4实数运算1(平方根)

八年级数学（秋季班）第六讲 平方根

一、知识点总结 1．平方根的概念

如果一个数x 的平方等于a ，即2

x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。即若

()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。

2．平方根的性质

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②零有一个平方根，它是零本身； ③负数没有平方根。 3．平方根的表示方法：

一个正数a 的正的平方根，用符号“2a ”表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方

根用符号“2a -”表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作a ±。

4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根，记作a （0a >），0的平方根叫做0的

算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即00=。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

8、求下列各数的平方根和算术平方根：

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平 方 根 算术平方根

121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 平 方 根 算术平方根

二、经典例题

例1 ∵()2

0.30.09= ∴（ ）

A ．0.090.3是的平方根；

B ．0.090.3是的3倍；

C ．0.30.09是的一个平方根；

D ．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，()2

5-，24125

，0.0256。

例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；

（2）2

)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ；

（3）（-2．345）2

的平方根是 ，算术平方根是 。 例4 （1）122

++x x 的平方根为（ ）

A ．没有平方根

B ．(1)x ±+

C ．0

D ．1

（2）1412

-+-

x x 的平方根为（ ） A ．)2(2

1

-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0

（3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A ．1+m B ．12+m C ．1+±m D ．12+±m

例5 已知536.136.2=，858.46.23= ① 求236和00236.0的值；

② 若x =0．4858，求x 的值；

例6 解下列方程

（1） 1442

x =25 （2） -1003

2)4()1(-=-x

例7 求x x -+中x 的值

例8 已知360x xy -+-=，求y

x 的平方根。

三、课堂练习 1．（1）求下列各数的平方根和算术平方根 ① 25

111

； ② 0．0001； ③ 6

10； ④ 0

（2）求下列各式的值

① 21.1； ② 16-； ③ 36

254+

±

2．求下列各数的平方根

（1）6

10； （2）2

)49

4(-； （3）810000；

（4）224041-； （5）2)25

610(

3．选择题

（1）下列结果错误的有（ ）

① 2)2(2

±=-； ② 16的算术平方根是4；

③ 4

112

的算术平方根是27； ④ 2

()π-的平方根是π

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

（2）下列语句写成式子正确的是（ ） A ．7是49的算术平方根，即749±=；

B ．7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2

=-；

C ．7±是49的平方根，即749=±；

D ．7是7的算术平方根，即77=

4．下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 （1）4

1

2； （2）0； （3）2)1.4(-；

（4）9-； （5）-52

； （6）16。

5．设a 为有理数，判断下列说法是否正确 （1）如果a 存在平方根，则0a >；（ ） （2）如果a 有两个平方根，则0a >；（ ） （3）如果a 没有平方根，则0a <；（ ） （4）如果0a >，则a 的平方根也大于0。（ ）

6．已知3 1.732=，则300= ，0.03-= ，63.010-⨯= 。 7．求下列各式中x 的值：

（1）()2

19x -= （2）()2

21360x +-= （3）2

2240x x +-=

8．已知114x x y -+-=+，求x 与y 的值。

四、课后作业 1．填空

（1）9的平方根是 ，9的算术平方根是 ； （2）81的负的平方根是 ； （3）=416

，=9

7

1 ； （4）平方根是3

1

±

的数是 ； （5）2)5(-的平方根是 ； （6）25的平方根是 ； （7）平方根是它本身的数是 ； （8）若22)2(-=a ，则=a 。

（9）16的算术平方根的相反数是 。

（10）如果a 的平方根是等于±2，则a= 。 2．求下列各式中x 的值：

（1）0361162

=-x （2）25)1(2=-x

（3）()()2

3

10019x --=- （4）()2

43216x -=