直方图和正态分布
用Excel画直方图和正态分布图
用Excel画直方图和正态分布图
马莹莹
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2011(000)021
【摘要】直方图和正态分布图是统计学中常用的一种直观形象的图示法,也是经济数学教学的一个重要内容.本文介绍了一种较简单的用Exce软件画直方图和正态分布图的方法,为学生今后工作中的相关应用提供方便.
【总页数】2页(P269-270)
【作者】马莹莹
【作者单位】郑州工业贸易学校河南郑州450000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用Excel画直方图和正态分布图 [J], 马莹莹
2.直方图和正态分布图在雷暴日数统计中的应用 [J], 陈星宇;迟立志
3.用Excel画直方图 [J], 叶艺林;张激
4.直方图和正态分布图在试卷分析中的应用 [J], 蒋建琼
5.直方图和正态分布图在中心静脉导管延长管双闭环控制挤出数据分析中的应用[J], 程玲玲;魏永飞;赵明学;王国诰;牛凯波;刘珍
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正态分布频率直方图
14．在某项测量中，测量结果服从ξ正态分布2(1)(0)N σσ>，．若在内取值的ξ(01)，概率为0.4，则在内取值的ξ(02)，概率为 0.8．（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出＿25＿＿＿＿人。
0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距(11）若随机变量X ～2(,)μσ，则()P X μ≤=________. 解答：1212．已知离散型随机变量的分布X 列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．【解析】由题知1211=++c b a ，061=++-c a ，1121211222=⨯+⨯+⨯c a ，解得125=a ，41=b . 12. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 64，数据落在内的[2,10)概率约为 0.4.13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 40 。
（11）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____名学生。
【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。
用Excel画直方图和正态分布图
Cumulative 为一逻辑值，指明 函 数 的 形 式 。 如 果 cumulative 为
TRUE，函数 NORMDIST 返回累积分布函数；如果为 FALSE，返回概率
密度函数。
正态分布密度函数 (cumulative = FALSE) 的计算公式如下：
如果 cumulative = TRUE， 则公式为从负无穷大到公式 中 给 定 的
作者简介：杨生州，女，硕士，高级工程师，研究方向为冶金技术。
［责任编辑：张慧］
（上接第 674 页）2.3．3 手工计算与软件辅助计算相结合 手工计算钢筋工程量是基础， 由学生运用计量草稿或 EXCEL 表
格，把钢筋所在的构件号、构件的数量、钢筋的型号、箍筋的间距都标 注清楚，把钢筋工程量计算公式写清楚。 但手工计算工作量非常大，教 师对学生的计算是否准确进行一一核对也很困难，如果学生不知自己 的计算是否准确则更容易产生畏难情绪，为克服这一难题，笔者在实 践中左 键 选 中 紫 红 色 的 正 态 函 数 柱 形 → 图 表 → 图 表 类 型 → 折 线 图→平滑样式→确定，图示：
Excel 作为数理统计辅助教学软件有以下几方面的优点： 3．1 Excel 具 备 的 强 大 图 表 和 统 计 分 析 功 能 完 全 可 满 足 数 理 统 计 计 算机辅助教学要求； 3．2 Excel 简单易学，使用方便； 3．3 Excel 是一种十分普及的软件， 已成为 办 公 软 件 的 标 准 配 置 ，因 而学生毕业后完全有机会使用它。
2.1 NORMDIST 函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数。 此函数在统计方面
应用范围广泛（包括假设检验）。
NORMDIST(x, mean, standard-dev, cumulative)
直方图和正态分布图
直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。
正态性检验方法
正态性检验方法正态性检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否符合正态分布。
正态分布是统计学中最重要的分布之一，许多统计方法都基于数据服从正态分布的假设。
因此，对数据进行正态性检验是非常重要的，它可以帮助我们选择合适的统计方法，进行准确的数据分析和推断。
常见的正态性检验方法主要包括直方图、正态概率图（Q-Q图）、K-S检验、Shapiro-Wilk检验等。
下面将逐一介绍这些方法的原理和应用。
直方图是最直观的正态性检验方法之一。
它将数据按照一定的区间进行分组，并绘制成柱状图。
如果数据呈现出类似钟形曲线的分布，那么就可以初步判断数据服从正态分布。
但直方图只能提供直观的感受，对于正态性的检验并不够准确。
正态概率图（Q-Q图）是一种更为准确的正态性检验方法。
它通过比较样本数据和理论正态分布的分位数来判断数据是否符合正态分布。
如果数据点在一条直线附近分布，并且与45度直线吻合度较高，则可以认为数据服从正态分布。
K-S检验（Kolmogorov-Smirnov test）是一种常用的非参数检验方法，用于检验样本数据是否来自于某一特定分布，包括正态分布。
K-S检验通过计算累积分布函数的差距来判断两个分布之间的差异，从而判断样本数据是否符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验是一种较为严格的正态性检验方法，特别适用于小样本数据。
它基于样本数据的排序值和样本均值的比较，通过计算统计量来检验数据是否符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验在小样本情况下的效果更为准确。
在实际应用中，我们可以根据数据的特点和样本量的大小选择合适的正态性检验方法。
如果数据呈现出明显的偏态或者峰态，那么可能不适合使用正态分布进行统计分析，需要考虑其他分布。
另外，对于大样本数据，即使数据略微偏离正态分布，也可能不会对统计推断产生显著影响。
因此，在进行正态性检验时，需要综合考虑数据的特点和实际需求。
总之，正态性检验是统计学中非常重要的一环，它可以帮助我们判断数据是否符合正态分布，选择合适的统计方法，进行准确的数据分析和推断。
正态分布课件ppt
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
（3）f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
x （－∞，μ] x （μ，+∞）
正态分布密度函数
当μ= 0，σ=1时 标准正态分布密度函数
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
标准正态曲线
例1、下列函数是正态分布密度函数的是（ B）
A.
f (x)
X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分数在
下列哪个区间内？（A ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 (m 3s , m 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
例3、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
1
(xm )2
e 2s 2 , m,s (s 0)都是实数
2s
2 x2
B. f (x)
e2
2
1
( x1)2
C. f (x)
e4
2 2
D.
f (x)
1
x2
e2
2
练习：
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出随机变量的期望和方差。
y
八大分布函数表
八大分布函数表分布函数是一种统计技术，它可以用来确定一组数据中每个取值的概率分布。
它是一个有效的方法，用来描述不同实体的不同性质，以及这些实体之间的关系。
分布函数可以用来表示分布，它是一种函数，它可以应用到各种类型的数据，如分类数据、连续数据和离散数据。
它可以用来识别数据集中取值的特点。
分布函数还可以用来确定不同变量之间的因果关系。
八大分布函数八大分布函数是一种重要的概率分布，它们为直方图、指数分布、正态分布、对数正态分布、均匀分布、柯西分布、指数分布和 Beta 布等统计属性提供基础概念。
1、直方图。
它是一种离散型数据类型，采用条形图来表示数据分布情况，以确定各变量可能的取值。
这种方法可以帮助研究者更得到更好的理解数据的变化趋势。
2、指数分布。
它是一种离散型分布，可应用于描述不同实体之间的分布变化情况。
指数分布是在描述特定实体的概率分布时实用的工具，可使研究者更直接地理解模型并测试变量之间的因果关系。
3、正态分布。
它是一种连续型分布，可应用于绝大多数变量，使变量之间的关联更加明显，从而有助于控制影响数据分布的普遍因素。
4、对数正态分布。
它是一种可以用来描述变量之间相互关联性的连续特性。
它是一种使用对数函数来描述正态分布的方法，它可以有效地捕捉变量之间的关联，帮助研究者更好地理解变量之间的联系。
5、均匀分布。
它是一种连续的概率分布，可用来描述给定变量的连续分布情况。
均匀分布可以有效地捕获连续变量之间的关系，从而帮助研究者更有效地分析数据。
6、柯西分布。
它是一种可以用来描述变量间的关系的连续概率分布，可以用来推断变量之间的关联性，帮助研究者识别影响变量分布的普遍因素。
7、指数分布。
它是一种可以将不同实体之间的可能性以指数方式表达的分布，其特点是指数类型的分布，可以帮助研究者更深入地理解变量的关系。
8、beta分布。
它是一种连续型概率分布，可以用来描述不同变量之间的关系，帮助研究者确定变量之间的因果关系。
有关正态分布的解释
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α参考值范围：P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α参考值范围：> P100 或< P1001
例题参见教科书。
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正
态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
图一：
图二： 图三：
图四：
✓ 当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
正态分布的特征及其面积规律
➢ 正态分
布曲线
max
位于横
轴上方，
呈钟形。
➢ 正态分 布曲线 f(x) 以均数 所在处 最高， 且以均 数为中 心左右
对称。
0
µ
➢ 正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
正态分布
3、正态曲线的性质
ϕµ,σ ( x) =
y µ= -1 σ=0.5
1
2πσ y
e
−
( x − µ )2 2σ 2
, x ∈ (−∞, +∞)
y µ=1
µ=0 σ=1 σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
轴的上方， 轴不相交. （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 曲线在 轴的上方 轴不相交 它关于直线x=µ对称 对称. （2）曲线是单峰的 它关于直线 ）曲线是单峰的,它关于直线 对称 处达到峰值(最高点 （3）曲线在 ）曲线在x=µ处达到峰值 最高点 处达到峰值 最高点) 轴之间的面积为1 （4）曲线与 轴之间的面积为 ）曲线与x轴之间的面积为
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为µ和σ的正态分布， 记为：X～N（µ,σ2）。 函数方程中µ为位置参数，σ为形状参数。 在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若µ变大 时，曲线位置向右移；若µ变小时，曲线位置向左 移。 在µ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
选修2-3 高二数学 选修
正态分布
引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 离散型随机变量最多取可列个不同值， 道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于 某一特定实数的概率可能大于0， 某一特定实数的概率可能大于 ，人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值， 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等 于任何一个实数的概率都为0， 于任何一个实数的概率都为 ，所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述， 分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数（曲线）描述。 分布规律用密度函数（曲线）描述。
正态分布
0.9544
.
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 、 求
选修2-3 高二数学 选修
2.4 正态分布
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
∫ ϕµ σ ( x)dx µ
,
特别地有 x=µ
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
µ+a
µ-a
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
D.
1 f ( x) = e 2π
x2 2
例2、标准正态总体的函数为 、
1 f ( x) = e 2π
x2 − 2
, x ∈ (−∞, +∞).
是偶函数； （1）证明 ）证明f(x)是偶函数； 是偶函数 的最大值； （2）求f(x)的最大值； ） 的最大值 的增减性。 （3）利用指数函数的性质说明 的增减性。 ）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性
直方图 CPK
在学习工作中总会有一些用到直方图、正态分布曲线图的地方，下面手把手教大家在Excel2007数据录入新建Excel文档，录入待分析数据（本例中将数据录入A列，则在后面引用中所有的数据记为A:A）；计算“最大值”、“最小值”、“极差”、“分组数”、“分组组距”，公式如图：分组“分组”就是确定直方图的横轴坐标起止范围和每个小组的起止位置。
选一个比最小值小的一个恰当的值作为第一个统计频率“频率”就是去统计每个分组中所包含的数据的个数。
最简单的方法就是直接在所有的数据中直接去统计，但当数据量很大的时候，这种方法不但费时一般来说有两种方法来统计每个小组的数据个数：1.采用“FREQUENCY”函数；2.采用“COUNT IF”让后再去相减这里介绍的是“FREQUENCY”函数方法：“Date_array”：是选取要统计的数据源，就是选择原始数据的范围；“Bins_array”：是选取直方图分组的数据源，就是选择分组数据的范围；生成“FREQUENCY”函数公式组，步骤如下：1. 先选中将要统计直方图每个子组中数据数量的区域2. 再按“F2”健，进入到“编辑”状态3. 再同时按住“Ctrl”和“Shift”两个键，再按“回车Enter”键，最后三键同时松开，大功告成！制作直方图选中统计好的直方图每个小组的分布个数的数据源（就是“频率”），用“柱形图”来完成直方图：选中频率列下所有数据（G1:G21),插入→柱形图→二维柱形图修整柱形图选中柱形图中的“柱子”→右键→设置数据系列格式：1、系列选项，分类间距设置为0%；2、边框颜色：实线，白色（你喜欢的就好）3、关闭“设置数据系列格式”窗口直方图大功造成！获取正态分布概念密度正态分布概率密度正态分布函数“NORMDIST”获取。
在这里是以分组边界值为“X”来计算：Mean=AVERAGE(A:A)(数据算术平均）Standard_dev=STDEV(A:A)(数据的标准方差）Cumulative=0(概率密度函数）向下填充在直方图中增加正态分布曲线图1、在直方图内右键→选择数据→添加→2、系列名称：选中H1单元格3、系列值：选中H2:H214、确定、确定修整图形1、在图表区柱形较下方选中正态分布曲线数据，（正态分布密度值和频率数值相比太小了，实在看不清，多试几2、右键→设置数据列格式→系列绘制在→次坐标轴；关闭，如图更改系列图表类型1、选中正态分布柱形图→右键→更改系列图表类型2、选中“拆线图”3、确定平滑正态分布图选中正态分布曲线→右键→设置数据列格式→线型→勾选“平滑线”→关闭大功告成！！！家在Excel2007中制作直方图和正态分布曲线图用中所有的数据记为A:A）；小值小的一个恰当的值作为第一个组的起始坐标，然后依次加上“分组组距”，直到最后一个数据值比“最大值”大为止。
工艺验证与常用数理统计方法
工艺验证与常用数理统计方法一、工艺验证的概念工艺验证是通过实验和测试，验证工艺过程是否能够满足产品质量要求的一系列活动。
其目的是为了验证工艺的可行性和稳定性，以确保产品在正常生产条件下能够稳定地满足质量要求。
工艺验证的步骤包括：确定验证目标和验证方法、制定验证计划、进行验证实验、分析验证结果、总结验证结论等。
在工艺验证过程中，为了分析验证结果和评估工艺稳定性，常会用到一些数理统计方法。
下面介绍几种常用的数理统计方法。
1.均值与标准差均值是一组数据平均值的统计量，可以用于评估工艺过程的中心趋势。
标准差则是一组数据离散程度的统计量，可以用于评估工艺过程的稳定性。
通过比较均值和标准差的大小，可以判断工艺过程的平均值和离散程度是否在允许范围内。
2.直方图与正态分布直方图是用来描述数据分布情况的一种图形表示方法。
通过绘制数据的频率分布图，可以直观地了解数据的分布情况。
如果数据呈现正态分布，即大部分数据集中在均值附近，呈钟形分布，则说明工艺过程稳定。
3.方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异是否显著的统计方法。
在工艺验证中，可以通过方差分析来判断不同因素对工艺过程的影响是否显著，以确定优化工艺的方向。
4.回归分析回归分析是一种用于建立自变量与因变量之间关系的数学模型的统计方法。
在工艺验证中，可以通过回归分析建立工艺参数与产品质量之间的关系模型，用于预测和优化工艺参数。
5.其他方法除了以上常用的统计方法外，还有许多其他的数理统计方法可以用于工艺验证。
比如t检验、方差齐性检验、相关分析等。
根据实际情况选择合适的统计方法，并结合工程经验和专业知识进行分析和判断。
三、工艺验证的实践案例下面以企业的工艺验证为例，介绍工艺验证与常用数理统计方法的应用。
企业生产其中一种电子产品的工艺过程，需要验证其良品率是否能够满足质量要求。
首先确定验证目标为良品率，验证方法为收集一定数量的样本进行检测。
然后制定验证计划，包括确定样本数量、抽样方法、检测标准等。
《直方图和正态分布》课件
# 直方图和正态分布 PPT课件
什么是直方图？
直方图的定义
直方图是一种统计图，用来 表示数据的频率分布。
直方图的构成要素
直方图包括横轴、纵轴、柱 形和柱状条。
直方图的绘制方法
绘制直方图需要先确定数据 的分组间距，然后统计每个 组内的频数或频率，最后绘 制柱形。
直方图的应用
如何选择使用直方图或正 态分布
根据数据的类型和分析目的，选 择合适的图形工具来展示数据特 征和分布情况。
金融风险评估中的应用
正态分布可用于评估金融资 产的风险，估算投资收益和 亏损的概率。
总结
直方图与正态分布的联系 与区别
直方图是一种图形，用于表示数 据的频率分布，而正态分布是一 种连续概率分布。
直方图与正态分布的应用 场景
直方图适用于描述数据的分布情 况，正态分布适用于分析连续型 数据的概率分布。
数据分析中的作用
市场调研中的应用
直方图可用于分析数据的分布情 况，帮助发现数据的特征和规律。
直方图可用于分析市场需求，了 解产品在不同目标群体间的受欢 迎程度。
教育评估中的应用
直方图可用于评估学生的学习成 绩分布，帮助制定教学改进策略。
正态分布的概念
1
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，呈钟形曲线，对称分布于均值周围。
2
正态分布的特点
正态分布的均值、中位数和众数相等，以均值为中心对称分布。
3
正态分布的性质
正态分布由均值和标准差唯一确定，68% 的数据落在均值的一个标准差范围内。
正态分布的应用
统计分析中的应用
正态分布可用于分析连续型 数据，如身高、体重等，计 算概率和置信区间。
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u
x
σ 相同而μ 不同的三个正态分布
μ相同而σ不同的三个正态分布
6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1， 即：
1 P ( x ) e 2 ( x )2 2 2
dx 1
二、标准正态分布
μ=0,σ2=1的正态分布称为标准正态分布(standard
normal distribution)。 随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)， u 称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。
（3）确定组数和组距；
组数的确定根据经验公式：
组数=1+3.3LogN（N为数据的个数），
组距=全距/组数；
样本容量与组数
样本容量 30—60 60—100 100—200 200—500 组 数
5 —8 8—10 10—12 12—18
500以上
18—30
（4）确定组限和组中值。各组的最大值和最小值称为组限， 每一组的中点值为组中值。 组中值 = （组下限+组上限）/2 在资料分组时为了避免第一组中的观测值过多，第一组的 组中值以接近或等于资料中的最小观测值为好。 为了恰好使等于前一组上限和后一组下限的数据能确切归 组，确定将其归入后一组，即约定“上限不在内”。 （5）归组、作次数分布表
2
其中，μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态 分布(normal distribution)， 记为x～N （ μ,σ2 ）
(二) 正态分布的特征
正态分布密度曲线
正态分布的重要特征：
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的“悬钟”形曲
线，
对称轴为x=μ；
2、概率分布密度函数f(x)在x=μ处达到极大。
第一节
直方图
直方图（又称方柱形图、矩形图，Histogam ） 对于计量资料，可根据其次数分布表绘出直
方图以表示资料的分布情况。
(产量，g/行) 140行水稻产量次数分布直方图
(产量，g/行) 140行水稻产量次数分布多边形图
直方图的绘制
步骤： （1）数据排序； （2）求全距，极差R=Max-Min；
第二节 正态分布
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的
概率分布。在生物科学研究中，有许多变量
是服从或近似服从正态分布的，如水稻产量、
小麦株高、玉米百粒重等。
一、正态分布的定义与主要特征
(一) 正态分布的定义
若连续型随机变量x的概率分布密度函数为
f ( x)
1
2
e
( x ) 2 2
3、概率分布密度函数f(x)是非负函数，以x轴为渐近
线，分布从-∞至+∞； 4、分布密度曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线 在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间内是下凸的，在[μσ,μ+σ]区间内是上凸的；
5、正态分布有两个参数，平均数μ和标准差σ。μ 是位置参数。 当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x轴 愈向右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移 动。σ是变异度参数。当μ恒定时，σ愈大，表示x 的取值愈分散， 曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值 愈集中在μ附近，曲线愈“瘦”。