2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2

第2课时函数奇偶性的应用

4．若函数f (x )＝ax 2

＋(2＋a )x ＋1是偶函数，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)

5．f (x )是定义在R 上的奇函数且单调递减，若f (2－a )＋f (4－a )<0，则a 的取值范围是( )

A ．a <1

B ．a <3

C ．a >1

D ．a >3

6．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )

A ．f (－π)＞f (3)＞f (－2)

B ．f (－π)＞f (－2)＞f (3)

C ．f (3)＞f (－2)＞f (－π)

D ．f (3)＞f (－π)＞f (－2) 二、填空题

7．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )＜0的解集用区间表示为________．

8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则x ·f (x )<0的解集为________．

9．(探究题)已知函数f (x )＝px 2＋2q －3x 是奇函数，且f (2)＝－5

3

，则函数f (x )的解析式f (x )

＝________.

三、解答题

10．(易错题)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f (1－a 2

)＋f (1－a )<0，求实数a 的取值范围．

学科素养升级练

1．(多选题)已知函数f (x )＝x 2

－2x －3，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小值为－4

B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增

C ．函数f (|x |)为偶函数

D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)

3．(学科素养－数学抽象)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f a ＋f b

a ＋b

>0.

(1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；

(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．

第2课时 函数奇偶性的应用

必备知识基础练

1．解析：设x <0，则－x >0.

∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． 答案：B

2．解析：当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1， 又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1. 答案：－x ＋1

3．解析：∵f (x )为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，

∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f (－2)>f (2)，故选C.

答案：C

4．解析：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)

⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13

答案：A

5．解析：因为奇函数f (x )在[2,5]上有最小值6，所以可设a ∈[2,5]，有f (a )＝6.由奇函数的性质，f (x )在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f (－a )＝－f (a )＝－6.

答案：C

6．解析：∵f (2)＝0，f (x －1)＞0，∴f (x －1)＞f (2)． 又∵f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (|x －1|)＞f (2)，

∴|x －1|＜2，∴－2＜x －1＜2，∴－1＜x ＜3， ∴x ∈(－1,3)． 答案：(－1,3)

关键能力综合练

1．解析：A 中函数不具有奇偶性；B 中函数在定义域内为减函数；C 中函数在定义域内不具有单调性．故选D.

答案：D

2．解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )·f (－x )＝－f 2

(x )≤0. 答案：C

3．解析：由x ≥0时，f (x )＝x 2

－2x ， f (x )是定义在R 上的奇函数得，

当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2

＋2x )＝x (－x －2)．

∴f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x x －2，x ≥0，x －x －2，x <0，即f (x )＝x (|x |－2)．

答案：D

4．解析：因为函数为偶函数，所以a ＋2＝0，a ＝－2，即该函数f (x )＝－2x 2

＋1，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递增．

答案：A

5．解析：∵f (x )在R 上为奇函数，

∴f (2－a )＋f (4－a )<0转化为f (2－a )<－f (4－a )＝f (a －4)． 又f (x )在R 上单调递减， ∴2－a >a －4，得a <3. 答案：B

6．解析：∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，

又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，

∴f (π)＞f (3)＞f (2)，即f (－π)＞f (3)＞f (－2)． 答案：A

7．解析：由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )＜0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )＜0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．

答案：[－6，－3)∪(0,3) 8.

解析：由题意可画出函数f (x )的草图．当x >0时，f (x )<0，所以x >3；当x <0时，f (x )>0，所以x <－3.综上x >3或x <－3.

答案：{x |x <－3或x >3}

9．解析：f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，q 3∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫q 3，＋∞，若f (x )是奇函数，则q

3＝0，得q ＝0.

故f (x )＝px 2＋2－3x ，又f (2)＝－53，得p ×4＋2－6＝－53，得p ＝2，因此f (x )＝2x 2＋2－3x ＝－2x 2

＋2

3x

.

答案：－2x 2

＋2

3x

10．解析：由f (1－a 2

)＋f (1－a )<0，

得f (1－a 2

)<－f (1－a )．

∵y ＝f (x )在[－1,1]上是奇函数，

∴－f (1－a )＝f (a －1)，∴f (1－a 2

)