数列极限的定义
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 1 , 3(3n 2) 9 n
故取N
1 , 则当n N 时，有 9
2n 1 2 1 xn a , 3n 2 3 n
即：
2n 1 2 lim . n 3n 2 3
例3 证明 lim(
n
n2 1 n2 1) 0.
第二节 数列极限的定义
一、数列
定义 正整数集N*上的函数称为数列.
由定义，对每个正整数n ，数列都确定了一个相应的 实数 xn ，这些 xn 可按下标从小到大依次排成一个序列
x1 , x2 ,
记为 xn n 1 .
, xn ,
,
数列中的第 n 个数又称为数列的第 n 项，又叫作一般项. 例
如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？
从本质上看，数列的极限反映了数列当 n 趋于无穷大时， 数列中的项与某一个定数充分接近. 而两个数 a 和 b 的接近程度可用两数差的绝对值来刻画.
1 (1)n 1 考察 xn 1 ， xn 1 ， n n 故只要 n 充分大， xn 1 就充分小.
n
lim xn a,
又记为
xn a (n ).
如果这样的常数 a 不存在，就说数列没有极限，或称数 列是发散的.
注 定义中的正数 是一个任意小的数，不能把它和一
个很小的数混为一谈. 注 定义中的自然数 N，实际上是某一项下标的序号，
n N ，表示自该项以后的所有项.
四、极限的几何意义
例
1, 1,1, 1, ,(1) , ,
一般项
xn (1)n1 .
二、极限的描述
在上面的这些例中，前三例一般项都有明确的变化趋势：
1 n xn 0 n (1)n1 n xn 1 0 n 1 n xn n 1 1 2
最后一例的一般项却没有明确的变化趋势.
三、极限的定义
定义 设数列 xn n 1 ，如果存在常数 a ，使得对任意给
定的正数 (不论它多么小)，总存在自然数 N ，只要 n N , 不等式
xn a
都成立，那么称常数 a 是数列 xn n 1 的极限，或者称数
列 xn n 1 收敛于 a ，记为
设数列 xn n 1 收敛于 a，则由定义，对任意给定的正
数 ，一定存在正整数 N，当 n N 时，所有的 xn 都落在 一个以 a为中心， 为半径的空心邻域中.
x1 x3
xN 1 xN 3
xN 2
xN
x2
a
a
a
x
五、例
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法： 即对给定的任意正数 ，去寻找满足不等式的N . 寻找
1 1 1, , , 2 3
1 , , n
1 , 一般项 xn ; n
(1) ,1 n
n 1
例
1 4 3 2, , , , 2 3 4
1 1 1, , , 2 4
,
(1)n 1 ,一般项 xn 1 . n
例
1 , n 1 , 2
1 , 一般项 xn n 1 . 2
n1
所以
n
lim q n 1 0.
1 即从第10001项开始的以后所有项都满足 xn 1 4 ； 10
1 k x 1 , n 10 , 一般要使 n 只要 k 10 1 k 即：当 n 10 时, 可使 xn 1 k , 10 k 即从第 10 1 项开始的以后所有项都满足： 1 xn 1 k . 10 1 , 其中 是任意小的正数） 更一般，要使 xn 1 （ n 1 只要 n 即可，
1 例如要使 xn 1 2 , 只要 n 100, 10
1 即从第101项开始的以后所有项都满足 xn 1 2 ； 10
1 又如要使 xn 1 4 , 只要 n 10000, 10 1 即：当 n 10000 时, 可使 xn 1 4 , 10
1 即：当 n 100 时, 可使 xn 1 2 , 10
即：当 n
1
时, 可使 xn 1 ,
1 即从第 1项开始的以后所有项都满足：
xn 1 .
对上例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么小， 总可以找到自然数 n ，在这项以后的所有项与1的距离 都可以小于该数. 数学上用 来表示一个任意小的正数. 由此得到极限的精确定义:
n (1) xn a n
n 1
1 1 , n
Байду номын сангаас
n (1)n 1 xn a 1 , n
所以
n (1) lim n n
n 1
1.
2n 1 2 . 例2 证明 lim n 3n 2 3
证
0, 因
2n 1 2 6 n 3 6 n 4 xn a 3n 2 3 3(3n 2)
2 2
lim q n 1 0. 例4 设 q 1, 证明 n
证 0, ，因
xn a q n 1 0 q n 1 ,
欲使 q
n 1
,即 (n 1)ln q ln ,
ln 1 ，当 n N 时，有 取N ln q xn a q n 1 0 q n 1 ,
证
0, 因
xn a n 1 n 1
2 2
2 n2 1 n2 1
2 , 2 n 1 n
2
2 取N , 则当 n N 时，有
2 xn a n 1 n 1 . n
2 2
所以：
n
lim( n 1 n 1) 0.
办法是从 xn a 经过不等式的变形，逐步解出 N.
1 4 3 n (1)n1 例1 证明数列 2, , , , , , 的极限是1. 2 3 4 n n (1) n 1 a 1. 0, 证 记 xn ， n
要使
1 取N , 则当 n N 时，有
故取N
1 , 则当n N 时，有 9
2n 1 2 1 xn a , 3n 2 3 n
即：
2n 1 2 lim . n 3n 2 3
例3 证明 lim(
n
n2 1 n2 1) 0.
第二节 数列极限的定义
一、数列
定义 正整数集N*上的函数称为数列.
由定义，对每个正整数n ，数列都确定了一个相应的 实数 xn ，这些 xn 可按下标从小到大依次排成一个序列
x1 , x2 ,
记为 xn n 1 .
, xn ,
,
数列中的第 n 个数又称为数列的第 n 项，又叫作一般项. 例
如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？
从本质上看，数列的极限反映了数列当 n 趋于无穷大时， 数列中的项与某一个定数充分接近. 而两个数 a 和 b 的接近程度可用两数差的绝对值来刻画.
1 (1)n 1 考察 xn 1 ， xn 1 ， n n 故只要 n 充分大， xn 1 就充分小.
n
lim xn a,
又记为
xn a (n ).
如果这样的常数 a 不存在，就说数列没有极限，或称数 列是发散的.
注 定义中的正数 是一个任意小的数，不能把它和一
个很小的数混为一谈. 注 定义中的自然数 N，实际上是某一项下标的序号，
n N ，表示自该项以后的所有项.
四、极限的几何意义
例
1, 1,1, 1, ,(1) , ,
一般项
xn (1)n1 .
二、极限的描述
在上面的这些例中，前三例一般项都有明确的变化趋势：
1 n xn 0 n (1)n1 n xn 1 0 n 1 n xn n 1 1 2
最后一例的一般项却没有明确的变化趋势.
三、极限的定义
定义 设数列 xn n 1 ，如果存在常数 a ，使得对任意给
定的正数 (不论它多么小)，总存在自然数 N ，只要 n N , 不等式
xn a
都成立，那么称常数 a 是数列 xn n 1 的极限，或者称数
列 xn n 1 收敛于 a ，记为
设数列 xn n 1 收敛于 a，则由定义，对任意给定的正
数 ，一定存在正整数 N，当 n N 时，所有的 xn 都落在 一个以 a为中心， 为半径的空心邻域中.
x1 x3
xN 1 xN 3
xN 2
xN
x2
a
a
a
x
五、例
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法： 即对给定的任意正数 ，去寻找满足不等式的N . 寻找
1 1 1, , , 2 3
1 , , n
1 , 一般项 xn ; n
(1) ,1 n
n 1
例
1 4 3 2, , , , 2 3 4
1 1 1, , , 2 4
,
(1)n 1 ,一般项 xn 1 . n
例
1 , n 1 , 2
1 , 一般项 xn n 1 . 2
n1
所以
n
lim q n 1 0.
1 即从第10001项开始的以后所有项都满足 xn 1 4 ； 10
1 k x 1 , n 10 , 一般要使 n 只要 k 10 1 k 即：当 n 10 时, 可使 xn 1 k , 10 k 即从第 10 1 项开始的以后所有项都满足： 1 xn 1 k . 10 1 , 其中 是任意小的正数） 更一般，要使 xn 1 （ n 1 只要 n 即可，
1 例如要使 xn 1 2 , 只要 n 100, 10
1 即从第101项开始的以后所有项都满足 xn 1 2 ； 10
1 又如要使 xn 1 4 , 只要 n 10000, 10 1 即：当 n 10000 时, 可使 xn 1 4 , 10
1 即：当 n 100 时, 可使 xn 1 2 , 10
即：当 n
1
时, 可使 xn 1 ,
1 即从第 1项开始的以后所有项都满足：
xn 1 .
对上例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么小， 总可以找到自然数 n ，在这项以后的所有项与1的距离 都可以小于该数. 数学上用 来表示一个任意小的正数. 由此得到极限的精确定义:
n (1) xn a n
n 1
1 1 , n
Байду номын сангаас
n (1)n 1 xn a 1 , n
所以
n (1) lim n n
n 1
1.
2n 1 2 . 例2 证明 lim n 3n 2 3
证
0, 因
2n 1 2 6 n 3 6 n 4 xn a 3n 2 3 3(3n 2)
2 2
lim q n 1 0. 例4 设 q 1, 证明 n
证 0, ，因
xn a q n 1 0 q n 1 ,
欲使 q
n 1
,即 (n 1)ln q ln ,
ln 1 ，当 n N 时，有 取N ln q xn a q n 1 0 q n 1 ,
证
0, 因
xn a n 1 n 1
2 2
2 n2 1 n2 1
2 , 2 n 1 n
2
2 取N , 则当 n N 时，有
2 xn a n 1 n 1 . n
2 2
所以：
n
lim( n 1 n 1) 0.
办法是从 xn a 经过不等式的变形，逐步解出 N.
1 4 3 n (1)n1 例1 证明数列 2, , , , , , 的极限是1. 2 3 4 n n (1) n 1 a 1. 0, 证 记 xn ， n
要使
1 取N , 则当 n N 时，有