2012西南科技大学概率论A卷第一学期期末考试试题及答案

西南科技大学2012-2013-1学期

则{0}P XY ==( )

（A ）

14 （B ）512 （C ） 3

4

（D ）1 4、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论正确的是（ ）

（A ）()()()D XY D X D Y =⋅ （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不独立

5、假设总体X 服从参数为λ的泊松分布， 12,,...,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，其样本均值为X ，样本方差为2

S ,已知2

=(23)aX a S λΛ

+-为λ的无偏估计量，则a =（ ）

（A ） 1- （B ）0 （C ） 1

2

（D ）1

三、（8分）设A , B , C 是随机事件， A , C 互不相容，11(),()43P AB P C ==,求()P AB C .

四、（12分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中有三件合格品和三件次品，乙箱中仅装有三件合格品. 从甲箱中任取三件产品放入乙箱后， 求：

（1）乙箱中次品件数X 的分布律及数学期望；（7分） （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. （5分）

五、（10分）已知随机变量X 的概率密度为

1,02

()0,

ax x f x +≤≤⎧=⎨

⎩其他

求：（1）常数a 的值；(3分) （2）X 的分布函数()F x ；(4分) （3）随机变量3Y X =的概率密度.(3分)

六、（10分）设随机变量(,)X Y 在区域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布， （1）求关于X 和Y 的边缘概率密度，并说明X 与Y 是否独立？(7分) （2）计算概率{}P X Y ≤.（3分)

………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………

七、（10分）设总体X 的概率密度为

1,

0(,)0,0

x

e x

f x x θθ

-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

其中0θ>为未知参数，12,,...,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本。 求：（1）θ的矩估计量；(5分) （2）θ的最大似然估计量. (5分)

八、(10分)某种产品的重量为X ，由长期的经验知~(12,1)X N ,更新设备后，从所生产的产品中 随机地取36件，测得样本均值12.5x =，如果方差没有变化，问设备更新后，产品的重量是否有 显著变化？（显著性水平取0.10α=）

附：0.100.050.100.100.050.051.282, 1.645,(35) 1.3062,(36) 1.3055,(35) 1.6895,(36) 1.6883z z t t t t ======

一、填空题（每小题4分，共20分）

1、

3

4

； 2、0.096； 3、17； 4、~(1,11)X N ； 5、(12.049,12.101) 二、选择题（每小题4分，共20分）

1、A ；

2、C ；

3、C ；

4、B ；

5、C 三、（8分） 解：()

()()

P ABC P AB C P C =

………………………2分

()()1()P AB P ABC P C -=

-()

1()

P AB P C =

-………………………………………4分 3

8

=

………………………2分 四、（12分）

解: (1) X 的分布律 X 0 1 2 3

P

120 920 920 120

……………………5分

3

()2

E X =

…………………………………………………………………2分 （2）设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},由全概率公式得

3

(){}{)}i P A P X i P A X i ====∑…………………………………………3分

19192131

0202062062064

=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………2分 五、(10分)

解：（1）由2

1(1)22ax dx a =

+=+⎰得，1

2

a =- ……………………………3分 （2）20,

0(),024

1,

1x x

F x x x x <⎧⎪⎪=-+≤≤⎨⎪<⎪⎩……………………………………4分 (3) 3

Y X =的概率密度21

3

311(1),08()32

0,Y y y y f y -⎧-<≤⎪=⎨⎪⎩

其他……………3分 六、（10分）

解： (1) (,)X Y 的联合概率密度为2,

(,)(,)0,

x y D

f x y ∈⎧=⎨

⎩其他

……………………2分

2(1),01

()0,X x x f x -<<⎧=⎨

⎩其他……………………………2分 2(1),01

()0,Y y y f y -<<⎧=⎨

⎩

其他 ……………………2分 显然，

(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以X 与Y 不独立. ………1分