2019年内蒙古呼和浩特中考数学试题(解析版)

2019年呼和浩特市中考试卷

数学

{题型:1-选择题}一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

{题目}（2019年呼和浩特，T1）1.如右图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标注的一个是（）

A．B．C．D．

{答案}A

{解析}此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准．由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6，0.7，2.5，3.5，绝对值最小的为0.6，最接近标准．故选：A．

{分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值}

{考点: 绝对值的意义}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T2）2.甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称的是（）

{答案}B

{解析}本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．

{分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:生活中的轴对称}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T3）3. 二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）

A． B． C． D．

{答案}D

{解析}本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:一次函数的性质}

{考点:二次函数y=ax 2+bx+c 的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T4）4.已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为 （ ）

A.22

B.52

C.24

D.102 {答案}C

{解析}此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．如图，

∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC=

1

2

AC=1，OB=OD ，AC ⊥BD ，∴OB=22

-AB OA =223-1=22，∴

BD=2OB=42；故选：C ． {分值}3

{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:勾股定理} {考点:菱形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T5）5.某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍，下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图的信息，下列推断不合理的是 （ ） A.从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长

B.2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本

C.2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本

D.2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三 年纸质书人均阅读量总和的2倍 {答案}D

{解析}此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．选项A 、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；选项B 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是

43.350.1

2

+=46.7本，正确；

选项C 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8-15.5=45.3本，正确；选项D 、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的

60.850.158.4

43.338.515.5

++++≈17.4≠2倍，错误；故选：D ．

{分值}3

{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:折线统计图} {考点:算术平均数} {考点:中位数} {考点:极差} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T6）6.若不等式

25

3

x +-1≤2-x 的解集中x 的每一个值都能使关于x 的不等式3(x-1)+5＞5x+2(m+x)成立，则m 的取值范围 （ ）

A. m＞-3

5

B. m＜-

1

5

C. m＜-

3

5

D. m＞-

1

5

{答案}C

{解析}本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关

于m的不等式是解此题的关键．解不等式25

3

x+

-1≤2-x得：x≤

4

5

，∵不等式

25

3

x+

-1≤2-x的

解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x-1)+5＞5x+2(m+x)（m+x）成立，∴x＜1

2

m -

，

∴1

2

m

-

＞

4

5

，解得：m＜-

3

5

，故选：C．

{分值}3

{章节:[1-9-2]一元一次不等式}

{考点:解一元一次不等式}

{考点:不等式的解集}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}（2019年呼和浩特，T7）7.右图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（）

A.80-2π

B.80+4π

C.80

D.80+6π

{答案}B

{解析}本题主要考查由几何体的三视图想象几何体以及求其表面积，解题的关键是正确从三视图构造几何体．由三视图可知几何体为一个长方体中间挖去一个圆柱体，其中长方体的长宽高分别为4,4,3；中间空缺部分为一个直径为2，高为3的圆柱体.其中上下底面积均为正方形面积减去圆的面积，外侧面积为长方体的侧面积；内侧面积为圆柱体的侧面积。所以，S表=S上底+S下底+S外侧+S内侧=(4×4-π)+(4×4-π)+(4×4×3)+ (2π×3)=32-2π+48+6π=80+4π，故选：B.

{分值}3

{{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:由三视图判断几何体}

{考点:几何体的展开图}

{考点:几何体的三视图}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}（2019年呼和浩特，T8）8.若x1、x2是医一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）

A. -2

B. 6

C. -4

D.4

{答案}A

{解析}本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的

两根时，则x1+x2=-b

a

，x1x2=

c

a

．∵x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-1，

x1?x2=-3，x12=-x1+3，x22=-x2+3，∴x23-4x12+17=x2`x22-4(-x1+3)+17=x2(-x2+3)-4(-x1+3)+17=-x22+3 x2+4x1-12+17=-(-x2+3)+3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)-3-12+17=-2，故选：A．

{分值}3

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}

{考点:根与系数关系} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}（2019年呼和浩特，T9）9.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A 、B 、C 、D 按逆时针一次排列，若A 点的坐标为（2，3），则B 点与D 点的坐标分别为

（ ）

A.（-2，3），（2，-3）

B.（-3，2），（3，-2）

C.（-3，2），（2，-3）

D.

），（22127-，），（2

21-27 {答案}B

{解析}本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．如图，连接OA 、OD ，过点A 作 AF ⊥x 轴于点F ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，易证△AFO ≌△OED （AAS ），∴OE =AF =3，DE =OF =2，∴D （3，-2），∵B 、D 关于原点对称，∴B （-3，

2），故选：B ．

{分值}3

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:点的坐标}

{考点:坐标系内的旋转} {考点:正方形的性质} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}

{题目}（2019年呼和浩特，T10）10.以下四个命题①用换元法解分式方程11

212

2

=+++-x x x x 时，如

果设y x

x =+12

，那么可以将原式方程化为关于y 的整式方程y 2+y-2=0；②如果半径为r 的圆的内接

正五边形边长为a ，那么a=2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是3且体积为2

3π的圆柱

等高，如果这个圆锥的侧面积展开图是半圆，那么它的母线长为

3

4

；④二次函数y=ax 2-2ax+1，自变量的两个值x 1、x 2，对应的函数值分别为y 1、y 2，若|1||1|21->-x x ，则a(y 1-y 2)＞0，其中正

确的命题的个数为 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 {答案}D

{解析}本题主要考查应用换元思想将分式方程转化为整式方程、正多边形与圆的关系、圆锥的侧面

展开图以及二次函数的图像性质.①设y x x =+12

,则

2

11x x y =+则原方程转化为：-y+2

y

=1，得

y 2

+y-2=0；正确；②如图，可知∠ABC=54°，所以在Rt △ABC 中，cos54°=12a BC AB r

=，所以

a=2rcos54°；③，所以h=，又因为侧面展开图是半圆，

所以2πr=

；④又题意可知对称轴为直线

x=1；所以当由图像可知，当a>0时，开口

向上，

当a ＜0时，开口向下，

.正确的

有4个,故选：D ．C

B A

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质} {考点:稍复杂的分式方程} {考点:正多边形和圆} {考点:圆锥侧面展开图}

{考点:二次函数y=ax 2+bx+c 的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

{题目}（2019年呼和浩特，T11）11.因式分解：x 2y-4y 3

= . {答案}y(x+2y)(x-2y)

{解析}本提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．x 2y-4y 3

= y(x 2-4y 2)=y(x+2y)(x-2y)，因此本题填y(x+2y)(x-2y)． {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T12）12.下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的命题的序号为 . {答案}①②

{解析}本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；故答案为：①②． {分值}4

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T13）13.同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的中点数是6这个随机事件的概率为 .

{答案}

1136

{解析}本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图如图

所示：，共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的

点数是6的结果数为11，所以至少有一枚骰子的点数是6的概率=

1136．故答案为：1136

． {分值}3

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件放回} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T14）14.关于x 的方程mx 2m-1+(m-1)x-2=0如果是一元一次方程，则其解为 .

{答案} x=-3或x=-2或x=2

{解析}本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．∵关于x

的方程mx 2m-1

+（m-1）x-2=0如果是一元一次方程，∴2m-1=1，即m=1，方程为x-2=0，解得：x=2

或m=0，即方程为-x-2=0，解得：x=-2或2m-1=0，即m=

21，方程为21-2

1

x-2=0，解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-3．

{分值}3

{章节:[1-3-1-1]一元一次方程} {考点:一元一次方程的定义} {考点:利用等式性质解简易方程} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}（2019年呼和浩特，T15）15.已知正方形ABCD 的面积是2，E 为正方形一边BC 在从B

到C 方向的延长线上的一点，若CE=2，连接AE ，与正方形另外一边CD 交于点F ，连接BF 并延长，与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 . {答案}

103

2

{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，解题的关键是巧妙地构造图形中隐含的相似三角形.延长BG 交AD 的延长线于点H ，连接EH.因为正方形ABCD 的面积是2，所以边长为2，即AD=CE ，易得△ADF ≌△ECF ，所以DF=CF ，可得△HDF ≌△BCF ，所以DH=BC=CE ，则四边形DCEH 为正方形，且BF=FH ，所以DC=CH ，DC ∥CH ，所以△GDF ∽△GEH ，所以

21==EH DF GH FG ，因为BF=FH ，所以32

=BH BG .因为BE=22，EH=2，所以BH=10，所以BG=1032，因此本题填103

2

． H

G

F

E

D C

B A

{分值}3

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:正方形的判定} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}（2019年呼和浩特，T16）16.对任意实数a ，若多项式2b 2-5ab+3a 2的值总大于-3，则实数B 的取值范围是 . {答案}-6＜b ＜6

{解析}本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关键．由题意可知：2b 2-5ab+3a 2＞-3，∴3a 2-5ab+2b 2+3＞0，∵对任意实数a ，3a 2-5ab+2b 2+3＞0恒成立，∴△=25b 2-12（2b 2+3）=b 2-36＜0，∴-6＜b ＜6；故答案为-6＜b ＜6

{分值}3

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共9小题，满分72分） {题目}17.（2019年呼和浩特，T17）（10分）计算：

（1）（5分）计算：

2-3

-11-1234

3-211）（）（）（?+÷

{解析}本题考查了有理数的除法、负指数幂、二次根式的乘除的实数运算．

{答案}原式=-

32×4

3

2． {分值}5

{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:两个有理数相除} {考点:二次根式的乘法法则} {考点:负指数参与的运算} {考点:二次根式的混合运算} {考点:简单的实数运算} {类别:常考题} {难度:2-简单}

（2）（5分）先化简，再求值：

)(32352

222y x x x y x y x y x -÷-+-+）（，其中2

1

,33==y x . {解析}本题考查了分式的化简与求值以及非负数的性质，掌握运算顺序，化简的方法把分式化到最

简，然后代值计算． {答案}原式

=x y x y

x x y x y x )(32-352

222-?--+）（

=x y x y x x y x )

(323522-?--+=x y x y x y x y x )(3))(()(3-?-++=x 9，

当21,33=

=y x 时，原式=x 9

=3

39 {分值}7

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{难度:3-中等难度} {类别:易错题}

{题目}18.（2019年呼和浩特，T18）（6分）如图，在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.

（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系； （2）求证：△ABC 的内角和等于180°；

（3）若c

c b a c b a a

)

(2

1

++=+-，求证：△ABC 是直角三角形.

{解析}本题考查了三角形内角和定理的证明和勾股定理逆定理的证明． {答案}（1）∠C ＞∠A+∠B ；

（2）证明：过点B 作直线DE ∥AC ，

∴ ∠A=∠ABD ，∠C=∠CBE ， 又∵ ∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°， ∴ △ABC 的内角和等于180°

（3）证明：原式可变形为

c

c b a b c a a 2)

(++=

-+ ∴ (a+c)2-b 2=2ac ，即a 2+2ac+c 2-b 2=2ac ，

∴ a 2+c 2=b 2，

∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形.

{分值}6

{章节:[1-17-2]勾股定理的逆定理} {考点:三角形内角和定理} {考点:勾股定理逆定理} {考点:平方差公式} {考点:完全平方公式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}19. （2019年呼和浩特，T19）(6分)用分配法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. {解析}本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

{答案}原方程化为一般形式为2x 2

﹣9x ﹣34=0，

x 2

﹣

92x=17，x 2-92x+8116=17+8116， （x-

94）2=35316，x-94

=±3534，

所以x1=9+353

4

，x2=

9-353

4

．

{分值}6

{章节:[1-21-2-1] 配方法}

{考点:配方法解一元二次方程}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}20.（2019年呼和浩特，T20）(7分)如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB.（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）.

{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于根据已知条件构造直角三角形，利用公共的直角边作为桥梁．

{答案}过点C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴AD=AC·sin∠ACD=460×1

=230，

CD=AC·cos∠ACD=460×

3

2

3，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，tan∠BCD=BD

CD

，且∠BCD=66°，∴BD=CD·tan∠BCD 3°，

∴3°)Km．

答：甲乙两地之间直达高速线路的长为3tan66°)Km.

{分值}7

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:方向角}

{考点:解直角三角形－方位角}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}21.（2019年呼和浩特，T21）(9分)镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况.

已知调查得到的数据如下：

1.9 1.3 1.7 1.4 1.6 1.5

2.7 2.1 1.5 0.9

2.6 2.0 2.1 1.0 1.8 2.2 2.4

3.2 1.3 2.8

为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：

0.4 -0.2 0.2 -0.1 0.1 0 1.2 0.6 0 -0.6

1.1 0.5 0.6 -0.5 0.3 0.7 0.9 1.7 -0.2 1.3

（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比。已知某家庭过去一年的收入是1.89万元.请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？

（2）已知小李算得第二组数的方差是S ，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为2

)5.1(S +，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果.

{解析}本题考查了算术平均数、中位数、方差以及应用样本估计总体的能力． {答案}(1) 20户家庭的平均年收入为：

1.5+

1.6 1.10.610.9 1.70.2 1.3

20

+++++-+=1.5+0.4=1.9（万元）

这20户家庭的年收入超过1.5万元的百分比为13

20

×100%=65%，可以估计全村家庭的

平均年收入约为1.9万元，

所以，估计全村家庭年收入大约为1.9×130=247（万元），全村家庭年收入超过1.5万元的百分比大约为65%； 因为样本的中位数是1.5+

0.30.4

2

+=1.85，而1.89＞1.85，所以推测该家庭的收入情况，大约比全村一半以上的家庭高，比一半以下的家庭低. (2) 不正确，应为S. {分值}7

{章节:[1-20-2-1]方差} {考点:算术平均数} {考点:中位数} {考点:方差}

{考点:方差的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}22.（2019年呼和浩特，T22）(6分)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里和8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费用相同. （1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；

（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候，已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间。

{解析}本题考查了此题考查了列代数式、代数式的值以及列方程解决实际问题的能力，弄清题意找出其中的相等关系式是解本题的关键．

{答案}设小王与小张实际乘车时间分别为x 和y 分钟.

(1) 由题意知：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+(8.5-7)×0.8，∴x-y=19， 因为小王和小张的实际乘车时间即为两辆滴滴快车实际行车时间， 所以这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； (2) 由题意知，小张的实际乘车时间短，

∴ 19

11.58.52

x y y x -=??

?=+??，解得3718x y =??

=?． 答：小王与小张实际乘车时间分别为37分钟和18分钟.

{分值}6

{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:列代数式} {考点:代数式求值}

{考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}23.（2019年呼和浩特，T23）(7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB （OC ＞OB ）的对角线长为5，周长为14，若反比例函数x

m

y =

的图象经过矩形顶点A. （1）求反比例函数解析式，若点（-a ，y 1）和（a+1，y 2）在反比例函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小；

（2）若一次函数b kx y +=的图象经过点A 并与x 轴交于点（-1，0），求出一次函数解析式，并直接写出0<-

+x

m

b kx 成立时，对应x 的取值范围.

{解析}本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，矩形的性质，勾股定理，第（1）题的关键是求出矩形的边长，难点是分情况讨论y 1与y 2的大小．第（2）关键是观察函数图象的位置与自变量的取值范围的关系．（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A 点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数的性质比较y 1与y 2的大小；（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．

{答案}（1）根据题意得：OB+OC=7，OB 2+OC 2=52

， ∵OC ＞OB ，∴OB=3，OC=4，∴A （3，4）， 把A （3，4）代入反比例函数y=m

x

中，得m=3×4=12， ∴反比例函数为：y=

12x

， ∵点（﹣a ，y 1）和（a+1，y 2）在反比例函数的图象上， ∴﹣a ≠0，且a+1≠0，∴a ≠﹣1，且a ≠0，

∴当a ＜﹣1时，﹣a ＞0，a+1＜0，则点（﹣a ，y 1）和（a+1，y 2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y 1＞y 2；

当﹣1＜a ＜0时，﹣a ＞0，a+1＞0，若﹣a ＞a+1，即﹣1＜a ＜﹣1

2

时，y 1＜y 2，若﹣a=a+1，即a=﹣

12时，y 1=y 2，若﹣a ＜a+1，即﹣1

2

＜a ＜0时，y 1＞y 2； 当a ＞0时，﹣a ＜0，a+1＞0，则点（﹣a ，y 1）和（a+1，y 2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y 1＜y 2；

综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣1

2

时，y1

＜y

2；当a=﹣

1

2

时，y1=y2；当﹣

1

2

＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．

（2）∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），

∴

34

k b

k b

+=

?

?

-+=

?

，解得，

1

1

k

b

=

?

?

=

?

，

∴一次函数的解析式为：y=x+1；

解方程组

1

12

y x

y

x

=+

?

?

?

=

??

，得1

1

4

3

x

y

=-

?

?

=-

?

，2

2

3

4

x

y

=

?

?

=

?

，

∴一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

m

x

的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），当一次函数y=kx+b的图象在反比例函数y=

m

x

的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，∴kx+b﹣

m

x

＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．

{分值}7

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:一次函数的性质}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{考点:反比例函数与一次函数的综合}

{类别:思想方法}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}24.（2019年呼和浩特，T24）（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H.

（1）求证：E为BC的中点；

（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比.

{解析}本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质、三角形全等的判定方法、中位线性质、三角形内切圆的半径．

{答案}(1)证明：连接OE. ∵

OD OB

OE OE

ED EB

=

?

?

=

?

?=

?

，∴△ODE≌△OBE，∴∠DOE=∠BOE=

1

2

∠DOB.

∵∠DAB=

1

2

∠DOB，∴∠DAB=∠BOE，∴OE∥AC.又∵O为AB的中点，∴E为BC的中点；

(2)解：∵△AHD 和△MHB 都是直角三角形，∴其外接圆的面积比等于22AD BM =3

，∴AD

BM

=，

又∵DH=HM

，∴HM

=BMH=∠DAH=30°，∠C=60

°.

又∵⊙O 的半径为Rt △ABC 中，可求得BC=4，AC=8.

连接BD ，由题意知△BDC 是直角三角形.由(1)得

E 为BC 的中点，且∠C=60°，∴△CDE 是等边三角形，且边长为2，∴△CDE 内切圆的半径. 又∵四边形ODEB 的外接圆直径为OE ，OE=

1

2

AC=4，∴r2=2，∴12112S S =.

{分值}9

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:全等三角形的判定SSS} {考点:切线的性质} {考点:圆周角定理}

{考点:二次根式的加减法}

{考点:相似三角形面积的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}25.（2019年呼和浩特，T25）(12分)已知二次函数y=ax 2-bx+c 且a=b ，若一次函数y=kx+4与二次函数的图像交于点A （2，0）.

(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；

(2)当a ＞c 时，求证：直线y=kx+4与抛物线y=ax 2-bx+c 一定还有另一个异于点A 的交点；

(3)当c ＜a ≤c+3，时，求出直线y=kx+4与抛物线y=ax 2-bx+c 一定还有另一个异于点B 的坐标；记抛物线顶点为M ，抛物线对称轴与直线y=kx+4芙蓉交点为N.设BMN AMN S S S ??-=

9

25

，写出S 关于a 的函数，并判断S 是否有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由.

{解析}本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，不等式的应用．其中第（1）（2）题求解的结论是没有附加条件的，故在后续证明或计算时能直接使用．在没有图象的情况下考查二次函数和一次函数的相关性质，体现数形结合的应用，在解题时要根据题意画出大致图象再进行解题．

（1）把点A 坐标代入一次函数解析式即求得k 的值；把点A 坐标代入二次函数解析式，且把a =b 代入，求得c =﹣2a ，所有二次函数解析式为y =ax 2﹣ax ﹣2a ，令y =0即求得与x 轴交点的坐标；（2）由（1）得直线解析式为y =﹣2x +4，抛物线解析式为y =ax 2﹣ax ﹣2a ，两方程联立消去y 后，得到关于x 的一元二次方程，求得其△=（3a +2）2．由于a ＞c ，c =﹣2a ，求得a ＞0，故△=（3a +2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A 还有另一个交点；（3）由c ＜a ≤c +3和c =﹣2a 求得0＜a ≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B 坐标（用a 表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M 和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N 的坐标，点N 纵坐标减去点M 纵坐标得MN 的长，进而能用含a 的式子表示S △AMN 与S △BMN ，代入即写出S 关于a 的函数关系式．由0＜a ≤1得到当a =1时，S 能有最大值，并能求出最大值．

{答案}（1）把点A （2，0）代入y=kx+4得：2k+4=0，∴k=﹣2， ∴一次函数的解析式为y=﹣2x+4，

∵二次函数y=ax 2

﹣bx+c 的图象过点A （2，0），且a=b ， ∴4a ﹣2a+c=0，解得：c=﹣2a

∴二次函数解析式为y=ax 2

﹣ax ﹣2a （a ≠0），

当ax 2

﹣ax ﹣2a=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1，

∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．

（2）证明：由（1）得：直线解析式为y=﹣2x+4，抛物线解析式为y=ax2﹣ax﹣2a，，

整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4=0，

∴△=（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）=a2﹣4a+4+8a2+16a=9a2+12a+4=（3a+2）2

∵a＞c，c=﹣2a，∴a＞﹣2a，∴a＞0，∴3a+2＞0，

∴△=（3a+2）2＞0，

∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点；

（3）∵c＜a≤c+3，c=﹣2a，∴﹣2a＜a≤﹣2a+3，

∴0＜a≤1，抛物线开口向上.

∵整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4=0，且△=（3a+2）2＞0，

∴x=,∴x1=2（即点A横坐标），x2=﹣1﹣2

a

,

∴y2=﹣2（﹣1﹣2

a

）+4=

4

a

+6，

∴直线y=kx+4与抛物线y=ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣2

a

，

4

a

+6）.

∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2a=a（x﹣1

2

）2﹣

9

4

a，

∴顶点M（1

2

，﹣

9

4

a），对称轴为直线x=

1

2

，

∴抛物线对称轴与直线y=﹣2x+4的交点N（1

2

，3），

∴如图，MN=3﹣（﹣9

4

a）=3+

9

4

a，

∴S=25

9

S△AMN﹣S△BMN=

251

92

MN（x A﹣

1

2

）﹣

1

2

MN（

1

2

﹣x B）=

25

18

（3+

9

4

a）（2﹣

1

2

）﹣

1

2

（3+

9

4

a）

（1

2

+1+

2

a

）=（3+

9

4

a）（

75

36

﹣

3

4

﹣

1

a

）=3a﹣

3

a

+

7

4

，

∵0＜a≤1，∴0＜3a≤3，﹣3

a

≤﹣3，

∴当a=1时，3a=3，﹣3

a

=﹣3均取得最大值，

∴S=3a﹣3

a

+

7

4

有最大值，最大值为

7

4

．

{分值}12

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {考点:一次函数的性质}

{考点:一元二次方程的解}

{考点:根的判别式}

{考点:根与系数关系}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}