轮胎胶料有限元分析的实验基础及计算
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2
持原始尺寸, 因此, K 2 = 1 , 代入方程 ( 3) 得:
2 (K K 3#1) = 1
故 ( 17) 即
K 3= K 2 K 3 = K
1 2
等式的左边是缩减应力项 , 根据方程( 1 ) 得:
2 - 1 - 1 I 1- 3 = K + K + K - 3
变形区工程应力 R1 = R( 测定值 ) , 厚度 方向 R3 = 0; R2 X 0, 它由刚硬的夹头支撑。 由于 t= R K 因此 t 1 = R1 K 1= R K ; t 3 = R3 K 3= 0 将上式代入方程( 10) 得 RK - 0 5W 25W + K ) 2 2 - 2 = 2( 5I 1 5I 2 K - K 将方程( 13) 、 ( 14) 代入方程( 18) 得 : R 2 - 3 = 2 C 10 + 4 C 20 ( I 1 - 3 ) + 6 C 30 ( I 1 - 3) K - K ( 19 ) 等式的左边是缩减应力项 , 根据方程( 1 ) 得:
j k
提出应变能函数 ( W ) 的表达式 W = W ( I 1, I 2, I 3)
为应变量的多项式 Green 变形张量的应变量被 Rivlin 定义为:
2 2 2 I 1= K 1 + K 2 + K 3 2 2 2 I 2= ( K 1K 2) + ( K 2K 3) + ( K 3K 1)
ij k = n
i
( 4)
的情况并非如此。 Rivlin 方程的二次方程( 取前 5 项) 为: W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) + C 11 ( I 1 - 3) ( I 2- 3) + C 20 ( I 1 - 3) 2 + C 02 ( I 2 - 3 ) 2 ( 7) 在中等应变时 , 这种高次方程改善了拟 合性 , 因为它提供的模式在应力 - 应变曲线上 只有 1 个拐点。 Rivlin 方程的三次方程( 取前 9 项) 为: W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) + C 11 ( I 1 - 3) ( I 2- 3) + C 20 ( I 1 - 3) 2 +
于 80% 时( 子午线轮胎的通常工作条件 ) 最 为接近。 在实际应用中 , 可以用单轴拉伸测试数 据来预测单轴压缩和平面拉伸 ( 纯剪切 ) 的实 验数据, 特别当应变低于 80% 时, 预测值更 接近实际测定值[ 3 ] 。 2 非线性有限元分析的 5 种基本实验设计 21 1 单轴拉伸 ( 1) 试样准备。按胶料代号在轮胎中的 等效硫化时间硫化 , 每种胶料做 2 批, 每批 硫化 2 片。按 AST M C 形哑铃状试样裁切。 ( 2) 仪器。采用孟山都 T 2000 型材料试 验机。 ( 3) 夹具。孟山都标准哑铃状试样气动 夹具。 ( 20) ( 4) 测试条件。测试室温为 ( 23 ? 2) e ; 拉伸 速 度 为 5 mm # min ; 伸 长 率 分别 为 10% , 20% , 30% , 40% , 50% , 60% , 70% , 80% , 90% , 100% , 110% ,,230% 。 21 2 单轴压缩 ( 1) 试样制备。按胶料代号在轮胎中的 ( 291 0 ? 01 5) mm; 高 度 ( 121 5 ?
第 12 期
王登祥 1 轮胎胶料有限元分析的实验基础 及计算
721
轮胎胶料有限元分析的实验基础及计算
王登祥
[ 上海轮胎橡胶 ( 集团 ) 股份有限公司大中华橡胶厂 摘要 200030]
从弹性力学理论的 R ivlin 应变能函数出发 , 引出对 炭黑填充胶料 弹性力学 性能进行 描述的
Y eoh 三次方程 , 以此为基础对单轴拉伸、 单轴压缩、 平面拉伸和等双轴拉伸的实验设计进行 数学推导和 讨论 , 并对非线性有限元分析的 5 种基本实验进行了描述。列举了轮胎胶料泊松比的测定和计算 , 并对 复合材料性能进行数据计算。 关键词 轮胎 , 有限元分析, 应变能函数 , 缩减应力 , 泊松比 , 单轴拉伸
在方程 ( 12 ) 中, 以 W 对 I 1 和 I 2 分别偏
第 12 期
王登祥 1 轮胎胶料有限元分析的实验基础 及计算
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图1
非线性有限元分析的 5 种基本实验
将方程( 13 ) 、 ( 14) 代入方程( 16) 得 : R - 2 = 2 C 10 + 4 C 20 ( I 1 - 3) + K - K 6 C 30 ( I 1 - 3)
2
- 1
可由此算出。 11 41 2 平面拉伸( 纯剪切 ) 如图 1( e) 所示, 方向 1 为拉伸方向。假 定材料是不可压缩的 , 根据方程( 3 ) 得: 2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1 对于中 等程 度的 伸 长率 , K 1 = K( 测定 值) , 由于平面拉伸 , 其宽度方向 ( 方向 2 ) 保
722
轮
胎
工
业
19Baidu Nhomakorabea8 年第 18 卷
C 02 ( I 2 - 3) 2 + C 12 ( I 1 - 3 ) ( I 2 3) + C 21 ( I 1 - 3 ) ( I 2 - 3 ) + C 30 ( I 1 - 3 ) + C 03 ( I 2 - 3)
3 3 2 2
微分则得 5W = C 10 + 2 C 20 ( I 1 - 3) + 5I1 3 C 30 ( I 1 - 3 ) 2 5W = 0 5I2 ( 13 ) ( 14 )
( 18 )
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轮
胎
工
业
1998 年第 18 卷
11 41 3 等双轴拉伸 如图 1( c) 所示, 试样为方形, 四边匀速 拉伸 , 方向 1 和方 向 2 为 拉伸 方 向 ( X , Y 轴) , 假定材料是不 可压缩的, 根 据方程 ( 3) 得:
2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1
2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1
( 9) ( 10) ( 11)
5W 5W 和 分别为应变能 W 对 I 1 5I 1 5I 2 和 I 2 的偏微分。 K为主方向上的伸长率 , 下 角标 1, 2 和 3 分别代表 X , Y , Z 轴方向。 t 为真实应力 ( 与变形后尺寸有关的应力) , 难 以测到。 R 为工程应力 ( 与初始尺寸有关的 应力 ) , 也叫实测应力 , t = RK 。 方程 ( 9) ~ ( 11 ) 等式的左侧叫缩减应力 项。根据这些方程, 可以简单地测出单轴拉 伸、 单轴压缩和平面拉伸等简单变形的应力应变关系。 11 3 三次方程 Yeoh [ 2 ] 提出一种三次方程, 采用不变量
( I 1 - 3) 作为应变能 W 的函数 , 能够很好地 对炭黑填充胶料的弹性力学性能进行描述。 这个三次方程可以看作 Rivlin 三次方程的简 化, 如下式 : W = C 10( I 1 - 3) + C 20 ( I 1 - 3 ) 2 + C 30( I 1 - 3)
3
( 12)
( 16 )
( 15 )
因材料只有单方 向拉伸, 故 K 2= K 3, 而 对于中等程度伸长率 , K 1= K ( 测定值 ) , 代入 方程 ( 15) 得:
2 2 (K K 3 ) = 1
则
2 2 K 3 = K 2 = K
1
变形区的工程应力 R1 = R( 实 测值) , R2 = R3 = 0 ( 因单 轴拉 伸, 另外 2 个方向 不受 力) 。 因 故 而 代入方程 ( 9) 得 : t= R K t 1= t = R K t 2= t 3= 0 RK - 0 5W 25W + K 3 ) 2 - 1 = 2( 5 I 1 5I 2 K- K
1 11 1
轮胎胶料非线性有限元分析实验设计的 理论依据 弹性力学理论 Rivlin
[ 1]
W = ij 6 C ij ( I 1 - 3) i ( I 2 - 3) j = 0 时) 应变能为零。
ij = n
( 5)
其中 C 00 等于零, 表示在开始阶段 ( 无拉伸 方程 ( 5) 的展开式有许多项, 而在实际应 用中, 只 截 取 一 定 的 项 数。 取 第 1 项, 被 Riv lin 称为 neo -Hookean 方程[ 1] , 则 W = C 10 ( I 1 - 3) , W 和 I 1 呈线性关系。 Mooney 早期的工作中取方程 ( 5 ) 的前 2 项( 成为一次方程) 叫 Mooney - Rivlin 方程 W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) ( 6) 方程 ( 6) 提出了简单的应力 - 应变关系曲 线, 这是一种广泛采用的模式。但是方程( 6 ) 是基 于 未 填 充 橡胶 材 料 的 数 据。 M ooney Riv lin 方程要求简单剪切应力- 应变的斜率 是线性的。但是 Yeoh [ 2 ] 指出 , 炭黑填充胶料
( 1) ( 2) ( 3)
I 3= ( K 1K 2K 3)
2
式中 K为伸长率, K = 1+ $ L / L 0 ; 而 L 0 为初 始长度 ; K的下角标 1, 2 和 3 分别代表互相 垂直的 3 个方向 , 即 X , Y , Z 轴。 Rivlin 提 出最通用的应 变能函数 ( 包括 有限的可压缩性 ) 如下: W = ij k6 C ij k ( I 1 - 3 ) ( I 2 - 3) ( I 3 - 1) = 0
2 - 2 2 - 2 I 1 - 3= K + 1+ K - 3= K + K - 2
= K+ 2K - 3 对于方程 ( 17 ) , 以 I 1 - 3 为 X 轴, 其值 可由伸长率算出 ; 以缩减应力为 Y 轴 , 其值
- 2 等于 R/ ( K - K ) , 常数项 C 10 , C 20 和 C 30 均
Yeoh 说 , 炭黑填充胶料的实验数据表明 5W 5W 远远 小 于 , 且 接 近于 零 ( 绝 不 等于 5I2 5I1 零) 。三次方程适于描述非线性材料的应力应变关系。 11 4 三次方程的实验设计基础 对于方程 ( 9) ~ ( 11) , 通过设计几种几何 形状不同 的试样 , 可方便 地进行力 学分析。 如单轴拉伸、 单轴压缩和平面拉伸 ( 纯剪切 ) 实验设计 , 使力总是作用在一个单一方向, 然 后测定在这个单一方向上的应力和应变。实 验设计的基础是设计一些容易数学处理的简 单的变形模式。非线性有限元分析的 5 种基 本实验见图 1。 11 41 1 单轴拉伸或单轴压缩 如图 1 ( a 和 b ) 所示, 方向 1 为拉伸 ( 或 压缩) 方向 , 假定材料是不可压缩的 , 根据方 程( 3 ) 得:
对于理想状态的不可压缩材料, 其体积 保持恒定 , 在试样变形时体积也不发生变化, 则 I 3= 1, 那么 Rivlin 的应变能函数减项为:
作者简介 王登祥 , 男 , 54 岁。高级 工程师 , 技术副 厂
长 , 5 合成橡胶工业6 和5 轮 胎工业6 杂志编委。 曾担任上 海 轮胎公司研究所美国阿克 隆分部 T 1R1 T1 R1 公司总经 理。 参加的子午线轮胎研究开发项目多次获得上海市科技进步 奖并 获得国家科技进 步三等奖 ; 获国 家专利 2 项。在 美国 / R ubber World0 杂 志发表论文 1 篇 , 国 内刊物发表论文 20 余篇 , 译文 18 篇 , 并出版专著 1 部。
( 8)
在高应变条件下 , 方程 ( 8 ) 的应力- 应变 曲线可能有 2 个拐点。 在高应变条件下, 高次方的 Rivlin 方程 可提供很好的拟合性, 但是将它用在低应变 或中等程度应变条件下就未必合适。至于究 竟采用哪种方程 , 要看产品在使用条件下的 变形程度。 11 2 力学分析 Rivlin[ 1] 证明 , 对于纯均匀的应变 , 在应 力、 应变和应变能之间存在下列关系: t 1- t 2 5 W + K2 5 W ) 3 2 2 = 2( 5I1 5I2 K 1 - K 2 t 1- t 3 5W 25W 2 2 2 = 2( 5I1+ K 5I2) K 1 - K 3 t 2- t 3 5W 25W + K ) 1 2 2 = 2( 5I1 5I2 K 2 - K 3 上式中
持原始尺寸, 因此, K 2 = 1 , 代入方程 ( 3) 得:
2 (K K 3#1) = 1
故 ( 17) 即
K 3= K 2 K 3 = K
1 2
等式的左边是缩减应力项 , 根据方程( 1 ) 得:
2 - 1 - 1 I 1- 3 = K + K + K - 3
变形区工程应力 R1 = R( 测定值 ) , 厚度 方向 R3 = 0; R2 X 0, 它由刚硬的夹头支撑。 由于 t= R K 因此 t 1 = R1 K 1= R K ; t 3 = R3 K 3= 0 将上式代入方程( 10) 得 RK - 0 5W 25W + K ) 2 2 - 2 = 2( 5I 1 5I 2 K - K 将方程( 13) 、 ( 14) 代入方程( 18) 得 : R 2 - 3 = 2 C 10 + 4 C 20 ( I 1 - 3 ) + 6 C 30 ( I 1 - 3) K - K ( 19 ) 等式的左边是缩减应力项 , 根据方程( 1 ) 得:
j k
提出应变能函数 ( W ) 的表达式 W = W ( I 1, I 2, I 3)
为应变量的多项式 Green 变形张量的应变量被 Rivlin 定义为:
2 2 2 I 1= K 1 + K 2 + K 3 2 2 2 I 2= ( K 1K 2) + ( K 2K 3) + ( K 3K 1)
ij k = n
i
( 4)
的情况并非如此。 Rivlin 方程的二次方程( 取前 5 项) 为: W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) + C 11 ( I 1 - 3) ( I 2- 3) + C 20 ( I 1 - 3) 2 + C 02 ( I 2 - 3 ) 2 ( 7) 在中等应变时 , 这种高次方程改善了拟 合性 , 因为它提供的模式在应力 - 应变曲线上 只有 1 个拐点。 Rivlin 方程的三次方程( 取前 9 项) 为: W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) + C 11 ( I 1 - 3) ( I 2- 3) + C 20 ( I 1 - 3) 2 +
于 80% 时( 子午线轮胎的通常工作条件 ) 最 为接近。 在实际应用中 , 可以用单轴拉伸测试数 据来预测单轴压缩和平面拉伸 ( 纯剪切 ) 的实 验数据, 特别当应变低于 80% 时, 预测值更 接近实际测定值[ 3 ] 。 2 非线性有限元分析的 5 种基本实验设计 21 1 单轴拉伸 ( 1) 试样准备。按胶料代号在轮胎中的 等效硫化时间硫化 , 每种胶料做 2 批, 每批 硫化 2 片。按 AST M C 形哑铃状试样裁切。 ( 2) 仪器。采用孟山都 T 2000 型材料试 验机。 ( 3) 夹具。孟山都标准哑铃状试样气动 夹具。 ( 20) ( 4) 测试条件。测试室温为 ( 23 ? 2) e ; 拉伸 速 度 为 5 mm # min ; 伸 长 率 分别 为 10% , 20% , 30% , 40% , 50% , 60% , 70% , 80% , 90% , 100% , 110% ,,230% 。 21 2 单轴压缩 ( 1) 试样制备。按胶料代号在轮胎中的 ( 291 0 ? 01 5) mm; 高 度 ( 121 5 ?
第 12 期
王登祥 1 轮胎胶料有限元分析的实验基础 及计算
721
轮胎胶料有限元分析的实验基础及计算
王登祥
[ 上海轮胎橡胶 ( 集团 ) 股份有限公司大中华橡胶厂 摘要 200030]
从弹性力学理论的 R ivlin 应变能函数出发 , 引出对 炭黑填充胶料 弹性力学 性能进行 描述的
Y eoh 三次方程 , 以此为基础对单轴拉伸、 单轴压缩、 平面拉伸和等双轴拉伸的实验设计进行 数学推导和 讨论 , 并对非线性有限元分析的 5 种基本实验进行了描述。列举了轮胎胶料泊松比的测定和计算 , 并对 复合材料性能进行数据计算。 关键词 轮胎 , 有限元分析, 应变能函数 , 缩减应力 , 泊松比 , 单轴拉伸
在方程 ( 12 ) 中, 以 W 对 I 1 和 I 2 分别偏
第 12 期
王登祥 1 轮胎胶料有限元分析的实验基础 及计算
723
图1
非线性有限元分析的 5 种基本实验
将方程( 13 ) 、 ( 14) 代入方程( 16) 得 : R - 2 = 2 C 10 + 4 C 20 ( I 1 - 3) + K - K 6 C 30 ( I 1 - 3)
2
- 1
可由此算出。 11 41 2 平面拉伸( 纯剪切 ) 如图 1( e) 所示, 方向 1 为拉伸方向。假 定材料是不可压缩的 , 根据方程( 3 ) 得: 2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1 对于中 等程 度的 伸 长率 , K 1 = K( 测定 值) , 由于平面拉伸 , 其宽度方向 ( 方向 2 ) 保
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轮
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19Baidu Nhomakorabea8 年第 18 卷
C 02 ( I 2 - 3) 2 + C 12 ( I 1 - 3 ) ( I 2 3) + C 21 ( I 1 - 3 ) ( I 2 - 3 ) + C 30 ( I 1 - 3 ) + C 03 ( I 2 - 3)
3 3 2 2
微分则得 5W = C 10 + 2 C 20 ( I 1 - 3) + 5I1 3 C 30 ( I 1 - 3 ) 2 5W = 0 5I2 ( 13 ) ( 14 )
( 18 )
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1998 年第 18 卷
11 41 3 等双轴拉伸 如图 1( c) 所示, 试样为方形, 四边匀速 拉伸 , 方向 1 和方 向 2 为 拉伸 方 向 ( X , Y 轴) , 假定材料是不 可压缩的, 根 据方程 ( 3) 得:
2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1
2 I 3= ( K 1K 2K 3) = 1
( 9) ( 10) ( 11)
5W 5W 和 分别为应变能 W 对 I 1 5I 1 5I 2 和 I 2 的偏微分。 K为主方向上的伸长率 , 下 角标 1, 2 和 3 分别代表 X , Y , Z 轴方向。 t 为真实应力 ( 与变形后尺寸有关的应力) , 难 以测到。 R 为工程应力 ( 与初始尺寸有关的 应力 ) , 也叫实测应力 , t = RK 。 方程 ( 9) ~ ( 11 ) 等式的左侧叫缩减应力 项。根据这些方程, 可以简单地测出单轴拉 伸、 单轴压缩和平面拉伸等简单变形的应力应变关系。 11 3 三次方程 Yeoh [ 2 ] 提出一种三次方程, 采用不变量
( I 1 - 3) 作为应变能 W 的函数 , 能够很好地 对炭黑填充胶料的弹性力学性能进行描述。 这个三次方程可以看作 Rivlin 三次方程的简 化, 如下式 : W = C 10( I 1 - 3) + C 20 ( I 1 - 3 ) 2 + C 30( I 1 - 3)
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( 12)
( 16 )
( 15 )
因材料只有单方 向拉伸, 故 K 2= K 3, 而 对于中等程度伸长率 , K 1= K ( 测定值 ) , 代入 方程 ( 15) 得:
2 2 (K K 3 ) = 1
则
2 2 K 3 = K 2 = K
1
变形区的工程应力 R1 = R( 实 测值) , R2 = R3 = 0 ( 因单 轴拉 伸, 另外 2 个方向 不受 力) 。 因 故 而 代入方程 ( 9) 得 : t= R K t 1= t = R K t 2= t 3= 0 RK - 0 5W 25W + K 3 ) 2 - 1 = 2( 5 I 1 5I 2 K- K
1 11 1
轮胎胶料非线性有限元分析实验设计的 理论依据 弹性力学理论 Rivlin
[ 1]
W = ij 6 C ij ( I 1 - 3) i ( I 2 - 3) j = 0 时) 应变能为零。
ij = n
( 5)
其中 C 00 等于零, 表示在开始阶段 ( 无拉伸 方程 ( 5) 的展开式有许多项, 而在实际应 用中, 只 截 取 一 定 的 项 数。 取 第 1 项, 被 Riv lin 称为 neo -Hookean 方程[ 1] , 则 W = C 10 ( I 1 - 3) , W 和 I 1 呈线性关系。 Mooney 早期的工作中取方程 ( 5 ) 的前 2 项( 成为一次方程) 叫 Mooney - Rivlin 方程 W = C 10 ( I 1 - 3) + C 01 ( I 2 - 3) ( 6) 方程 ( 6) 提出了简单的应力 - 应变关系曲 线, 这是一种广泛采用的模式。但是方程( 6 ) 是基 于 未 填 充 橡胶 材 料 的 数 据。 M ooney Riv lin 方程要求简单剪切应力- 应变的斜率 是线性的。但是 Yeoh [ 2 ] 指出 , 炭黑填充胶料
( 1) ( 2) ( 3)
I 3= ( K 1K 2K 3)
2
式中 K为伸长率, K = 1+ $ L / L 0 ; 而 L 0 为初 始长度 ; K的下角标 1, 2 和 3 分别代表互相 垂直的 3 个方向 , 即 X , Y , Z 轴。 Rivlin 提 出最通用的应 变能函数 ( 包括 有限的可压缩性 ) 如下: W = ij k6 C ij k ( I 1 - 3 ) ( I 2 - 3) ( I 3 - 1) = 0
2 - 2 2 - 2 I 1 - 3= K + 1+ K - 3= K + K - 2
= K+ 2K - 3 对于方程 ( 17 ) , 以 I 1 - 3 为 X 轴, 其值 可由伸长率算出 ; 以缩减应力为 Y 轴 , 其值
- 2 等于 R/ ( K - K ) , 常数项 C 10 , C 20 和 C 30 均
Yeoh 说 , 炭黑填充胶料的实验数据表明 5W 5W 远远 小 于 , 且 接 近于 零 ( 绝 不 等于 5I2 5I1 零) 。三次方程适于描述非线性材料的应力应变关系。 11 4 三次方程的实验设计基础 对于方程 ( 9) ~ ( 11) , 通过设计几种几何 形状不同 的试样 , 可方便 地进行力 学分析。 如单轴拉伸、 单轴压缩和平面拉伸 ( 纯剪切 ) 实验设计 , 使力总是作用在一个单一方向, 然 后测定在这个单一方向上的应力和应变。实 验设计的基础是设计一些容易数学处理的简 单的变形模式。非线性有限元分析的 5 种基 本实验见图 1。 11 41 1 单轴拉伸或单轴压缩 如图 1 ( a 和 b ) 所示, 方向 1 为拉伸 ( 或 压缩) 方向 , 假定材料是不可压缩的 , 根据方 程( 3 ) 得:
对于理想状态的不可压缩材料, 其体积 保持恒定 , 在试样变形时体积也不发生变化, 则 I 3= 1, 那么 Rivlin 的应变能函数减项为:
作者简介 王登祥 , 男 , 54 岁。高级 工程师 , 技术副 厂
长 , 5 合成橡胶工业6 和5 轮 胎工业6 杂志编委。 曾担任上 海 轮胎公司研究所美国阿克 隆分部 T 1R1 T1 R1 公司总经 理。 参加的子午线轮胎研究开发项目多次获得上海市科技进步 奖并 获得国家科技进 步三等奖 ; 获国 家专利 2 项。在 美国 / R ubber World0 杂 志发表论文 1 篇 , 国 内刊物发表论文 20 余篇 , 译文 18 篇 , 并出版专著 1 部。
( 8)
在高应变条件下 , 方程 ( 8 ) 的应力- 应变 曲线可能有 2 个拐点。 在高应变条件下, 高次方的 Rivlin 方程 可提供很好的拟合性, 但是将它用在低应变 或中等程度应变条件下就未必合适。至于究 竟采用哪种方程 , 要看产品在使用条件下的 变形程度。 11 2 力学分析 Rivlin[ 1] 证明 , 对于纯均匀的应变 , 在应 力、 应变和应变能之间存在下列关系: t 1- t 2 5 W + K2 5 W ) 3 2 2 = 2( 5I1 5I2 K 1 - K 2 t 1- t 3 5W 25W 2 2 2 = 2( 5I1+ K 5I2) K 1 - K 3 t 2- t 3 5W 25W + K ) 1 2 2 = 2( 5I1 5I2 K 2 - K 3 上式中