人教版初中数学《第27章极端原理》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《第27章极端原理》竞赛专题复习含答案

第27章极端原理

27.1.1**两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？

解析本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．

一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．

评注本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：

1．有限个数中一定有最大数和最小数；

2．无限个正整数中有最小数；

3．无限个实数不一定有最大数或最小数．

27.1.2**在一次乒乓球循环赛中，n （n ≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A 、B 、C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．

解析没取胜场数最多的一名选手为A ，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n 名选手中存在一名选手C ，C 胜A ．

考虑A 击败的选手的全体，其中必有选手B 胜C ．事实上，若A 的手下败将也都负于C ，那么C 胜的场数比A 胜的场数至少要多1，这与A 是获胜场数最多的选手矛盾．

所以，存在三名选手A 、B 、C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．

27.1.3**平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962

个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB 是最大的距离．

分别以A 、B 为圆心，12

AB 为半径作圆，如图所示．点A 与除点B 之外的995个点的连线的中点在圆A 的内部或边界上；点B 与除点外的995个点的连线的中点在圆B 的内部或边界上，这样我们得到了995+995＝1990个红点．

另外，AB 的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．

下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．27.1.4**证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．

解析如图所示，在凸五边形ABCDE 中，一共有5条对角线：AC 、AD 、BD 、BE 、CE ，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC 最长．

由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则

AC AP PC AD CE <+<+．

因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．

27.1.5*平面上给定3个点。已知其中任意两点的距离不超过1，证明：这3个点被一个半径为等的圆覆盖．

解析设三点为A 、B 、

C ，不妨设BC AB ≥，AC ，当A ∠≥90︒时．易知以删为直径的圆可覆盖ABC △

（此圆半径≤2BC ≤12<3

），当90A ∠<︒时，ABC △为锐角三角形，设外心为O 在ABC △内部．由

于120BOC ∠︒≥，故外接圆半径

3，故结论成立．27.1.6***平面上给定2005个点，任意两点距离小于2005，任意三点是某个钝角三角形的顶点．求证：存在直径不超过2005的圆覆盖这2005个点．

解析在这2005个点中，设两两之间距离最大的两点是A 、B 且2005AB <．则以AB 为直径的圆覆盖了这2005个点．

这是因为，如图分别过A 、B 作AB 垂线1l 、2l ，则给定的点不能在直线1l 、2l 围成的带形之外．否则这点P 到点B （或A ）距离大于AB ，这与AB 的最大性矛盾．

同时，给定的点也不能在带形内部的圆外．否则，这点P '与A 、B 不构成钝角三角形，与已知条件矛盾．

故结论成立．

评注此例是组合几何问题中的一类覆盖问题．这些问题的解决往往需借助于极端原理的思想．27.1.7**平面上给定()212n n ->个点，其中任意三点都至少有两点距离小于l ，证明：可以找出其中n 个点位于半径为1的圆内．

解析考虑距离最远的两个点A 、B ．以A 、B 为圆心、半径为l 作两个圆，若有点C 在这两个圆外或边上，则AC 、BC ≥1，于是由条件知只能有AB

或边上．于是由抽屉原理，至少有n 个点在其中一个圆的内部．

27.1.8***在平面上任给2n 个点，其中任意三点不共线，并把其中”个点染成红色，n 个点染成蓝色．求证：可以一红一蓝地把它们连成n 条线段，使这些线段互不相交．

解析因为总共只有2n 个点，将红点与蓝点一一配对的方法只有有限种（实际上为()!121n n n ⋯=⋅-⋅⋅⋅种，即第一个红点可与n 个蓝点中的某一个配对，有1n -种可能，第二个红点与剩下的1n -个蓝点中的某一个配对，有1n -种可能……第n 个红点与剩下的一个蓝点配对，有1种可能）．对于每一种配对方法，都会得到这n 条线段的长度和，这种和数只有有限个（其实不超过!n 个），所以其中必有一个是最小的，下证这时候n 条线段是互不相交的．

用反证法．假定此时有两条线段11R B 和22R B 相交，其中1R 、2R 是红点，1B 、2B 是蓝点，设它们的交点为P （如图）．由于

()()112112211122R B R B R P PB R P PB R B R B +<+++=+，

所以，当我们将1R 与2B 配对，2R 与1B 配对，其他的保持不变，这时候n 条线段的长度和减少了，矛盾．因此这时n 条线段是互不相交的．

评注本题所要证明的是“存在性”命题，利用极端原理处理存在性命题的基本手法是：取极端制造所存在的东西，然后用反证法证明．

27.1.9*能否在平面上安排有限条线段，使每一条线段都至少有一端点严格地位于其他某条线段的内部？

解析不可能，因为有限条线段中不妨设最长的是AB ，且B 位于另一条线段CD 中，由于180CBA DBA ∠+∠=︒，不妨设90CBA ∠︒≥，于是AC AB >，与AB 的定义矛盾．这个命题即使在空间也是成立的．

27.1.10**平面上有n 个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于1．证明：存在一个面积小于4的三角形包含这n 个点．

解析我们先通过取极端制造一个面积小于4的三角形，然后用反证法证明这个三角形包含这n 个点．

n 个点中任意三点作一个三角形，三角形的个数是有限的（其实为()()1126

n n n --个），每一个三角形都有一个面积，取其中面积最大的一个记为123A A A △．由于每个三角形的面积都小于1，所以