高等数学-第七章 微分方程

例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由
xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性
能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.
解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
由光的反射定律: 入射角 = 反射角
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
h r 1m O hdh
即
dV kS 2ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),

2
h
5 2

C)
kS 2g 3 5
利用初始条件, 得 C 14 , 因此 15
14 π
10 3 3 5
t
(1 h2 h2 )
15k S 2 g 7 7
h r 1m O hdh
h t0 1
以k 0.62, S 104 m2, g 9.8m s2 代入上式，则得容
器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 例4 例5 3) 根据微量分析平衡关系列方程 例6 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
解:
k 2 (C1 cos k t C2 sin kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
可得 OMA = OAM =
yT
M y
从而 AO = OM
A OP x
而 AO AP OP y cot x y x
OM x2 y2
y
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
于是方程化为
(齐次方程)
令v x, y
y dv 1 v 2 dy
dx v y dv
dy
dy
积分得 ln Biblioteka Baidu v 1 v2 ) ln y ln C
故有
y2 C2

2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
2
故反射镜面为旋转抛物面.
y2

2C
(
x

C 2
)
y
说明:
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有
②
方程①的解满足关系式②。
分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
dt
对方程分离变量, 然后积分 :

得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
代入上式后化简,
得特解
k v

mg
k
(1 e m
t
)
k
t 足够大时
v

mg k
例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y
2
d
y

1
x x
2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
作业
P 298 5(1); 6
P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6

得 ln M t ln C, 即 M C e t
利用初始条件, 得
C M0
M M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
对应下降体积
d V r2 dh
r 12 (1 h)2
2h h2
dV π (2h h2) dh
因此得微分方程定解问题:
h h r 1m O hdh
将方程分离变量:
π
1
3
dt
(2 h 2 h 2 ) dh
kS 2g
两端积分, 得
h
π t
(
4
h
3 2
解: 分离变量得
dy y


1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
第三节 齐次方程
第七章
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得

du
(u) u


dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
du
( C 为任意常数 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
t

1.068104(1 10
3
h2

3
5
h2
)
(s)
77
可见水流完所需时间为 t 1.068104(s)
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
A
O
顶到底的距离为 h , 则将
(
C 2
,
0)
d hx
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
y2

z2

d2 4h

x
d2 16h

第四节
第七章
一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
① ②
反之，当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,
说明由②确定的隐函数 y＝ (x) 是①的解.
同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时，
由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x ( u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
求解过程中丢失了.
例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u

y,
则y

u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分

cos u sin u
d
u


dx x
此处 C 0
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
由①得
dy 2x dx y x1 2
① ②
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
y x2 1
d2s d t2


0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的通解, 并求满足初始条件
x
t0

A,
dx dt
t
0 0 的特解 .
已知
s t0 0 ,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
第七章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
第一节
第七章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Q O xx
第二节
第七章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1
通解: 特解:
dy dx

2x
y x1 2
引例2
y x2 C
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2, 令 u y ,
dx x x
x
则有
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u


dx x
练习:
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
解法 2 故有 积分
令u x y, u 1 eu
u ln (1 eu ) x C 所求通解: ln (1 ex y ) y C
(1 eu ) eu 1 eu