构造与论证

五年级第二学期讲义

第十五讲构造与论证

一、知识要点

构造与论证是一类创造性的思维活动，要求我们积极展开联想灵活运用所学的知识。而构造法是一种重要的数学方法，一类数论问题可以通过构造出某些特殊结构，特殊形式的数列或数组来解决，另外在解决一些图形问题上，逻辑推理问题上也可以通过构造我们所熟悉的特殊情景然后再解题，问题就变得容易多了。

二、典型例题

1.一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?

2.一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?

3.在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?

4.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？

5.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？

6.在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

7.能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？

8.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？

9.如图，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？

10.某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?说明判断过程．

11.将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的长方形中必有两个是完全相同的．

12.将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

13.有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．

14.4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

15.两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中可轮流移走1至7根，直到移尽为止。挨到谁移最后一根就算谁输。如果开始时有1000根火柴，则先移的人第一次应该移动多少根火柴棍，才能保证在游戏中获胜？

16.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

17.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

18.在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否为伪币。

19.在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

20.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填

入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不

大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

三、练习题

1.在平面上有一个10⨯10的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好36枚棋

子，它们被摆成一个6⨯6的正方形。按下面的规则进行游戏:每一枚棋

子都可沿水平方向或竖直方向越过一枚相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋

子的空格中，并把越过的这格棋子取出来。那么是否存在一种走法，使

棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？

解：按如图的方式，将整个棋盘的每一格都分别染上灰、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个，而第三种颜色的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子的奇偶性要发生改变。因为一开始时，36枚棋子摆成一个6 6的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，从而每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是相同的。如果走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数（0），而另一部分上的棋子数为奇数（1）。这种结果是不可能出现的。

2.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体

中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正

方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能

走遍所有的正方体吗?

解: 不可能。可以间隔染色,然后证明.用反证法。具体说就是：把3×3×3的大立方体的8个角上以及6个面的中心上的小立方体染成黑色，其余的染成白色.那么一共14个黑的，12个白色的立方体。然而甲虫总是在黑色和白色立方体之间来回，这意味着黑白两种颜色的立方体格数必须相等，矛盾。

3.将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色。证明，至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。

证明：反证法，假设任意两行的任意一种颜色的格子数不相等。则特别的有：任意两行的红色格格子数不相等，从而红色格子数至少有0+1+2+…+14=105个.同理蓝色和绿色格子都至少105个，总共至少105×3=315个，而总共应该15×15=225个格子，矛盾.

4.在一个2011行2010列的棋盘上，左上角的格子中放一枚棋子。甲、乙两人按如下规则下棋：（1）甲先走，然后轮流移动棋子；（2）每一次移动棋子时要么横向移动，要么纵向移动，走的方格数量没有限制，但是至少要移动一个方格；每个方格只允许棋子通过或者停留一次；（3）轮到哪方没有方格可以移动，该方为失败者。那么，谁会获胜？必胜策略是什么？

解：甲可以获胜，甲先将棋子移动到第一行的最右边位置，迫使乙只能纵向移动棋子，之后无论乙移动多少格，甲始终横向移动棋子，且移动的距离尽量长，这样每次移动都是甲选择横向，乙被迫选择纵向。甲每移动一次都会占用一行，使得乙可以移动的最大格数减少1，而乙最多占用一列使得甲可以移动的最大格数最多减少1，而显然2011大于2010，乙会先于甲无法移动而失败。