质心计算质点计算公式

质心计算

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由力学可知,位于平面上点(x i,y i)处的质量为m i(i=1,2,3,…)的几个质点所构成的质点系的质心

坐标(x c,y c)的计算公式为

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其中:

质点系中全部质点的质量之与

质点系各质点中关于y轴的静力矩mi∙xi之与

质点系各质点中关于x轴的静力矩mi∙yi之与

由此可见,质点系m i(i=1,2,3,…)的质心坐标(xc,yc)满足:质量为,坐标为(xc,yc)的质点M,关于y轴与x轴的静力矩分别与质点系关于y轴与x轴的静力矩相等。

利用如上所述的质点系与质心的概念与关系,用定积分微元法讨论均匀薄片的质心。

例:设均匀薄片由曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a,x=b及x轴所围成,其面密度μ为常数,求其质心坐标(xc,yc)

a b

x x+dx

y=f(x)

为研究该薄片的质心,首先要将该薄片分成若干个小部分,每一部分近似瞧成一个质点,于就是该薄片就可以近似瞧成质点系,具体做法如下:

将[a,b]区间分成若干个小区间代表小区间[x,x+dx]所对应的窄的长条薄片的质量微元:

由于d x很小,这个窄条的质量可近似瞧作均匀分布在窄条左面一边上,由于质量就是均匀的故该条窄带的质心位于点(x,f(x)/2)处,所以相当的这条窄带关于x轴以及y轴的静力矩微元dMx于dMy 分别为:

把它们分别在[a,b]上作定积分,便得到静力矩

又因为均匀薄片的总质量为:

所以该薄片的质心坐标为: