矩阵的特征值与特征向量问题讲解

定义：设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P（A ）＝det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
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注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
xx
xxx
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定理 ： 设1,2 , ,m是方阵A的m个特征值, x1, x2 , , xm依次是与之对应的特征向量。如果1,2 , ,m
各不相等,则 x1, x2 , , xm 线性无关。
证明: 设有常数 k1, k2 , , km 使 k1 x1 k2 x2 km xm 0.
则 Ak1 x1 k2 x2 km xm 0, 由Axi xi可得
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定理： 若 是矩阵A 的特征值，x 是 A 的属于 的特征向量，则：
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明： 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为,如果设x同时是A的属于特征值1, 2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x,
1 x 2 x 由于1 2 0,
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
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注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
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注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 , , n ,记：
如果A的所有特征值都是半单的，则称A是非亏损的； A是非亏损的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
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特征值和特征向量的性质
定理： n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵AT 有相同的特征值。
证明： 由( A I )T AT I 有： AT I ( A I )T A I
即A与AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.
J称作A的Jordan标准型。
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Schur分解定理
设ACnn ,则存在酉矩阵U Cnn使得 U H AU T
第四章 矩阵的特征值与
特征向量问题
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第三章 矩阵的特征值与特征向量
4.1 幂法与反幂法 4.2 Jacobi方法（重点） 4.3 多项式方法求特征值问题（自学） 4.4 QR算法 （重点）
Givens矩阵； Householder矩阵； Gram-Schmidt正交化方法
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概述
n
I A ( 1 )( 2 ) ( n ) (1)k sk nk k 0 n s1n1 s2n2 (1)n A
其中: sk为A中一切k阶主子式之和。
(1) 1 2 n a11 a22 ann＝tr（A）;
称tr(A)为矩阵A的迹
(2) 12 n A.
asdf
征向量.
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2当A可逆时, 0, 由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
x A1 x A1x 1x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
★ 特征值和特征向量的性质:
特征值
A或AT kA Am A1 A* f ( A)
k m 1/ A / f ( )
对应特征 x 向量 x
k11 x1 k22 x2 kmm xm 0,
1k k1x1 2k k2 x2 L mk km xm 0.
k 1,2, ,m 1 10
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1
k1 x1, k2 x2 ,
,km xm
1
2
m1 1
m1 2
0,0,
,0
1 m
m1 m
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
其重数分别为n（i i 1, , r)，则一定存在非奇异
矩阵P C nn使得P 1 AP diag(J (1 ) J (r )) J 其中J (i ) diag(J1 (i ) J ki (i )) C nini ,1 i r,
Байду номын сангаас
i 1
J
j
(i
)
i 1
1
i
且除了的排列次序外，J是唯一的；
A I x 0 有非零解的 值 , 即满足方程
A I 0的都是矩阵A的特征值. 3. 是矩阵A的一个特征值，则一定是 A λI 0, 的根，因此又称特征根。若是 A I 0的k重根, 则称为A的k重特征值(根)。
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重数：
det(I A) ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( P )nP 其中：n1 n2 n p n ; i j (i j) 称ni为i的代数重数（简称重数）； mi n rank(i I A)为i的几何重数(mi ni )； 如果ni＝1，则称i为A的一个单特征值； 否则称i为A的一个重特征值； 如果mi＝ni，则称该特征值i为A的一个半单特征值；
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相似矩阵
定义：A, B C nn , 若存在矩阵P使得B P 1 AP, 则称A和B是相似的。
Ax x PAP1Px Px BPx Px
相似矩阵有相同的特征值，因此可寻求与矩阵A相 似的矩阵B，要求B的特征值和特征向量易于计算。
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Jordan分解定理
设A C nn ,有r个互不相同的特征值（i i 1, , r)
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 k1 x1, k2 x2 , , km xm 0,0, ,0,
即 kj xj 0 j 1,2, ,m.但 xj 0,故 k j 0 j 1,2, ,m.
所以向量组 x1, x2 , , xm 线性无关.
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注记
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．