A , DB丄AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△ CPA 与厶PQB全等? D C / / F - f I A p S 如图①所示,在△ ABC中,/ C=90 0,AC=BC,过点C在厶ABC外作直线MN,AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证:MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交,AM丄MN于点M, BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图①图②
如图,已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点,DM平分/ ADC. (1) 求证:AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果 如图,△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?
【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示,在Rt ABC中,.ABC =90 ,点D在边AB上,使,过点D作EF _ AC,分别 交AC于点E,CB的延长线于点F。求证:AB=BF。( 8分) 如图(1),已知AB 丄BD,ED 丄BD,AB=CD,BC=DE, ⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由.
弦图在全等中的应用
弦图模型 1.弦图基本模型 模型一: c b a 模型二: 1. 弦图模型之变形 ααα 探究重难点: 例1. 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且BE=CF, 连接AE 、BF 交于点H 。 (1)求证:AE=BF (2)求证: AE ⊥ BF c a b
变式练习1.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点, 连接AE、BF交于点H,且AE⊥BF. 求证:AE=BF 变式练习2 如图,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE=AF,CE、BF交于点P (1)求证:CE=BF; (2)求∠BPC的度数. 例2. 如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D 为AC边上一点,若∠APD=60°,则CD的长为为多少? 例3.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,求AC的长是多少?
变式练习1.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(﹣2,1),点C的纵坐标是4, 则B、C两点的坐标分别是() A.(,3)、(﹣,4)B.(,3)、(﹣,4) C.(,)、(﹣,4)D.(,)、(﹣,4) 变式练习2.: 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4为 变式练习3. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE,若△ADE的面积为3,那么BC的长为多少? 变式练习4. 在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M.下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE; ③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是
一线三等角典型例题
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、(2015 年山东·德州卷) (1)问题:如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)、(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度,由点 A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t(秒),当以D 为圆心,以DC 为半径的圆与A B相切,求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6,分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边,向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2,过点C作直线KH 交直线AB 于点H,使∠AHK = ∠ACD1.作 D1M ⊥KH,D2N ⊥KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系,并加以证明. ( 2) 拓展延伸 1如图7,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线K1H1 ,K2H2,分别交直线AB 于点H1、H2,使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1.作D1M ⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M、N. D1M = D2N 是否仍成立? 若成立,给出证明; 若不成立,说明理由. 2如图8,若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)
几何模型:一线三等角模型知识讲解
几何模型:一线三等 角模型
一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧
三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED ,则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3,当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质,反之未必是内心. 在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF ,交于点 P ,则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明 ) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用
一线三等角模型综合题解
【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明; (2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°,再连接DF,取DF中点G(如图②),问(1)中的结论是否仍然成立.证明你的结论; (3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论.
【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF. (1)求证:△MEF∽△BEM; (2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3)若EF⊥CD,求BE的长.
【例3】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题: (1)当t 为何值时,PE∥AB; (2)设△PEQ 的面积为y(cm 2),求y 与t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=25 2S△BCD?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由;(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
中考数学压轴题专项汇编专题弦图模型
专题18 弦图模型 破解策略 1.内弦图 如图,在正方形ABCD中,BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF,则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.证明因为∠ABC=∠BFC=90° 所以∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB-90°. 所以∠ABE=∠FC B. 又因为AB=B C.所以△ABE≌△BCF, 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. D C 2.外弦圈 如图,在正方形ABCD中,点M,N,P,Q在正方形ABCD边上,且 四边形MUPQ为正方形,则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. 证明因为∠B=∠QMN=∠C=90°, 所以∠BQM+∠QMB=∠QMB+∠NMC=90°, 所以∠BQM=∠NM C. 又因为QM=MN,所以△QBM≌△MCN. 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. N Q D A 3.括展 (1)如图,在Rt△ABH中.∠ABH=90°,BE⊥AH于点E.所以 △A BE≌△BHE≌△AH B. (2)如图,在Rt △QBM和Rt△BLK中,QB=BL,QM⊥BK,所以 △QBM≌△BLK.
E H B A 证明 因为∠BLK =90°,QM ⊥BK , 所以∠KBL +∠QMB =∠KBI 十∠K = 90° 所以∠QMB =∠K , 又因为QB = BL . 所以△QBM ≌△BLK . K Q E 例题讲解 例1 四边形ABCD 是边长为4的正方形,点E 在边AD 所在的直线上,连结CE ,以CE 为边,作正方形CEFG (点D ,F 在直线CE 的同侧),连结BF .当点E 在线段AD 上时,AE =1,求BF 的长. G F E D 解 如图,过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H , 延长FH 交BC 的延长线于点K . 因为四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形, 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH ,所以FH =ED =AD -AE =3,EH = CD =4. 因为CDHK 为矩形,所以HK =CD =4,CK =DH =EH -ED =1. 所以FK = FH 十HK =7,BK =BC +CK =.5. 所以BF 22 FK BK 74
一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]
如图,AB=12 米,CA⊥AB 于点A,DB⊥ AB 于点B,且AC=4 米,点P 从 B 向 A 运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D 运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟 如图①所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,过点 C 在△ABC 外作直线MN,AM⊥M N 于点M,BN⊥MN 于点N. (1)求证:MN=AM+BN. (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于N,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图① 图②
如图,已知∠B=∠C=90°,M 是BC 的中点,DM 平分∠ADC. 1)求证:AM 平分∠DAB 2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? 3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果。 如图,△ABE≌△EDC,E 在BD 上,AB⊥BD,垂足为B,△AEC 是等腰直角三角形吗?为什么?
练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F,求证AE=EF
交AC 于点E,CB 的延长线于点F。求证:AB=BF 。(8 分) 如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE, (1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是过点A 的直线,BD⊥DE 于D,CE⊥DE 于点E;如图所示,在Rt ABC中,ABC = 90,
一线三等角模型
专题九:“一线三角型”模型的应用1如图,在△ ABC中,AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ,AP=MP,求证:△ APB^A PMC 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ ABC为等边三角形,.APM =60 , BP=1,CM =?,求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图,等腰梯形ABCD中, 60 , P为BC上一点(不与B C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证:△ ABP^A PCM (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由
4、如图,AB I BD,CD _ BD ,且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问:在 BD 上是否存在P 点,使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似?如果存在,求 BP 的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD :: BC ,且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ,P 是AD 上的一点,满足.BPC- A ①求证:△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满 足.BPE W^A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP 二x,CQ 二y ,求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点, 当M 点在BC 上运动时,保持AM 和 MN 垂直,如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ,梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式;当M 点运动到什么位置时,四边形 ABCNS 积最大,并求出 占 ~~
中考模型解题 之 弦图模型
中考模型解题 之 弦图模型 一、 知识提要 1. 弦图基本模型 模型一: c b a 模型二: 2. 弦图模型之变形 60°60°60° ααα 二、 专项训练 【板块一】弦图基本模型 1. 如图,Rt △ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,DE ⊥AC ,垂足为E ,求证:22AC AE BC CE . E D C B A 2. 如图,梯形ABCD 中,AB //DC ,∠B =90°,E 为BC 上一点,且AE ⊥ED .若 c a b
BC =12,DC =7,BE :EC =1:2,则AB 的长为____________. E D C B A 3. 在△ABC 中,AB =25,AC =4,BC =2,以AB 为边向△ABC 外作△ABD , 使△ABD 为等腰直角三角形,求线段CD 的长. 【板块二】弦图模型之变形 4. (2011)如图,等边三角形ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且BP =1, 点D 为AC 边上一点,若∠APD =60°,则CD 的长为 . 5.(2011)如图,四边形ABCD ,M 为BC 边的中点.若∠B =∠AMD = ∠C =45°,AB =8,CD =9,则AD 的长为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 A B C D M
6.(2011荆州)如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交干E ,∠CPD =∠A =∠B ,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ,则图中相似三角形有( ) P G F E D C B A A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 7. 在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB=90°,点M 是AC 上的一点,点N 是BC 上的一点,沿着直线MN 折叠,使得点C 恰好落在边AB 上的P 点, 求证:MC :NC =AP :PB .