椭圆定义的应用

x
x2 y2 【例5】已知椭圆 P (1,1), F ( 2,0) ， 1 ， M点 9 5
在椭圆上，求| MP | | MF | 的最小值.
解：Байду номын сангаас图所示，设左焦点为 F1
y
P
M
| MP | | MF || MP | 2a | PF1 | 6 | MP | | MF1 | 6 (| MF1 | | MP |)
F1
0
F
x
| MF1 | | MP |最大值为 | PF1 | 当 M , P , F1三点共线时， 6 (| MF1 | | MP |)最小，即 | MP | | MF |最小， 此时，
最小值为 6 | PF1 | 6 10. | MP | | MF | 最小值为 6 10.
y
P
x
0 F2 F1 设 | F1F2 | 2c ，则 2c 4c | PF2 | , | PF1 | 3 3 6c 2a. 由椭圆定义可知 | PF1 | | PF2 | 2a ，即
c 2 3 3 . a 6 3
3
【例3】已知圆 C : ( x 2)2 y 2 25, F (2,0), P 为
圆 C 上 一点， PF的垂直平分线交PC 于 M ，求
M 的轨迹方程.
解：如图所示， 连 MF ，则 | MF || MP | 故 | MF | | MC || MP | | MC | | CP | 5 | CF | 4 由椭圆定义知 M为以 C , F为焦点的椭圆 5 9 2 2 2 且 c 2, a ，得 b a c 2 x2 4 y2 1 所以，点 M的轨迹方程为 ： 25 9
椭圆定义的应用
L/O/G/O
【教学目标】让学生掌握椭圆的定义，会
用椭圆定义解决三角形周长、面积等问题。
【重点】对椭圆定义进一步理解和巩固，
用椭圆定义求有关周长、面积等问题。
【难点】对椭圆定义的理解，并能用定义 求最值。
复习回顾
1、椭圆的定义： 我们把平面内到两个定点 F1 , F2 的距离 之和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的集合叫做椭圆。
(| MF1 | | MF2 |)2 2 | MF1 || MF2 | (1 cos ) 4a 2 4c 2 2b 2 | MF1 || MF2 | 2(1 cos ) 1 cos 1 b2 2 S F1 MF2 | MF1 || MF2 | sin sin b tan . 2 1 cos 2
y x 1 __15 ______. 5
2 2 x y （2）已知方程 1 表示椭圆，则 k 的取 3 k 2k
1 1 值范围为________. 3, U ,2 2 2
2 2 x y （3）已知椭圆 1 ，一点 P 到其中一 25 16
x2 y2 2、椭圆的标准方程： 2 2 1(a b 0) a b y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2 2 2 c a b a , b , c 3、 满足关系式：
4、焦点位置如何判断： 哪个分母大在哪个坐标轴上
5、巩固练习： （1）过点 A( 2, 3 ) 和点 B(1,2 3 ) 的椭圆标准方程为 2 2
直线与椭圆交于A, B， 的周长 . F 1 ( 3,0)，求 ABF 1 y 解：如图所示， A
ABF 1 的周长为：
AB BF1 AF1
椭圆定义的应用.ppt
F1
0
F2
AF2 BF2 BF1 AF1 AF1 AF2 BF1 BF2 10 10 20.
1 2
F1
0
F2
x
| F1 F2 |2 | MF1 |2 | MF2 |2 2 | MF1 || MF2 | cos 60 (| MF1 | | MF2 |)2 2 | MF1 || MF2 | | MF1 || MF2 | 64 即 36 100 3 | MF1 || MF2 |,| MF1 || MF2 | 3 1 16 S F1 MF 2 | MF1 || MF2 | sin60 3. 2 3
小结：周长为 4a .
B
x
x2 y2 【例2】椭圆 2 2 1(a b 0) 的左右焦点为F1 ， a b F2 ，过 F1 作倾斜角为 30 的直线 l 与椭圆的一个
交点为 P ，且 PF2 x 轴，求 e .
解：如图所示， PF1F2 30 , PF2 x 轴
4 4
y
M
C
P
0 F
x
能力提升
x2 y2 【例4】已知椭圆 1 ，点 M 在椭圆上， 25 16 y 且F1 MF2 60 ，求 SF1 MF2 . M
F1 MF2 60 解：如图所示， | F1F2 | 6, | MF1 | | MF2 | 10 在F MF 中，由余弦定理得
x2 y2 <变式训练>已知椭圆方程 2 2 1 ，点 M 在 a b 椭圆上，且 F1 MF2 ，求 SMF1F2 . y 解：如图所示， M F1 MF2 , | F1 F2 | 2c, | MF1 | | MF2 | 2a, 0 F2 F1 在MF F 中，由余弦定理得 1 2 | F1 F2 |2 | MF1 |2 | MF2 |2 2 | MF1 || MF2 | cos
个焦点的距离为3，点 P 到另一焦点的距离为 ______.
7
新课讲述
椭圆中： F1 , F2 为其左右焦点， P 在椭圆上， 则 | PF1 | | PF2 | 2a （其中 a 为长半轴长）. 本节课，我们将共同学习并探究其应用.
基础过关
x2 y2 【例1】已知椭圆 1，点F2 (3,0)，过 F2的 25 16