第5章聚类分析

• The first is a partition into n cluster, each one containing exactly one sample
• The second is a partition into n-1 clusters, the third into n-2, and so on, until the n-th in which there is only one cluster containing all of the samples
which behave quite similar of the clusters are hyperspherical and well separated.
最短距离法(Nearest-neighbor algorithm) When dmin is used, the algorithm is called the neirest neighbor algorithm • If data points are thought as nodes of a graph with edges forming a path between the nodes in the same subset Di, the merging of Di and Dj corresponds to adding an edge between the neirest pair of node in Di and Dj • The resulting graph has any closed loop and it is a tree, if all subsets are linked we have a spanning tree
5.5 动态聚类法
• 基本思想
– 首先选择若干个样本点作为聚类中心，再按某种聚 类准则（通常采用最小距离准则）使样本点向各中 心聚集，从而得到初始聚类； – 然后判断初始分类是否合理，若不合理，则修改分 类； – 如此反复进行修改聚类的迭代算法，直至合理为止。
最长距离法( The farthest neighbor algorithm) • When dmax is used, the algorithm is called the farthest neighbor algorithm • If it is terminated when the distance between nearest clusters exceeds an arbitrary threshold, it is called complete-linkage algorithm
• At the level k in the sequence, c = n-k+1.
• Hierarchical clustering tree representation called dendrogram
• Another representation is based on set, e.g., on the Venn diagrams
5.1 聚类分析的相关概念
• 模式相似/分类的依据
把整个模式样本集的特征向量看成是分布在 特征空间中的一些点，点与点之间的距离即 可作为模式相似性的测量依据。
聚类分析是按不同对象之间的差异，根据距 离函数的规律（大小）进行模式分类的。
5.1 聚类分析的相关概念
• 聚类分析的有效性
聚类分析方法是否有效，与模式特征向量的 分布形式有很大关系。
5.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• [算法（实例）]
5.4 系统聚类法
• 基本思想 将模式样本按距离准则逐步分类，类 别由多到少，直到获得合适的分类要 求为止。 [算法]
•
系统聚类也称为Hierarchical Clustering
• Many times, clusters are not disjoint, but a cluster may have subclusters, in turn having subsubclusters, etc. • Consider a sequence of partitions of the n samples into c clusters
•
距离准则函数 进行聚类合并的一个关键就是每次迭代中形 成的聚类之间以及它们和样本之间距离的计 算，采用不同的距离函数会得到不同的计算 结果。主要的距离计算准则：
– – – – – [最短距离法] [最长距离法] [中间距离法] [重心法] [类平均距离法]
距离准则函数 To find the nearest clusters, one can use
5.3.1 按最近邻规则的简单试探法 • [算法]
• 讨论
– 这种方法的优点：计算简单，若模式样本 的集合分布的先验知识已知，则可获得较 好的聚类结果。
5.3 基于试探的聚类搜索算法
5.3.1 按最近邻规则的简单试探法 • 讨论（续）
– 在实际中，对于高维模式样本很难获得准确的先 验知识，因此只能选用不同的阈值和起始点来试 探，因此这种方法在很大程度上依赖于以下因素：
• [降维方法]
– 结论：若rij→1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特 征，或将它们合并为一个特征，从而使维数降低 一维。
5.1 聚类分析的相关概念
• 模式对象特征测量的数字化 计算机只能处理离散的数值，因此根据识别 对象的不同，要进行不同的数据化处理。
• 两类模式分类的实例：一摊黑白围棋子
– 选颜色作为特征进行分类，用“1”代表白， “0”代表黑，则很容易分类； – 选大小作为特征进行分类，则白子和黑子 的特征相同，不能分类（把白子和黑子分 开）。
5.1 聚类分析的相关概念
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
– 若向量点的分布是一群一群的，同一群样本密集 （距离很近），不同群样本距离很远，则很容易 聚类； – 若样本集的向量分布聚成一团，不同群的样本混 在一起，则很难分类； – 对具体对象做聚类分析的关键是选取合适的特征。 特征选取得好，向量分布容易区分，选取得不好， 向量分布很难分开。
5.1 聚类分析的相关概念
• [举例]
– 设有6个五维模式样本如下，按最小距离准 则进行聚类分析：
x1: x2: x3: x4: x5: x6: 0, 3, 1, 2, 0 1, 3, 0, 1, 0 3, 3, 0, 0, 1 1, 1, 0, 2, 0 3, 2, 1, 2, 1 4, 1, 1, 1, 0
5.4 系统聚类法
5.2 模式相似性的测度和 聚类准则
5.2.2 聚类准则 • 试探方法 凭直观感觉，针对实际问题定义一种相 似性测度的阈值，然后按最近邻规则指 定某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻 性，但将一个样本分到不同类别中的哪一 个时，还必须规定一个距离测度的阈值作 为聚类的判别准则。
5.2 模式相似性的测度和 聚类准则
5.2.1 相似性测度
• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。 – [欧氏距离]
• 量纲对分类的影响（下页图例）
– [马氏距离]
• 特点：排除了模式样本之间的相关性 • 问题：协方差矩阵在实际应用中难以计算
5.2 模式相似性的测度和 聚类准则
5.2.2 聚类准则 • 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数； – 由于类别是由一个个样本组成的，因此一般来说 类别的可分离性和样本的可分离性是直接相关的； – 可以定义聚类准则函数为模式样本集{x}和模式类 别{Sj, j=1,2,…,c}的函数，从而使聚类分析转化为 寻找准则函数极值的最优化问题。
• [举例]
– 系统聚类的 树状表示
作业
• • 画出给定迭代次数为n的系统聚类法的 算法流程框图 对如下5个6维模式样本，用最小聚类 准则进行系统聚类分析：
x1: 0, 1, 3, 1, 3, 4 x2: 3, 3, 3, 1, 2, 1 x3: 1, 0, 0, 0, 1, 1 x4: 2, 1, 0, 2, 2, 1 x5: 0, 0, 1, 0, 1, 0
5.4 系统聚类法
• 练习
– 对如下6个五维模式样本，按最大距离准则 进行聚类分析（直到分成三个类别为止）：
x1: x2: x3: x4: x5: x6: 0, 3, 1, 2, 0 1, 3, 0, 1, 0 3, 3, 0, 0, 1 1, 1, 0, 2, 0 3, 2, 1, 2, 1 4, 1, 1, 1, 0
– [一般化的明氏距离] – [角度相似性函数]
• 特点：反映了几何上相似形的特征，对于坐标系的旋转、 放大和缩小等变化是不变的。 • [当特征的取值仅为(0,1)两个值时的特例]
量纲对分类的影响（图例）
5.2 模式相似性的测度和 聚类准则
5.2.2 聚类准则 有了模式的相似性测度，还需要一种基 于数值的聚类准则，能将相似的模式样 本分在同一类，相异的模式样本分在不 同的类。 • 试探方法 • 聚类准则函数法
• • • • 第一个聚类中心的位置 待分类模式样本的排列次序 距离阈值T的大小 样本分布的几何性质
5.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.1 按最近邻规则的简单试探法 • 讨论（续）
– 距离阈值T对聚类结果的影响
5.3 基于试探的聚类搜索算法
5.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
– 连续量的量化：用连续量来度量的特性，如长度、 重量、面积等等，仅需取其量化值； – 量级的数量化：度量时不需要详尽的数值，而是相 应地划分成一些有次序的量化等级的值。 – 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量 关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关 系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0” 和“1”来表示。
Agglomerative hierarchical clustering
• The procedure terminates when the specified number of cluster has been obtained, and returns the cluster as sets of points, rather than the mean or a representative vector for each cluster
d min ( Di , D j ) min
xDi , x 'D j
x x'
d max ( Di , D j ) max x x'
xDi , x 'D j
1 d avg ( Di , D j ) ni n j
xDi x 'D j
x x'
d mean ( Di , D j ) m i m j
5.2 模式相似性的测度和 聚类准则
5.2.2 聚类准则 • 聚类准则函数法
– [一种聚类准则函数J的定义]
• J代表了属于c个聚类类别的全部模式样本与其 相应类别模式均值之间的误差平方和。 • 对于不同的聚类形式，J值是不同的。 • 目的：求取使J值达到最小的聚类形式。
5.3 基于试探的聚类搜索算法
第5章 聚类分析
第5章 聚类分析
5.1 聚类分析的相关概念 5.2 模式相似性的测度和聚类准则 5.3 基于试探的聚类搜索算法 5.4 系统聚类法 5.5 动态聚类法 5.6 聚类结果的评价
5.1 聚类分析的源自文库关概念
• 定义
对一批没有标出类别的模式样本集，按 照样本之间的相似程度分类，相似的归 为一类，不相似的归为另一类，这种分 类称为聚类分析，也称为无监督分类。