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并查集及其应用
引例： 引例： 犯罪团伙 问题描述】 【问题描述】 警察抓到了n 警察抓到了n个罪犯，警察根据经验知道他们属于不同的犯 罪团伙，却不能判断有多少个团伙，但通过警察的审讯，知 道其中的一些罪犯之间相互认识，已知同一犯罪团伙的成员 之间直接或间接认识。有可能一个犯罪团伙只有一个人。请 你根据已知罪犯之间的关系，确定犯罪团伙的数量。已知罪 犯的编号从1 犯的编号从1至n。 【输入】 输入】 第一行：n <10000,罪犯数量）， 第一行：n（<10000,罪犯数量）， 第二行：m <100000，关系数量） 第二行：m（<100000，关系数量） 以下若干行：每行两个数：I 以下若干行：每行两个数：I 和j，中间一个空格隔开，表示 罪犯i和罪犯j 罪犯i和罪犯j相互认识。 【输出】 输出】 一个整数，犯罪团伙的数量。
并查集的基本概念及操作 一、基本概念 在一些应用问题中，有一类像引例中“犯罪团伙 在一些应用问题中，有一类像引例中“犯罪团伙”的问题， 犯罪团伙”的问题， 一种有效的解决得方法是：需要将n 一种有效的解决得方法是：需要将n个不同的元素划分成一 组不相交的集合。开始时，每个元素自己独自构成一个单元 素集合，然后按照一定的顺序或问题给定的条件和要求将有 相同属性的集合合并，最后统计集合的个数往往就是问题的 解。在这个过程中要反复的用到查询某个元素属于哪个集合 的运算；两个集合合并的运算。适合描述这类问题的抽象数 据结构称为并查集（合并与查找）。 并查集的数学模型是若干个不相交的动态集合的集合： S={A， S={A，B，C，D，……} 它支持以下两种操作： 1）、union(A,B)：将A和B合并，合并后的集合名字为A或B。 ）、union(A,B)：将A 合并，合并后的集合名字为A 2）、find（x）：查找元素x所在的集合，并返回该集合的 ）、find（ ）：查找元素x 名字（一般返回根结点）。 在实际操作中，集合的名字一般都是用集合中的某一个代表 元素表示，不再另设置变量，这样处理比较方便。
犯罪团伙的参考程序： 犯罪团伙的参考程序： //a[i]:结点i的父亲结点：if a[i]=0： //a[i]:结点i的父亲结点：if a[i]=0：i为树根 else 指 向父亲结点。路径压缩后，都指向树根。 var a:array[1..100]of integer; i,j,k,m,n,t,x,y,p,q:integer; function find(i:integer):integer; //非递归算法， //非递归算法， 找i的根结点 var j,k,t:integer; begin j:=i; while a[j]<>0 do j:=a[j]; find:=j; end;
O(∑ i ) = O( n )
2 i =1
n
优化：当找到i所在的树根j后，把i的父亲指针指向j 优化：当找到i所在的树根j后，把i的父亲指针指向j，即 a[i]=j。这样可以减小以后的查找次数，这个优化称为路径 a[i]=j。这样可以减小以后的查找次数，这个优化称为路径 压缩。把一条路径的所有子结点都看作根的儿子，或者说 压缩。把一条路径的所有子结点都看作根的儿子，或者说 所有子结点的父亲指针都指向根。
【样例输入】 样例输入】 11 8 12 45 34 13 56 7 10 5 10 89 【样例输出】 样例输出】 3 样例说明：共三个集团。
【分析】 分析】 上述问题的模型就是求无向图的连通分量。 算法一：采用图的深度优先搜索算法，时间和空 间无法忍受。 算法二：有效算法 （1）开始把n个人看成n个独立集合（团伙）。 ）开始把n个人看成n （2）每读入两个有联系（同一团伙）的人i和j， ）每读入两个有联系（同一团伙）的人i 查找i 所在的集合f(i)和f(j)，如果f(i)和f(j)是同一 查找i和j所在的集合f(i)和f(j)，如果f(i)和f(j)是同一 个集合，不作处理；如果f(i)和f(j)属于不同的集合， 个集合，不作处理；如果f(i)和f(j)属于不同的集合， 则合并集合f(i)和f(j)为一个集合。（每个集合可以 则合并集合f(i)和f(j)为一个集合。（每个集合可以 找一个代表元素） （3）最后统计集合的个数即可得到问题的解
2、合并操作。 合并操作。 为了把两棵树p 为了把两棵树p和q（p和q必须是树根）合并起来，可以将 q的父亲指向p即可，即：a[q]:=p。也可以可以将p的父亲 的父亲指向p即可，即：a[q]:=p。也可以可以将p 指向q即可，即：a[p]:=q。 指向q即可，即：a[p]:=q。 优化：让深度小的树成为深度大的树的孩子，可以减少树 的高度，节省查找时间。但是由于在查找时有路径压缩的 操作，已经很有效了，一般不需要上述的优化。 一般情况下并查集算法的时间复杂度 O(mα(n))≈4m。 详细的时间分析可参看《算法导论》312页
并查集的一个重要的应用是确定给定集合 上的等价关系的个数。等价关系是一个具 有自反、对称和传递三个性质的关系。如 果“≡”是集合S 果“≡”是集合S上的一个等价关系，那么 对于集合S中的任意元素x 对于集合S中的任意元素x、y、z，有如下 的性质： 1）、x≡x（自反性） ）、x≡x（自反性） 2）、如果x≡y，则y≡x（对称性） ）、如果x≡y，则y≡x（对称性） 3）、如果x≡y，y≡z，则x≡z（传递性） ）、如果x≡y，y≡z，则x≡z（传递性）
二、并查集的树结构实现 采用树结构实现并查集的基本思想是：每个集合用一棵树 来表示。树的结点用于存储集合中的元素。树中的每个结 点存放一个指向父亲的指针。在实际使用中往往用根结点 的元素代表该树所表示的集合。 如引例中：图的连通子图的数量 1）设：a[i]：为结点i的父亲指针。如果a[i]=0，则i是树的 ）设：a[i]：为结点i的父亲指针。如果a[i]=0，则i 根，否则a[i]指向结点i的根。开始初始化时：a[i]=0，所 根，否则a[i]指向结点i的根。开始初始化时：a[i]=0，所 有结点都是独立的点，看成独立的一棵树根。 2）每读入两个结点x，y，如果x和y属于同一棵树，不做 ）每读入两个结点x ，如果x 处理，如果属于不同的两棵树，则合并两棵树，具体操作 是：把y所在树的根看作x所在树的根的孩子。修改数组a 是：把y所在树的根看作x所在树的根的孩子。修改数组a。 3）最后统计树的数量，即a[i]为0的结点的数量。 ）最后统计树的数量，即a[i]为
【输入：】 输入： 第一行：k k<=26,变量的个数，规定使用小写英 第一行：k（k<=26,变量的个数，规定使用小写英 文字母中的前k个字母作为变量，如k=5，则变量 文字母中的前k个字母作为变量，如k=5，则变量 a,b,c,d,e）。 a,b,c,d,e）。 第二行：k 第二行：k个正整数，中间用一个空格隔开，依次 代表k 代表k个变量的长度。 第三行：等式左边的表达式。 第四行：等式右边的表达式。 输出： 【输出：】 等式中出现的变量共有多少组解。
算法分析： 1、查找操作：find(i)过 查找操作：find(i)过 程。 查找元素i 查找元素i所在的集合的 过程很简单，只需要顺着 结点i 结点i到根结点的路径找 到i所在树的根即可。执 行Find(0), Find(1), …, Find(nFind(n-1), 若被搜索的元 素为 i，完成 Find(i) 操作 需要时间为O(i)，完成 需要时间为O(i)，完成 n 次搜索需要的总时间将达 到：
典型例题 14时限： 例14-1 二进制方程 时限：1s 【问题描述：】 问题描述：】 一个形如： X1X2…Xn=Y1Y2..Ym 的等式称为二进制方程。 在二进制方程的两边：Xi和 在二进制方程的两边：Xi和Yj （1<=i<=n；1<=j<=m）是二进制数字 1<=i<=n；1<=j<=m）是二进制数字 （0、1）或者一个变量（小写字母）。每个变量都是一个有固定长度 的二进制代码，他可以在等式中取代变量的位置，称这个长度为变量 的长度。为了解一个二进制方程，需要给其中的变量赋予适当的二进 制代码，使得我们用他们替代等式中的相应的变量后（等式的两边都 变成二进制代码），这个等式成立。 编程任务： 编程任务： 对于每一个给出的方程，计算一共有多少组解。已知变量最多有26个 对于每一个给出的方程，计算一共有多少组解。已知变量最多有26个 （26个英文小写字母），且等式的每一端的数字和变量的长度之和不 26个英文小写字母），且等式的每一端的数字和变量的长度之和不 超过10000。 超过10000。
说明：10目前还没有被查找，所以目前还没被压缩，如果后面 有查找10的查找操作，则又被压缩。
路径压缩的非递归算法： 从结点到根走两遍：第一遍找根；第二遍是将路 径上的所有结点的父亲都设为根。 function find(i:integer):integer; //非递归算法查 //非递归算法查 找i的根，并对路径进行压缩 var j,k,t:integer; begin j:=i; while a[j]<>0 do j:=a[j]; //查找根 //查找根 find:=j; k:=i; //从i开始对子树结点进行路径压缩 //从 while a[k]<>0 do begin t:=k;k:=a[k];a[t]:=j;end;
例如： 1、最常见的关系运算等号“=”在实数集合R上是一个等价 、最常见的关系运算等号“=”在实数集合R 关系。对于实数中的任意x 关系。对于实数中的任意x、y、z。一定满足下列关系： 1）、x=x ）、x=x 2）、如果x=y，则y=x ）、如果x=y，则y=x 3）、如果x=y，y=z，则x=z ）、如果x=y，y=z，则x=z 2、引例中的“连通”也是一个等价关系。对于图中的任 意3个顶点：A,B,C。有： 个顶点：A,B,C。有： 1）、A连通A ）、A连通A 2）、如果A连通B，则B连通A ）、如果A连通B，则B连通A 3）、如果A连通B，B连通C，则A连通C ）、如果A连通B 连通C，则A连通C 一个连通子图就是一个等价关系（连通），等价关系的个 数就是连通子图的个数。一个等价关系对应一个集合。
路径压缩的递归算法： 如果采用递归算法，一遍即可完成。是边查找边压缩，查 找和压缩同时进行。 function find(i:integer):integer; //递归寻找结点i的树根，并对结点i //递归寻找结点i的树根，并对结点i所在的子树进行路径压 缩，返回调整后的i 缩，返回调整后的i的父指针（根） begin if a[i]=0 then exit(i); //若i为根，返回本身结点序号 //若 if a[a[i]]=0 then exit(a[i]); 若i的父结点为根，则返回父 结点 find:=find(a[i]); //递归找根结点 //递归找根结点 a[i]:=find; //路径压缩，直接指向根 //路径压缩 路径压缩， end;
上述算法建成的树：
Fra Baidu bibliotek
上述中共有3棵树，即有3 上述中共有3棵树，即有3个子图（集团） 3 1 8 11 //三棵树的根} //三棵树的根} 1 1 1 1 1 1 1 8 8 1 11 //每个点所在树的根：find(i)的 //每个点所在树的根：find(i)的 值 0 1 1 3 4 1 1 0 8 7 0 //每个结点的父亲结点标志：a[i] //每个结点的父亲结点标志：a[i] 值
begin fillchar(a,sizeof(a),0); //默认根标志是0，开始全是树根 //默认根标志是0 readln(n,k); for i:=1 to k do begin readln(x,y); p:=find(x); q:=find(y); if p<>q then a[q]:=p; //合并操作 //合并操作 end; t:=0; //树根记数 //树根记数 for i:=1 to n do if a[i]=0 then inc(t); //记录树根结点 //记录树根结点 writeln(t); end.
引例： 引例： 犯罪团伙 问题描述】 【问题描述】 警察抓到了n 警察抓到了n个罪犯，警察根据经验知道他们属于不同的犯 罪团伙，却不能判断有多少个团伙，但通过警察的审讯，知 道其中的一些罪犯之间相互认识，已知同一犯罪团伙的成员 之间直接或间接认识。有可能一个犯罪团伙只有一个人。请 你根据已知罪犯之间的关系，确定犯罪团伙的数量。已知罪 犯的编号从1 犯的编号从1至n。 【输入】 输入】 第一行：n <10000,罪犯数量）， 第一行：n（<10000,罪犯数量）， 第二行：m <100000，关系数量） 第二行：m（<100000，关系数量） 以下若干行：每行两个数：I 以下若干行：每行两个数：I 和j，中间一个空格隔开，表示 罪犯i和罪犯j 罪犯i和罪犯j相互认识。 【输出】 输出】 一个整数，犯罪团伙的数量。
并查集的基本概念及操作 一、基本概念 在一些应用问题中，有一类像引例中“犯罪团伙 在一些应用问题中，有一类像引例中“犯罪团伙”的问题， 犯罪团伙”的问题， 一种有效的解决得方法是：需要将n 一种有效的解决得方法是：需要将n个不同的元素划分成一 组不相交的集合。开始时，每个元素自己独自构成一个单元 素集合，然后按照一定的顺序或问题给定的条件和要求将有 相同属性的集合合并，最后统计集合的个数往往就是问题的 解。在这个过程中要反复的用到查询某个元素属于哪个集合 的运算；两个集合合并的运算。适合描述这类问题的抽象数 据结构称为并查集（合并与查找）。 并查集的数学模型是若干个不相交的动态集合的集合： S={A， S={A，B，C，D，……} 它支持以下两种操作： 1）、union(A,B)：将A和B合并，合并后的集合名字为A或B。 ）、union(A,B)：将A 合并，合并后的集合名字为A 2）、find（x）：查找元素x所在的集合，并返回该集合的 ）、find（ ）：查找元素x 名字（一般返回根结点）。 在实际操作中，集合的名字一般都是用集合中的某一个代表 元素表示，不再另设置变量，这样处理比较方便。
犯罪团伙的参考程序： 犯罪团伙的参考程序： //a[i]:结点i的父亲结点：if a[i]=0： //a[i]:结点i的父亲结点：if a[i]=0：i为树根 else 指 向父亲结点。路径压缩后，都指向树根。 var a:array[1..100]of integer; i,j,k,m,n,t,x,y,p,q:integer; function find(i:integer):integer; //非递归算法， //非递归算法， 找i的根结点 var j,k,t:integer; begin j:=i; while a[j]<>0 do j:=a[j]; find:=j; end;
O(∑ i ) = O( n )
2 i =1
n
优化：当找到i所在的树根j后，把i的父亲指针指向j 优化：当找到i所在的树根j后，把i的父亲指针指向j，即 a[i]=j。这样可以减小以后的查找次数，这个优化称为路径 a[i]=j。这样可以减小以后的查找次数，这个优化称为路径 压缩。把一条路径的所有子结点都看作根的儿子，或者说 压缩。把一条路径的所有子结点都看作根的儿子，或者说 所有子结点的父亲指针都指向根。
【样例输入】 样例输入】 11 8 12 45 34 13 56 7 10 5 10 89 【样例输出】 样例输出】 3 样例说明：共三个集团。
【分析】 分析】 上述问题的模型就是求无向图的连通分量。 算法一：采用图的深度优先搜索算法，时间和空 间无法忍受。 算法二：有效算法 （1）开始把n个人看成n个独立集合（团伙）。 ）开始把n个人看成n （2）每读入两个有联系（同一团伙）的人i和j， ）每读入两个有联系（同一团伙）的人i 查找i 所在的集合f(i)和f(j)，如果f(i)和f(j)是同一 查找i和j所在的集合f(i)和f(j)，如果f(i)和f(j)是同一 个集合，不作处理；如果f(i)和f(j)属于不同的集合， 个集合，不作处理；如果f(i)和f(j)属于不同的集合， 则合并集合f(i)和f(j)为一个集合。（每个集合可以 则合并集合f(i)和f(j)为一个集合。（每个集合可以 找一个代表元素） （3）最后统计集合的个数即可得到问题的解
2、合并操作。 合并操作。 为了把两棵树p 为了把两棵树p和q（p和q必须是树根）合并起来，可以将 q的父亲指向p即可，即：a[q]:=p。也可以可以将p的父亲 的父亲指向p即可，即：a[q]:=p。也可以可以将p 指向q即可，即：a[p]:=q。 指向q即可，即：a[p]:=q。 优化：让深度小的树成为深度大的树的孩子，可以减少树 的高度，节省查找时间。但是由于在查找时有路径压缩的 操作，已经很有效了，一般不需要上述的优化。 一般情况下并查集算法的时间复杂度 O(mα(n))≈4m。 详细的时间分析可参看《算法导论》312页
并查集的一个重要的应用是确定给定集合 上的等价关系的个数。等价关系是一个具 有自反、对称和传递三个性质的关系。如 果“≡”是集合S 果“≡”是集合S上的一个等价关系，那么 对于集合S中的任意元素x 对于集合S中的任意元素x、y、z，有如下 的性质： 1）、x≡x（自反性） ）、x≡x（自反性） 2）、如果x≡y，则y≡x（对称性） ）、如果x≡y，则y≡x（对称性） 3）、如果x≡y，y≡z，则x≡z（传递性） ）、如果x≡y，y≡z，则x≡z（传递性）
二、并查集的树结构实现 采用树结构实现并查集的基本思想是：每个集合用一棵树 来表示。树的结点用于存储集合中的元素。树中的每个结 点存放一个指向父亲的指针。在实际使用中往往用根结点 的元素代表该树所表示的集合。 如引例中：图的连通子图的数量 1）设：a[i]：为结点i的父亲指针。如果a[i]=0，则i是树的 ）设：a[i]：为结点i的父亲指针。如果a[i]=0，则i 根，否则a[i]指向结点i的根。开始初始化时：a[i]=0，所 根，否则a[i]指向结点i的根。开始初始化时：a[i]=0，所 有结点都是独立的点，看成独立的一棵树根。 2）每读入两个结点x，y，如果x和y属于同一棵树，不做 ）每读入两个结点x ，如果x 处理，如果属于不同的两棵树，则合并两棵树，具体操作 是：把y所在树的根看作x所在树的根的孩子。修改数组a 是：把y所在树的根看作x所在树的根的孩子。修改数组a。 3）最后统计树的数量，即a[i]为0的结点的数量。 ）最后统计树的数量，即a[i]为
【输入：】 输入： 第一行：k k<=26,变量的个数，规定使用小写英 第一行：k（k<=26,变量的个数，规定使用小写英 文字母中的前k个字母作为变量，如k=5，则变量 文字母中的前k个字母作为变量，如k=5，则变量 a,b,c,d,e）。 a,b,c,d,e）。 第二行：k 第二行：k个正整数，中间用一个空格隔开，依次 代表k 代表k个变量的长度。 第三行：等式左边的表达式。 第四行：等式右边的表达式。 输出： 【输出：】 等式中出现的变量共有多少组解。
算法分析： 1、查找操作：find(i)过 查找操作：find(i)过 程。 查找元素i 查找元素i所在的集合的 过程很简单，只需要顺着 结点i 结点i到根结点的路径找 到i所在树的根即可。执 行Find(0), Find(1), …, Find(nFind(n-1), 若被搜索的元 素为 i，完成 Find(i) 操作 需要时间为O(i)，完成 需要时间为O(i)，完成 n 次搜索需要的总时间将达 到：
典型例题 14时限： 例14-1 二进制方程 时限：1s 【问题描述：】 问题描述：】 一个形如： X1X2…Xn=Y1Y2..Ym 的等式称为二进制方程。 在二进制方程的两边：Xi和 在二进制方程的两边：Xi和Yj （1<=i<=n；1<=j<=m）是二进制数字 1<=i<=n；1<=j<=m）是二进制数字 （0、1）或者一个变量（小写字母）。每个变量都是一个有固定长度 的二进制代码，他可以在等式中取代变量的位置，称这个长度为变量 的长度。为了解一个二进制方程，需要给其中的变量赋予适当的二进 制代码，使得我们用他们替代等式中的相应的变量后（等式的两边都 变成二进制代码），这个等式成立。 编程任务： 编程任务： 对于每一个给出的方程，计算一共有多少组解。已知变量最多有26个 对于每一个给出的方程，计算一共有多少组解。已知变量最多有26个 （26个英文小写字母），且等式的每一端的数字和变量的长度之和不 26个英文小写字母），且等式的每一端的数字和变量的长度之和不 超过10000。 超过10000。
说明：10目前还没有被查找，所以目前还没被压缩，如果后面 有查找10的查找操作，则又被压缩。
路径压缩的非递归算法： 从结点到根走两遍：第一遍找根；第二遍是将路 径上的所有结点的父亲都设为根。 function find(i:integer):integer; //非递归算法查 //非递归算法查 找i的根，并对路径进行压缩 var j,k,t:integer; begin j:=i; while a[j]<>0 do j:=a[j]; //查找根 //查找根 find:=j; k:=i; //从i开始对子树结点进行路径压缩 //从 while a[k]<>0 do begin t:=k;k:=a[k];a[t]:=j;end;
例如： 1、最常见的关系运算等号“=”在实数集合R上是一个等价 、最常见的关系运算等号“=”在实数集合R 关系。对于实数中的任意x 关系。对于实数中的任意x、y、z。一定满足下列关系： 1）、x=x ）、x=x 2）、如果x=y，则y=x ）、如果x=y，则y=x 3）、如果x=y，y=z，则x=z ）、如果x=y，y=z，则x=z 2、引例中的“连通”也是一个等价关系。对于图中的任 意3个顶点：A,B,C。有： 个顶点：A,B,C。有： 1）、A连通A ）、A连通A 2）、如果A连通B，则B连通A ）、如果A连通B，则B连通A 3）、如果A连通B，B连通C，则A连通C ）、如果A连通B 连通C，则A连通C 一个连通子图就是一个等价关系（连通），等价关系的个 数就是连通子图的个数。一个等价关系对应一个集合。
路径压缩的递归算法： 如果采用递归算法，一遍即可完成。是边查找边压缩，查 找和压缩同时进行。 function find(i:integer):integer; //递归寻找结点i的树根，并对结点i //递归寻找结点i的树根，并对结点i所在的子树进行路径压 缩，返回调整后的i 缩，返回调整后的i的父指针（根） begin if a[i]=0 then exit(i); //若i为根，返回本身结点序号 //若 if a[a[i]]=0 then exit(a[i]); 若i的父结点为根，则返回父 结点 find:=find(a[i]); //递归找根结点 //递归找根结点 a[i]:=find; //路径压缩，直接指向根 //路径压缩 路径压缩， end;
上述算法建成的树：
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上述中共有3棵树，即有3 上述中共有3棵树，即有3个子图（集团） 3 1 8 11 //三棵树的根} //三棵树的根} 1 1 1 1 1 1 1 8 8 1 11 //每个点所在树的根：find(i)的 //每个点所在树的根：find(i)的 值 0 1 1 3 4 1 1 0 8 7 0 //每个结点的父亲结点标志：a[i] //每个结点的父亲结点标志：a[i] 值
begin fillchar(a,sizeof(a),0); //默认根标志是0，开始全是树根 //默认根标志是0 readln(n,k); for i:=1 to k do begin readln(x,y); p:=find(x); q:=find(y); if p<>q then a[q]:=p; //合并操作 //合并操作 end; t:=0; //树根记数 //树根记数 for i:=1 to n do if a[i]=0 then inc(t); //记录树根结点 //记录树根结点 writeln(t); end.