2 典型例题

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2 典型例题

2 典型例题

[ 例 1-1] 画出一个调幅广播发射机组成原理框图及各点对应波形,并说明各框

的功能作用。

解调幅广播发射机组成原理框图及各点对应波形如图 1-5 所示。图中各框功能

如下:

图 1-5 例 1-1 图

图中高频振荡器的作用是产生高频电振荡信号,这种高频电波是用来运载声音信号的,我们就把它叫做载波。它的频率称为载频。倍频器的作用是提高高频振荡频率,高频振荡器所产生的电振荡的频率不一定恰好等于所需要的载波频率,一般低于载波频率若干分之一,这主要是为了保证振荡器的频率稳定度,所以需要

用倍频器把频率提高到所需要的数值。

高频放大器的作用即把振荡器产生的高频振荡放大到一定的强度。

调制的作用与方法:调制就是把图像或声音信息装载到载波上的过程。

将信息“装载”到高频振荡中的方法有好几种:有调频、调幅、调相等,电视中图象是调幅,伴音是调频。广播电台中常用的方法是调幅与调频。

调制后高频振荡的振幅可以写成V 0 (1 + m cos W t ) ,相应的高频电振荡叫

做“调幅波”,它的表示式为:

v ( t ) = V 0 (1 + m cos W t ) cos ( w 0 t + j 0 )

m 是一个小于 1的常数,叫做“调幅系数”,它应该和音频信号的V W 成正比,调幅信号才没有失真。

把声音信号对高频载波进行调幅以后,利用实际上可以做得到的,尺寸较小的天线,就可以把它从空中辐射出去,传送给远方的听众。这就是无线电广播发射信

号的基本过程。

〔例 1-2 〕在无线通信中为什么要采用“调制”与“解调”,各自的作用是什

么?

解:调制就是把图像或声音信息装载到载波上的过程。而解调则是调制的逆过程,即从已调制的高频振荡中取出原调制信号。调制的原因有两点: (1) 为了切实可行的天线。无线通信是利用天线向空中辐射电磁波来传送信息,而天线长度必须和电磁波的波长可以比拟,才能有效地把电振荡辐射出去。而声音信号的频率约为 20 至 20 千赫,即其波长范围是15 ′ 10 3 至15 ′ 10 6 米,要制造出与此尺寸相当的天线显然是很困难的。因此直接将音频信号辐射到空中去

是不可能的。

(2) 为了区分不同的电台信号。因为各种声音信号频率都在 20 赫— 20 千赫,如果不调制则它们在空中混在一起,收听者也无法选择所要接收的信号。因此,有必要将不同的信息调制到不同的高频载波上去。

〔例 1-3 〕画出一个超外差调幅广播接收机组成原理框图及各点对应波形,并

说明各框的功能作用。

解:超外差调幅广播接收机组成原理框图及各点对应波形如图 1-6 所示。

图 1-6 〔例 1-3 〕图

超外差接收机的主要特点:把被接收的高频调幅信号的载波频率f c 先变为频率固定不变的中频f i ,再利用中频放大器加以放大,然后进行检波。由于中频是固定的,因此中频放大器的选择性与增益都与接收的载波频率无关。

把高频信号的载波降低为中频的任务是由混频器来完成的。把一个载频f c 的调幅波和一个频率为f L 的正弦波同时加到混频器上,经过变频以后所得到的仍是一个调幅波,不过它的“载波”频率已经不是原来的的载频f c ,而是这两个频率之差,即等于 ( f L –f c ) 。通常这个新的“载波”频率比原来的载频低,但比音频信号的频率高,习惯上就把它叫做中频,变频后产生的新的调幅信号叫做中频信号,通过中频放大器可将其进行放大。由于变频后的“载波”频率是固定的,所以中频放大器的谐振回路不需要随时调整,不管信号频率怎么变,中频总是不变的,选择性容易做好,这也是超外差接收机的优点。为了从己调幅信号中取出其载有信息的包络则采用了检波电路。

1.3.1 自测试题

1-1 调幅接收机里为什么要“检波”?检波前、后的波形有什么变化?请粗略画

出检波前后的波形。

1-2 超外差式接收机里“混频”的作用是什么?如果接收信号的频率是 2100

兆赫,希望把它变成 70 兆赫的中频,该怎么办?画出方框图并标明有关频率。

1-3 某非线性器件可用幂级数表示为i = a 0 + a 1 v + a 2 v 2 + a 3 v 3 ,

信号v 是频率 150kHz 和 200kHz 两个余弦波,问电流i 中能否出现 50kHz ,

100kHz , 250kHz , 300kHz , 350kHz 的频率分量?

1-4 接收机收到的信号v ( t ) = V (1 + m cos W t ) cos w c t ,本地振荡

器信号角频率为 w L ,经混频作用后输出信号还是不是调幅波,试画出混频前

后的波形,频带宽度与v ( t ) 相比是否发生变化?

1-5 ①中波广播波段的波长范围为 187 至 560 米,为避免邻台干扰,两个相

邻电台的载频至少要相差 10kHz 。问在此波段中最多能容纳多少电台同时广

播?

②短波广播的波长范围是 16.7 至 136.5 米,问最多能容纳多少个电台 ?

1-6 已知图 1-7(a) 中二极管的特性为i = K v 2 ,式中K 为常数,若输入电

压v 1 、v 2 为已知,试求输出电压v 0 的表达式。若图 1-7(b) 中二极管

的特性为,输入电压v 1 、v 2 为已知,试求输出电

压v 0 的表达式。

图 1-7 自测题 1-6 图

1-7 在什么情况下适宜用时变参量来分析非线性电路?

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自测试题解答

1-1 调幅是用基带信号来改变载波的振幅,在接收端为了恢复原基带信号即从已调制的高频振荡中取出原基带信号必须进行解调,调幅波的解调过程称为检

波。

图 1-8 自测题 1-1 解答图

1-2 “混频”的作用是将接收的巳调信号的载波频率变为一固定中频信号。如果接收信号的频率是 2100 兆赫,希望把它变成 70 兆赫的中频则需要加一个振荡频率为 2170 兆赫的本地振荡器。将接收信号和本地振荡信号同时加到某一非线性器件上,经过频率变换后再通过一个谐振频率为 70 兆赫的选频网络即可。其

实现框图如图 1-9 。

图 1-9 自测题 1-2 解答图

1-3 将( ,KHz

KHz) 代入

i = a 0 + a 1 v + a 2 v 2 + a 3 v 3

经过幂级数变换可得以下分量:

其中频率分量有:,KHz ,

KHz KHz

1-4 经混频作用后输出信号还是调幅波,与v ( t ) 相比其频带宽度并没有发

生变化。

混频前后的波形如图 1-10 所示:

图 1-10 自测题 1-4 解答图混频前后的波形

1-5 ①中波广播波段的频宽为 C/187-C/560=1071kHz ,其中电波传播的速度C=30 万公里 / 秒,因此该波段中最多能容纳 107 个电台同时广播。

②短波广播波段的频宽为 C/16.7-C/136.5=15.7MHz ,其中电波传播的速度

C=30 万公里 / 秒,因此该波段中最多能容纳 1577 个电台同时广播。

1-6

(1) 设i 1 为流过 D 1 的电流,设i 2 为流过 D 2 的电流,则

i 1 =k( v 1 + v 2 ) 2 =

i 2 =k( v 1 –v 2 ) 2 =

\

(2) i D1 = f ( v 1 , v 2 )

= b 0 + b 1 ( v 1 + v 2 )+ b 2 ( v 1 + v 2 ) 2 + b 3 ( v 1 + v 2 ) 3

i D2 = f ( v 1 , v 2 )

= b 0 + b 1 ( v 1 –v 2 )+ b 2 ( v 1 –v 2 ) 2 + b 3 ( v 1 –v 2 ) 3

i D3 = f ( v 1 , v 2 )

= b 0 + b 1 (–v 1 –v 2 )+ b 2 (–v 1 –v 2 ) 2 + b 3 (–v 1 –v

2 ) 3

i D4 = f ( v 1 , v 2 )

= b 0 + b 1 (–v 1 + v 2 )+ b 2 (–v 1 + v 2 ) 2 + b 3 (–v 1 + v 2 )

3

\ v 0 = R L ( i D1 + i D3 –i D2 –i D4 )

= R L [ b 1 ( v 1 + v 2 )+ b 1 (–v 1 –v 2 )

–b 1 ( v 1 –v 2 )–b 1 (–v 1 + v 2 )

+ b 2 ( v 1 + v 2 ) 2 + b 2 (–v 1 –v 2 ) 2

–b 2 ( v 1 –v 2 ) 2 –b 2 (–v 1 + v 2 ) 2

+ b 3 ( v 1 + v 2 ) 3 + b 3 (–v 1 –v 2 ) 3

–b 3 ( v 1 –v 2 ) 3 –b 3 (–v 1 + v 2 ) 3 ]

1-7 当两个信号同时作用于一个非线性器件,其中一个振幅很小,处于线性工作状态,另一个为大信号工作状态时,可以使这一非线性系统等效为线性时变系统。

这时可用时变参量来分析非线性电路

2.1.1 选频网络的作用与分类:

1. 选频网络的作用:选频网络的作用是选出我们需要的频率分量和滤除不需要

的频率分量。

2. 选频网络的分类:

选频网络可分为谐振回路和滤波器两大类。

(1) 谐振回路:由电感和电容元件组成的振荡回路,振荡回路包含单振荡回路和

耦合振荡回路,而单振荡回路又包含串联谐振回路和并联谐振回路。

(2) 滤波器包含: LC 集中滤波器、石英晶体滤波器、陶瓷滤波器和声表面波滤

波器等。

2.1.2 谐振频率与串、并联谐振回路:

1. 谐振频率:单振荡回路的阻抗在某一特定频率上有一最大值或最小值,这特

定的频率称为谐振频率。

2. 串、并联谐振回路:由电感、电容组成的单振荡回路在谐振频率和谐振频率

附近工作时,称为串、并联谐振回路。

3. 电感、电容、信号源三者串联,称之为串联谐振回路 ( 见图 2-1a)

4. 电感、电容、信号源三者并联,称之为并联谐振回路 ( 见图 2-1b)

图 2-1(a) 串联谐振回路图 2-1(b) 并联谐振回路

2.1.3 串、并联谐振回路的特点与参量如表 2.1 :

2.1.4 串、并联阻抗等效互换与回路抽头时的阻抗变换

1. 串、并联阻抗等效互换:

R 并≈ R 串Q L 2 ,x 并≈ x 串 (2-1)

串联电路转换等效并联电路后,电抗 x 并的性质与 x 串相同,在 Q L 较高的情况下,其电抗x 基本不变,而并联电路的电阻 R 并比串联电路的电阻 R

串大倍。

表 2.1

串联谐振回路并联谐振回路阻抗或导纳z = R + jx = R + j ( w L –

) =

谐振频率

品质因数Q

广义失谐系数

x :

谐振曲线:

通频带

B=

相频特性曲

线

失谐时阻抗特性w > w 0 ,x > 0 回路呈感性

w < w 0 ,x <0 回路呈容性w > w p ,B > 0 回路呈容性w < w p ,B <0 回路呈感性

谐振电阻最小最大有载Q 值

3. 耦合回路的调谐:

对于耦合谐振回路,凡是达到了初级等效电路的电抗为零,或次级等效电路的电抗为零或初级回路的电抗同时为零,都称为回路达到了谐振。调谐的方法可以是调节初级回路的电抗,调节次级回路的电抗及两回路间的耦合量。由于互感耦合使初、次级回路的参数互相影响(表现为反映阻抗)。所以耦合谐振回路的谐振现象比单谐振回路的谐振现象要复杂一些。根据调谐参数不同,可分为部分谐振、

复谐振、全谐振三种情况。

( 1 )部分谐振:如果固定次级回路参数及耦合量不变,调节初级回路的电抗使初级回路达到x 11 + x f1 = 0 。即回路本身的电抗 = –反射电抗,我们称初级回路达到部分谐振,这时初级回路的电抗与反射电抗互相抵消,初级回路的电流达到最大值。初级回路在部分谐振时所达到的电流最大值,仅是在所规定的调谐条件下达到的,即规定次级回路参数及耦合量不变的条件下所达到的电流

最大值,并非回路可能达到的最大电流。

( 2 )复谐振:

在部分谐振的条件下,再改变互感量,使反射电阻R f1 等于回路本身电阻R 11 ,即满足最大功率传输条件,使次级回路电流I 2 达到可能达到的最大值,称之为复谐振,这时初级电路不仅发生了谐振而且达到了匹配。反映电阻R f 1 将获得可能得到的最大功率,亦即次级回路将获得可能得到的最大功率,所以次

级电流也达到可能达到的最大值。

(2-18)

注意,在复谐振时初级等效回路及次级等效回路都对信号源频率谐振,但单就初级回路或次级回路来说,并不对信号源频率谐振。这时两个回路或者都处于感性

失谐,或者都处于容性失谐。

( 3 )全谐振:

调节初级回路的电抗及次级回路的电抗,使两个回路都单独的达到与信号源频率谐振,即x 11 = 0 ,x 22 = 0 ,这时称耦合回路达到全谐振。在全谐振条件下,两个回路的阻抗均呈电阻性。z 11 = R 11 ,z 22 = R 22 ,但R 11 1 R

f 1 ,R f 2 1 R 22 。

如果改变M ,使R 11 = R f 1 ,R 22 = R f 2 ,满足匹配条件,则称为最

佳全谐振。此时,

(2-19)

次级电流达到可能达到的最大值

可见,最佳全谐振时次级回路电流值与复谐振时相同。由于最佳全谐振既满足初级匹配条件,同时也满足次级匹配条件,所以最佳全谐振是复谐振的一个特例。

由最佳全谐振条件可得最佳全揩振时的互感为:

(2-20)

最佳全谐振时初、次级间的耦合称为临介耦合,与此相应的耦合系数称为临介耦合系数,以k c 表示。

(2-21)

Q 1 = Q 2 = Q 时(2-22)

4. 耦合因数:

耦合谐振回路两回路的耦合系数与临界耦合系数之比(2-23) 称为耦合因数,h 是表示耦合谐振回路耦合相对强弱的一个重要参量。

h < 1 称为弱耦合;h = 1 为临界耦合;h > 1 称为强耦合。

* 各种耦合电路都可定义k ,但是只能对双谐振回路才可定义h 。

5. 耦合回路的频率特性:

当初,次级回路w 01 = w 02 = w 0 ,Q 1 = Q 2 = Q 时,广义失调,可以证明次级回路电流比(2-24)

为广义失谐,h 为耦合因数, a 表示耦合回路的频率特性。

当回路谐振频率w = w 0 时,

h >1 称为强耦合,谐振曲线出现双峰,谷值a <1 ,在处,x 11 + x f 1 = 0, R f1 = R 11 回路达到匹配,相当于复谐振,谐振曲线呈最大值,a = 1 。频率特性曲线如图 2-7 所示。

6. 耦合回路的通频带:

当,Q 1 = Q 2 = Q ,w 01 = w 02 = w 时可导出

(2-25)

若h = 1 时,(2-26)

一般采用h 稍大于 1 ,这时在通带内放大均匀,而在通带外衰减很大,为较理

想的幅频特性。

2-4 有一耦合回路如图 2-11 所示,已知f 01 = f 02 =1MHz ,特性阻抗 r 1 = r 2 =1K Ω, R 1 =R 2 =20 Ω , h =1 。试求:

1 )回路参数 L 1 、 L

2 、 C 1 、 C 2 和 M ;

2 )图中 a 、 b 两端的等效谐振阻抗 Z p ;

3 )初级回路的等效品质因数 Q 1 ;

4 )回路的通频带 BW ;

5) 如果调整 C 2 使 f 02 =950KHz (信号源频率仍为 1MHz )。求反射到初级

回路的串联阻抗。它呈感性还是容性?

分析:

本题主要考查的是耦合回路基本参数与特性的部分内容,在求解过程中要特别注意初级回路和次级回路之间的联系,特别是反射关系。

解: 1 )因 f 01 =f 02 , R 1 =R 2 ,,所以两回路参数相同,

即 L 1 =L 2 , C 1 =C 2 。

根据获得最佳全谐振的条件:得

2 )在全谐振条件下,Z p 为纯阻性,

3 )初级等效回路品质因数为,

4 )

通频带为:

5 )当 f 02 =950kHz 时,信号源频率仍为 1MHz ,此时次级回路对信号源频率

呈现感性,因而反射到初级回路的串联阻抗应呈容性。

2-12 自测试题 2-1 图

2-2 给定串联谐振回路的 f 0 =1.5MHz , C 0 =100pF ,谐振时电阻 R=5 Ω,试求 Q 0 和 L 0 。又若信号源电压振幅 V S =1mV ,求谐振时回路中的电流 I

0 及回路元件上的电压 V L0 和 V C0 。

2-3 把电感线圈 L 和电容 C 串接起来,如图 2-13(a) 所示。图中, R L 为电感线圈的等效串联电阻,表示线圈的损耗; R pc 为电容的等效并联电阻,表示

电容器的损耗。若给定线圈 L=585 μ H , Q L =100 ;电容 C p- =200pF ,等效并联电阻 R pc =300M Ω;工作频率f 0 =465kHz 。求其等效为图 2-13(b)

后的 C 和 R 。

图 2-13 自测试题 2-3 图

2-4 串联回路如图 2-14 所示。信号源频率 f 0 =1MHz ,电压振幅 V sm- =0.1V 。将 11 端短接,电容 C 调到 100pF 时谐振。此时,电容 C 两端的电压为 10V 。如 11 端开路再串接一阻抗 Z X ,则回路失谐, C 调到 200pF 时重新谐振,电容两端电压变为 2.5V 。试求线圈的电感量 L 、回路品质因数 Q 0 值以及未

知阻抗 Z X 。

图 2-14 自测试题 2-4 图

2-5 设并联谐振回路的 f 0 =1MHz 、 Q=100 ,输出电压落后信号源电流相位45 °,求此时信号频率 f 为多少?输出电压相对于谐振时衰减了多少分贝?

(提示:电流频率在谐振频率 f 0 附近,满足ω L>>R )。

2-6 并联谐振回路如图 2-15 所示。已知通频带 B 、电容 C ,若回路总电导为

G ,试证明:

若给定 C=10pF 、 B=6MHz 、 R p =20k Ω、 R g =6k Ω,求 R L = ?。

图 2-15 自测试题 2-6 图

2-7 图 2-16 为一电容抽头的并联振荡回路,谐振频率为 1MHz , C 1 =400pF ,C 2 =100pF 。求回路电感 L 。若 Q 0 =100 , R L =2k Ω,求回路有载 Q L

值。

2-8 如图 2-17 所示。已知 L=0.8 μ H , Q 0 =100 , C 1 =C 2 =20pF , C i =5pF , R i =10kΩ, C 0 =2pF , R 0 =5kΩ。试计算回路谐振频率、谐

振阻抗(不计 R 0 与 R i 时)、有载 Q L 值和通频带。

图 2-16 自测试题 2-7 图图 2-17 自测试题 2-8 图

2-9 有一双电感复杂并联回路如图 2-18 所示。已知 L 1 +L 2 =500 μ H ,C=500pF ,为了使电源中的二次谐波能被回路滤除,应如何分配 L 1 和 L 2 ?

图 2-18 自测试题 2-9 图

2-10 如图 2-19 所示的电路形式,已知 L 1 =L 2 =100 μH , R 1 =R 2 =5Ω,

M=1 μ H , w 01 = w 02

=10 7 rad/s ,电路处于全谐振状态,试求:

1 ) a 、 b 两端的等效谐振阻抗;

2 )两回路的耦合因数;

3 )耦合回路的相对通频带。

图 2-19 自测试题 2-10 图图 2-20 自测试题 2-11 图

2-11 某发射机天线输出回路如图 2-20 所示。初、次级回路都调到谐振状态,

谐振频率为 f 0 ,图中标注的参数均为已知,求初级回路 1,2 两端的谐振电阻

R 。

2-12 图 2-12 所示电路中f 0 =30MHZ , C=20PF , Q 0 =60 ,外接阻尼电阻

R 1 =10K Ω, R s =2.5KΩ, R L =830Ω, C s =9PF , C L =12PF , P

1 =0.4 , P

2 =0.2

3 ,求

1) 回路电感 L 和通频带 B ,

2) 若把 R 1 去掉仍要保持上边求得的 B ,问接入系数 P 1 , P 2 应加大还

是减小?为保持f 0 ,电容 C 怎样修改?

3) 若i s (t)=10 ,当不考虑 R s 、 R 1 、 R L 时,求谐振

时电感 L 上电流i L (t) 的有效值。

图 2-21 自测试题 2-12 图

3.2 典型例题

例 3-1 在图 3-11 中,设工作频率f =30MHz ,晶体管的正向传输导纳 | y fe | =58.3ms ,g ie =1.2ms, C ie =12PF, g oe =400 m s, C oe =9.5pF ,回路电感L =1.4 m H ,接入系数P 1 =1 ,P 2 =0.3 ,空载品

质因数Q 0 =100 (假设y re =0 )

求:① 单级放大器谐振时的电压增益,② 谐振时回路外接电容 C ,③ 通频带 2 D f 0.7 ,④ 若 R

4 =10 k W ,试计算并比较在回路中并上 R 4 前后的通频带和增益。

分析:根据电压增益表达式,应先求出总电导g S

首先将图 3-11(a) 中的负载画出其等效电路如图 3-11(b) 所示,

(a) (b)

图 3-11 例 3-1 图

根据等效电路可求出回路总电导g S = G p + 即可求出单级放大器谐振时的电压增益,根据

求出回路总电容,因为由此可求出 C 。根据带宽增益积为一常数

可求出接上 R 4 后的带宽。

解:① 因为回路谐振电阻R P = Q P w 0 L =100 ′ 6.28 ′ 30 ′ 10 6 ′ 1.4 ′ 10 -6 ? 26k W

因此若下级采用相同晶体管时,即g ie1 = g ie2 =1.2ms

则g S =0.0384 ′ 10 -3 +0.4 ′ 10 -3 +(0.3) 2 ′ 1.2 ′ 10 -3 =0.55 ′ 10 -3 S

电压增益为

② 回路总电容为

故外加电容C 应为

③ 通频带为

④ 若 R 4 =10k W ,则

因此并上电阻 R 4 后增益降低,带宽加宽。

例 3-2 有一单调谐放大器,其交流等效电路如图 3-12 所示,已知管子 BG1 的=35ms ,其接入系数,在工作频率时测出谐振电压增益为 50 倍,通频带为 10KHz ,要求: 1 )为使 BG1 放大器的谐振电压增益不超过稳定电压增益 (A vo ) S =35 应回路上并联多大的电阻 R (并联 R 请在图上标出)

2 )回路并联 R 后,放大器的通频带是多少?

图 3-12 例 3-2 图

分析:在本题中要注意放大器的谐振电压增益 A vo 和稳定的电压增益 (A vo ) S 之间的关系,根据

求出的放大器的增益并不一定是稳定的增益,而才表示稳定的电压增益,为了保持放大器稳定的工作,可根据要求的 ( A vo ) S 来求放大器的其他参数。本题中就应该用 ( A vo ) S =

来求 g S ,从而可求得为了使放大器稳定工作应该在回路上并联的电阻 R 的值。

解:( 1 )

(3-40)

而 ( A vo ) S =35 为了保持放大器稳定工作则=35

(3-41)

式( 3-40 ) = ( 3-41 )

例 4-4 某谐振功率放大器的转移特性如图 4-15 所示。已知该放大器采用晶体管的参数为:f T ≥ 150MHz ,功率增益A p ≥ 13dB ,管子允许通过的最大电流 I cM =3A ,最大集电极功耗为 P c max =5W 。管子的 V BZ =0.6V ,放大器的负偏置 ? V BB ? =1.4V ,q c =70 ° , V CC =24V , x = 0.9 ,试

计算放大器的各参数。

分析:为了计算放大器的各参数应先求出i c max ,,,,,

由于i c max =g c V b (1–cos q c ) ,本题中已知 q c ,应根据图 4-15 求出 g c ,这里要注意区分 I cM 和i c max 。,是是

I cM 是是为了保证管子正常工作允许通过的最大电流,而

i c max ,则是余弦电流脉冲的最大值。

解 1) 根据图 4-1 可求得转移特性的斜率

2) 根据求得 V b

q c =70 ° , cos70 ° =0.342 ,

3) 根据i c max =g c V b (1–cos q c ) 求得i c max 、 I c1 、 I c0

I c1 = i c max × a 1 (70 ° )=2 ′ 0.436=0.872A

I c0 = i c max × a 0 (70 ° )=2 ′ 0.253=0.506A

4) 求交流电压振幅:

V cm =V CC x =24 ′ 0.9=21.6V

对应功率、效率。

P = =V CC × I C0 =24 ′ 0.506=12W

P o =

P c =P = –P o =2.6W

6) 激励功率因为 A p =13dB ,即

北师大版-数学-七年级上册-《角》典型例题

《角》典型例题 例1 指出下面角的表示方法是否正确,错误的改正过来。 (1)如图①中的角可以表示为ABC ∠; (2)如图②中的BAC ∠可以表示为A ∠。 例2 如图,用量角器度量三角形的三个角,并指出哪个角是钝角。 例3 计算:(1)0.12°=( )′ (2)24′36″=( )° 例4 如图,在海岸上有A 、B 两个观测站,B 观测站与A 观测站的距离是2.5km ,某天,A 观测站观测到有一条船在南偏东50°方向,在同一时刻,B 观测站观测到该船在南偏东74°方向. (1)请根据以上情况画出船的位置. (2)计算船到B 观测站的距离(画图时用1cm 表示1km ) 例5 如图: (1)以B 为顶点的角有几个:把它们表示出来; (2)指出以射线BA 为边的角; (3)以D 为顶点,DC 为一边的角有几个?分别表示出来。

例6 填空题 (1);______638128?='''? (2)=''0451 '''?; (3)=?26.78 '''?; (4)?120=________平角=_______周角。 例7 求时钟表面3点25分时,时针与分针所夹角的度数.

参考答案 例1 分析 (1)中角顶点的字母没有写在中间,(2)中用A ∠表示,就很难分清是表示三个角中的哪个角。 解 (1)错,应表示为BAC ∠;(2)错,它能用BAC ∠或α∠表示。 说明:(1)表示角时顶点字母必须写在中间;(2)用顶点一个字母去表示角时,必须分清楚表示的是哪个角。 例2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合,把量角器的“0”点落在被量角的一边上,使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧,这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。 解 经度量?=∠140A 是钝角;?=∠?=∠15,25C B 。 说明:学生所用的一般量角器只精确到度,有时要根据观察来确定角的近似值。 例3 分析 因为,度、分、秒之间的进率是60,所以(1)只需把0.12°乘以60就得到分;(2)则需先将秒变成分,再将分变成度,需要两次除以60。 解 (1)0.12°=(7.2)′ (2)24′36″=(0.41)° 说明:不要出现下面类似的错误:0.12°=1.2′。 例4 分析 (1)根据有关概念,准确地画出图形是解决本题的关键,以从表示A 观测站的点向正下方的射线为角的始边,画出A 观测站观测船的视线,类似地画出B 观测站观测船的视线. 所画两条射线的交点就是船的位置. (2)设船的位置为点C ,量出线段BC 的长是多少厘米,那么船C 到观测站的距离就是多少km . 解 (1) C 点即船的位置. (2)3=BC cm ,所以船到B 观测站的距离约为3km .

动能定理应用及典型例题(整理好用)

动能定理及应用 动能定理 1、内容: ________________________________________________________________________________ 2、动能定理表达式:_____________________________________________________________________ 3、理解:①F合在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。 F合做正功时,物体动能增加;F合做负功时,物体动能减少。 ②动能定理揭示了合外力的功与动能变化的关系。 4、适用范围:适用于恒力、变力做功;适用于直线运动,也适用于曲线运动。 5、应用动能定理解题步骤: A、明确研究对象及研究过程 B进行受力分析和做功情况分析 C确定初末状态动能 D列方程、求解。 1、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路,坡路上S=100m坡顶和坡底的高度差h=10m汽车山坡前的速度是10m/s, 上到坡顶时速度减为 5.0m/s。汽车受到的摩擦阻力时车重的0.05倍。求汽车的牵引力。 2、一小球从高出地面H米处,由静止自由下落,不计空气阻力,球落至地面后又深入沙坑h米后停止,求沙坑对 球的平均阻力是其重力的多少 倍。 3、质量为5 x 105kg的机车,以恒定的功率沿平直轨道行驶,在大 速度15m/s ?若阻力保持不变,求机车的功率和所受阻力的数值. 3min内行驶了1450m,其速度从10m/s增加到最 4、质量为M、厚度为d的方木块,静置在光滑的水平面上,如图所示,一子弹以初速度V。水平射穿木块,子弹 的 质量为m,木块对子弹的阻力为f且始终不变,在子弹射穿木块的过程中,木块发生的位移为L。求子弹射穿木块后,子弹和木块的速度各为多少? 5、如图所示,质量m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上,木块与平台间的动摩擦因数使木块产生位移S=3m时撤去,木块又滑行9=1m时飞出平台,求木块落地时速度的大小?"=0.2,用水平推力F=20N, 2 (空气阻力不计, g=10m/s ) 图6-3-1

功和功率知识点梳理与典型例题

功知识点梳理与典型例题: 一、功 1.功:如果一个力作用在物体上,物体在这个力的方向我们就说力对物体做了功.2.做功的两个必要因素:和物体在力的方向上. 3.计算公式:,功的单位:,1焦耳物理意义是。 4.不做功的几种情况: A.“劳而无功”物体受到力的作用,但物体没有移动,这个力对物体不做功. 如小孩搬大石头搬不动. B.“不劳无功”由于惯性保持物体的运动,虽有通过的距离,但没有力对物体做功.如冰块在光滑水平面上运动. C.“垂直无功”当物体受到的力的方向与物体运动方向垂直时,这个力对物体不做功. 如提着重物在水平地面上行走.甲、乙图是力做功的实例,丙、丁图是力不做功的实例 基础题 【例1】在国际单位制中,功的单位是() A.焦耳B.瓦特C.牛顿D.帕斯卡 【例2】以下几种情况中,力对物体做功的有() A.人用力提杠铃,没有提起来B.沿着斜面把汽油桶推上车厢 C.用力提着水桶水平移动2米,水桶离地面高度不变 D.物体在光滑水平面上匀速前进二米 【例3】下列关于物体是否做功的说法中正确的是() A.起重机吊着钢筋水平匀速移动一段距离,起重机对钢筋做了功 B.被脚踢出的足球在草地上滚动的过程中,脚对足球做了功 C.小刚从地上捡起篮球的过程中,小刚对篮球做了功 D.小丽背着书包站在路边等车,小丽对书包做了功 【例4】如图所示的四种情景中,人对物体做功的是() 的是() 【例5】关于图所示的各种情景,下面说法错误 ..

A .甲图中:系安全带可预防汽车突然减速时人由于惯性前冲而撞伤 B .乙图中:人用力向上搬大石块没有搬动,则重力对大石块做了功 C .丙图中:在拉力作用下拉力器弹簧变长,说明力可使物体发生形变 D .丁图中:抛出的石块在重力作用下改变原来的运动方向和运动快慢 【例6】 物体A 在水平拉力F =20N 的作用下,第一次加速运动了10m ,第二次匀速运动了 10m ,第三次减速运动了10m ,在三次不同的运动情况中比较拉力F 对物体做的功 ( )A .第一次最多 B .第二次最多 C .三次一样多 D .第三次最多 【例7】 一个人先后用同样大小的力沿水平方向拉木箱,使木箱分别在光滑和粗糙两种不同 的水平地面上前进相同的距离.关于拉力所做的功,下列说法中正确的是( ) A .在粗糙地面上做功较多 B .在光滑地面上做功较多 C .两次做功一样多 D .条件不够,无法比较两次做功的多少 【例8】 如图所示,已知A B C M M M >>.在同样大小的力F 作用下,三个物体都沿着力的 方向移动了距离s ,则力F 所做的功( ) A .A 情况下F 做功最多 B .B 情况下F 做功最多 C .C 情况下F 做功最多 D .三种情况下F 做功相同 【例9】 一名排球运动员,体重60kg ,跳离地面0.9m ,则他克服重力做功(取g =10N/kg ) ( )A .54J B .540J C .9J D .600J 【例10】 今年6月美国将在科罗拉多大峡谷建成观景台.观景台搭建在大峡谷的西 侧谷壁上,呈U 字型,离谷底1200m 高,取名为“人行天桥”,如图所 示.如果在建造过程中有一块质量为0.1kg 的石子从观景台掉落谷底,则 下落过程中,石子的重力做功为(g 取10N/kg )( ) A .12J B .1200J C .51.210J ? D .61.210J ? 【例11】 某商场扶梯的高度是5m ,扶梯长7m ,小明体重为600N .扶梯把小明 从三楼送上四楼的过程中对小明做功_________J . 中档题 【例12】 足球运动员用500N 的力踢球,足球离开运动员的脚后向前运动了50m ,在此运动过程中,运动员对足球做的功是 J . 【例13】 某人用20N 的力将重为15N 的球推出去后,球在地面上滚动了10m 后停下来,这 个人对球所做的功为( ) A .0 B .200J C .150J D .条件不足,无法计算 【例14】 重为1000N 的小车,在拉力的作用下沿水平地面匀速前进10m ,小车所受阻力为 车重的0.3倍,则拉力对小车做的功为_________J ;小车的重力做的功为 _________J .

数学必修二第二章经典测试题(含答案)

必修二第二章综合检测题 一、选择题 1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是() A.相交B.平行C.异面D.平行或异面 2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A.3B.4C.5D.6 3.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l() A.平行B.相交C.垂直D.异面 4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于() A.30°B.45°C.60°D.90° 5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得() A.a?α,b?αB.a?α,b∥α C.a⊥α,b⊥αD.a?α,b⊥α 6.下面四个命题:其中真命题的个数为() ①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面; ②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交; ③若a∥b,则a,b与c所成的角相等; ④若a⊥b,b⊥c,则a∥c. A.4B.3C.2D.1 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有() A.①②B.②③C.②④D.①④ 8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是() A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b C.若a?α,b?β,a∥b,则α∥β D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b 9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成

解三角形高考典型例题汇编

《解三角形》 一、 正弦定理:sin sin sin a b c A B C ===2R 推论:(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中,若,则= 2. 在△中,a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中,若满足,,,则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ,b=2,sinB+cosB ,则A=? 5.【2017全国文11】△ABC 中,sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c ,则C =? 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是? 二、余弦定理:222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,求cos C 的值 2. 在△ABC 中,若则A= 3. 【2012上海高考】在中,若,则的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? (A )3π4 (B )π3 (C )π4 (D )π6

动能和动能定理,机械能守恒典型例题和练习(精品)

学习目标 1. 能够推导并理解动能定理知道动能定理的适用围 2. 理解和应用动能定理,掌握外力对物体所做的总功的计算,理解“代数和”的含义。 3. 确立运用动能定理分析解决具体问题的步骤与方法 类型一 .常规题型 例1. 用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ,拉力 F 跟 木 箱 前进的方向的夹角为,木箱与冰道间的动摩擦因数为,求木箱获得的速度αμ 例2. 质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上,若物体受水平力F 的作用从静止起通过位移s 时的动能为E1,当物体受水平力2F 作用,从静止开始通过相同位移s ,它的动能为E2,则: A. E2=E1 B. E2=2E1 C. E2>2E1 D. E1<E2<2E1 针对训练 材料相同的两个物体的质量分别为m1和m2,且m m 124=,当它们以相同的初动能在水平面上滑行,它们的滑行距离之比s s 12:和滑行时间之比 t t 12:分别是多少?(两物体与水平面的动摩擦因数相同)

类型二、应用动能定理简解多过程问题 例3:质量为m的物体放在动摩擦因数为μ的水平面上,在物体上施加水平力F 使物体由静止开始运动,经过位移S后撤去外力,物体还能运动多远? 例4、一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止,测得停止处对开始运动处的水平距离为S,如图2-7-6,不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用,并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同.求动摩擦因数μ. 2-7-6 针对训练2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放,落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处,不计空气阻力,求泥对石头的平均阻力。(g 取10m/s2)

高中数学必修二第二章经典练习题

高一数学必修二第二章经典练习题 第I卷(选择题) 请修改第I卷的文字说明 一、单项选择 ). ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A.仅②不正确B.仅①、④正确 C.仅①正确D.四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线,那么在平面α内() A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条 3. 平面α内有一四边形ABCD,P为α外一点,P点到四边形ABCD各边的距离相等,则这个四边形() A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( ) A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 6. 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( )A.不存在B.只有1个 C.恰有4个D.有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点,P到△ABC各顶点的距离相等,而且P 到△ABC各边的距离也相等,那么△ABC() A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( ) A. 1 3 D. 2 3 9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1与CC1的中点,则直线ED 与D1F所成角的大小是 () A. 1 5 B。 1 3 C。 1 2 D 10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A.若//,,// m n m n αα ?则 B.若,, m m n n αβα ?=⊥⊥ 则 C.若//,//,// m n m n αα则 D.若//,,,// m m n m n αβαβ ?= I则 11. 在三棱柱 111 ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D是 侧面 11 BB C C的中心,则AD与平面 11 BB C C所成角的大小是 ( ) A.30o B.45o C.60o D.90o 12. 已知直线l、m,平面α、β,且lα ⊥,mβ ?,则// αβ是l m ⊥ 的 A.充要条件 B.充分不必要条件

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 2 2 2 (1)三边之间的关系: a + b =c 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A=cos B=a c ,cos A=sin B= b c ,tan A= a b 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c 分别表示A、B、C的对边。(1)三角形内角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R (R为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a = b + c -2bc cos A; b =c +a -2ca cos B; c =a +b -2ab cos C。 3 .三角形的面积公式: (1)S =1 2 ah a= 1 2 bh b= 1 2 ch c(h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高); (2)S =1 2 ab sin C= 1 2 bc sin A= 1 2 ac sin B; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。

动能定理典型例题附答案

1、如图所示,质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落,到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动,半圆槽半径R=0.4m.小球到达槽最低点时的速率为10m/s,并继续滑槽壁运动直至槽左端边缘飞出,竖直上升,落下后恰好又沿槽壁运动直至从槽右端边缘飞出,竖直上升、落下,如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变:(1)求小球第一次离槽上升的高度h.(2)小球最多能飞出槽外几次 (g取10m/s2) 2、如图所示,斜面倾角为θ,滑块质量为m,滑块与斜 面的动摩擦因数为μ,从距挡板为s0的位置以v0的速度 沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦 力,且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变,斜面足 够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s. 3、有一个竖直放置的圆形轨道,半径为R,由左右两部分组成。如图所示,右半部分AEB是光滑的,左半部分BFA 是粗糙的.现在最低点A给一个质量为m的小球一个水平向右的初速度,使小球沿轨道恰好运动到最高点B,小球在B 点又能沿BFA轨道回到点A,到达A点时对轨道的压力为4mg 1、求小球在A点的速度v0 2、求小球由BFA回到A点克服阻力做的功 * 4、如图所示,质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点,与O 点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉,已知OP = L/2,在A点给小球一个水平向左的初速度v ,发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.则:(1)小球到达B点时的速率(2)若不计空气阻力,则初速度v0为多少 (3)若初速度v0=3gL,则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功v0 E F… R

5、如图所示,倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。质量m =0.50kg 的小物块,从距地面h =2.7m 处沿斜面由静止开始下滑,小物块与斜面间的动摩擦因数μ=,求:(sin37°=,cos37°=,g =10m/s 2 ) (1)物块滑到斜面底端B 时的速度大小。 (2)物块运动到圆轨道的最高点A 时,对圆轨道的压力大小。 { 6、质量为m 的小球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为R 的圆周运动,运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点,此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰能通过最高点,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( ) , 7\如图所示,AB 与CD 为两个对称斜面,其上部都足够长,下部 分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切,圆弧圆心角为1200 ,半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处,以初速度V 0=4m/s 沿斜面运动,若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=,则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多少路程 (g=10m/s 2 ). / 8、如图所示,在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a 点,质量为m 的物块(可视为质点)由静止开始下滑,经圆弧最低点b 滑上粗糙水平面,圆弧轨道在b 点与水平轨道平滑相接,物块最终滑至c 点停止.若圆弧轨道半径为R ,物块与水平面间的动摩擦因数为μ, 则:1、物块滑到b 点时的速度为 2、物块滑到b 点时对b 点的压力是 3、c 点与b 点的距离为 θ A B O h A B C D O > E h

高中物理功和功率典型例题精析

高中物理功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧接着匀速上升,如果前后两过程的时间相同,不计空气阻力,则[ ] A.加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B.匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C.两过程中拉力的功一样大 D.上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用:重力mg、拉力F.这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态.设匀加速提升重物时拉力为F1,重物加速度为a,由牛顿第二定律F1-mg=ma, 匀速提升重物时,设拉力为F2,由平衡条件有F2=mg,匀速直线运动的位移S2=v·t=at2.拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2. [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式,不难发现:一切取决于加速度a与重力加速度的关系. 因此选项A、B、C的结论均可能出现.故答案应选D. [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知:恒力对物体做功的多少,只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小,而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关.在一定的条件下,物体做匀加速运动时力对物体所做的功,可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功. [例题2]质量为M、长为L的长木板,放置在光滑的水平面上,长木板最右端放置一质量为m 的小物块,如图8-1所示.现在长木板右端加一水平恒力F,使长木板从小物块底下抽出,小物块与长木板摩擦因数为μ,求把长木板抽出来所做的功.

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动,进而求功的问题.小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的.分别隔离选取研究对象,均选地面为参照系,应用牛顿第二定律及运动学知识,求出木板对地的位移,再根据恒力功的定义式求恒力F的功. [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t,则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上,头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景,为此要认真画好草图(如图8-2).在木板与木块发生相对运动的过程中,作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力,作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力,由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和,而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成,再根据恒力功的定义式求出最后结果.

第2章 典型例题与综合练习

经济数学基础第2章导数与微分第一章典型例题与综合练习 第一节典型例题 一、极限计算 例1求极限lim n n n n n →∞ ++ -+ 2 2 1 254 解:原式= ++ -+ →∞ lim n n n n n 2 2 1 254 = ++ -+ →∞ lim n n n n n 1 11 2 54 2 2 = 1 2 例2求极限lim x x x x → - -+ 1 2 2 1 32 解:lim x→1 x x x x x x x x x x x 2 2 11 1 32 11 12 1 2 11 12 2 - -+ = -+ -- = + - = + - =- →→ lim ()() ()() lim 例3求极限lim sin x x x → -+ 11 2 解:lim x→0 11 2 -+ x x sin=)1 1( 2 sin )1 1 )( 1 1( lim 0+ + + + + - →x x x x x =lim x→0 x x sin2× lim x→0 - ++ 1 11 x= ) 2 1 ( 2 1 - ? =4 1 - 例4求极限lim() x x x →∞ + - 1 1 2 1 解:lim() x x x →∞ + -= 1 1 2 1lim() x x x →∞ - 1 1 2 lim() x x →∞ - 1 1 2 =+ - →∞ -? - lim()() x x x 1 1 2 2 1 2lim() x x →∞ - 1 1 2

经济数学基础 第2章 导数与微分 =+-? ???? ?→∞--lim()x x x 11221 2 lim() x x →∞-1121 e 21?=-e 1= 二、函数的连续性 例1讨论函数?? ???>+=<=0 2100e )(x x x a x x f x 在x =0处的连续性,并求函数的连续区间. 解:因为 a f x x x x ==+=+-→→)0(,1)21(lim ,1e lim 0 ,所以1 )(lim 0 =→x f x 当1≠a 时, ) (lim )0(0 x f f x →≠,即极限值不等于函数值,所以x =0是函数的一个 间断点,且当1≠a 时,函数的连续区间是),0()0,(+∞?-∞. 当1=a 时, ) (lim )0(0 x f f x →=,即极限值等于函数值,所以x =0是函数的一个连 续点,且当1=a 时,函数的连续区间是),(+∞-∞. 三、函数的可导性 例1设函数 f x ax b x x x ()=+>≤???002 若函数f x ()在点x =0处连续且可导,应如何选取系数a b ,? 解:因为0 )0(,)(lim ,0lim 0 20 ==+=+-→→f b b ax x x x 所以当b =0时函数f x ()在点x =0处连续. 又因为0 )(lim )0()0(lim lim )0(2 000=??=?-?+=??='---→?→?→?-x x x f x f x y f x x x '===+→→+ +f y x a x x a x x ()lim lim 000?????? 所以当a =0,b =0时函数f x ()在点x =0处可导.

角和角的比较知识归纳及经典习题

角(基础)知识讲解 【高清课堂:角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1.角的定义: (1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.如图1所示,角的顶点是点O,边是射线OA、OB. 图1 图2 (2)定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示,射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时,形成的图形叫做角,起始位置OA是角的始边,终止位置OB是角的终边. 要点诠释: (1)两条射线有公共端点,即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关. (2)平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角. 1.下列语句正确的是( C )

A.两条直线相交,组成的图形叫做角. B.两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角. C.两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角. D.过同一点的两条射线组成的图形叫做角. 【答案】 【解析】根据角的定义判断 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线,角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素,即两条射线间的相对位置关系,这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别. 举一反三: 【变式】判断下列说法是否正确 (1)两条射线组成的图形叫做角( ×) (2)平角是一条直线( × ) (3)周角是一条射线( × ) 2.角的表示法:角的几何符号用“∠”表示,角的表示法通常有以下四种:

要点诠释: 用数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 写出图中(1)能用一个字母表示的角;(2)以B为顶点的角;(3)图中共有几个角(小于180°). 【答案与解析】 解:(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C. (2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE. (3)图中共有7个角. 【总结升华】(1)顶点处只有一个角时,才可以用一个字母表示;(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角. 已知:如图,在∠AOE的内部从O引出3条射线,求图中共有多少个角?如果引出99条射线,则有多少个角? 分析:在∠AOE的内部从O点引出3条射线,那么在图形中,以O为端点的射线共5条。其中,任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角(小于平角的角)。数角的时候要按一定的顺序,从OE边开始数,这样可得到4+3+2+1个角,所以,这5条射线共组成角的个数为10个角。 公式为:2)1 ( n n 。同理,如果引出99条射线,那么,以O为顶点的射线共101

动能定理典型基础例题

动能定理典型基础例题 应用动能定理解题的基本思路如下: ①确定研究对象及要研究的过程 ②分析物体的受力情况,明确各个力是做正功还是做负功,进而明确合外力的功 ③明确物体在始末状态的动能 ④根据动能定理列方程求解。 例1.质量M=×103 kg 的客机,从静止开始沿平直的跑道滑行,当滑行距离S=×lO 2 m 时,达到起飞速度ν=60m/s 。求: (1)起飞时飞机的动能多大 (2)若不计滑行过程中所受的阻力,则飞机受到的牵引力为多大 (3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F=×103 N ,牵引力与第(2)问中求得的值相等,则要达到上述起飞速度,飞机的滑行距离应多大 ~ 例2.一人坐在雪橇上,从静止开始沿着高度为 15m 的斜坡滑下,到达底部时速度为10m/s 。人和雪橇的总质量为60kg ,下滑过程中克服阻力做的功。 例3.在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块,抛出时的速度为v 0,当它落到地面时速度为v ,用g 表示重力加速度,则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于:( ) 例4.质量为m 的小球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为R 的圆周运动,运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点,此时绳子的张力为7mg ,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰能通过最高点,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为:( ) A . 4mgR B .3mgR C .2 mgR D .mgR 例5.如图所示,质量为m 的木块从高为h 、倾角为α的斜面顶端由静止滑下。到达斜面底端时与固定不动的、与斜面垂直的挡板相撞,撞后木块以与撞前相同大小的速度反向弹回,木块运动到 高 2 h 处速度变为零。求: (1)木块与斜面间的动摩擦因数 (2)木块第二次与挡板相撞时的速度 (3)木块从开始运动到最后静止,在斜面上运动的总路程 , 例6.质量m=的物块(可视为质点)在水平恒力F 作用下,从水平面上A 点由静止开始运动,运动一段距离撤去该力,物块继续滑行t=停在B 点,已知A 、B 两点间的距离s=,物块与水平面间的动摩擦因数μ=,求恒力F 多大。(g=10m/s 2 ) 1、在光滑水平地面上有一质量为20kg 的小车处于静止状态。用30牛水平方向的力推小车,经过多大距离小车才能达到3m/s 的速度。 2、汽车以15m/s 的速度在水平公路上行驶,刹车后经过20m 速度减小到5m/s ,已知汽车质量是,求刹车动力。(设汽车受到的其他阻力不计) 3、一个质量是的小球在离地5m 高处从静止开始下落,如果小球下落过程中所受的空气阻力是,求它落地时的速度。 4、一辆汽车沿着平直的道路行驶,遇有紧急情况而刹车,刹车后轮子只滑动不滚动,从刹车开始 到汽车停下来,汽车前进12m 。已知轮胎与路面之间的滑动摩擦系数为,求刹车前汽车的行驶速度。 5、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路,坡路上S=100m ,坡顶和坡底的高度差h=10m ,汽车山坡前的速度是10m/s ,上到坡顶时速度减为s 。汽车受到的摩擦阻力时车重的倍。求汽车的牵引力。 6、质量为2kg 的物体,静止在倾角为30o 的斜面的底端,物体与斜面间的摩擦系数为,斜面长1m ,用30N 平行于斜面的力把物体推上斜面的顶端,求物体到达斜面顶端时的动能。 7、质量为的铅球从离沙坑面高处自由落下,落入沙坑后在沙中运动了后停止,求沙坑对铅球的平均阻力。 ^ h m

功和功率典型例题

功和功率 【例2】如图所示,线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,圆的半径是1m ,球的质量是0.1kg ,线速度v =1m/s ,小球由A 点运动到B 点恰好是半个圆周。 那么在这段运动中线的拉力做的功是( ) A .0 B .0.1J C .0.314J D .无法确定 【例3】质量为m 的物体,受水平力F 的作用,在粗糙的水平面上 运动,下列说法中正确的是( ) A .如果物体做加速直线运动,F 一定做正功 B .如果物体做减速直线运动,F 一定做负功 C .如果物体做减速直线运动,F 可能做正功 D .如果物体做匀速直线运动,F 一定做正功 【例4】 质量为2t 的农用汽车,发动机额定功率为30kW ,汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速,当其速度达到v =36km/h 时的瞬时加速度是多大? 【例5】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶,经时间t 前进距离s ,速度达到最大值v m 。设此过程中发动机功率恒为P ,卡车所受阻力为f ,则这段时间内,发动机所做的功为( ) A .Pt B .fs C .Pt =fs D .fv m t 【例6】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下落,在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少?这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少?2s 末,重力对物体做功的即时功率是多少?(g 取2 /10s m ) 功和功率针对训练 1.用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧接着匀速上升.如果前后 两过程的运动时间相同,不计空气阻力,则 A .加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B .匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大

动能定理典型例题

动能定理典型例题

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动能定理典型例题 【例题】 1、一架喷气式飞机,质量m=5.0×103kg,起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=5.3×102m,达到起飞速度v=60m/s,在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍(k=0.02)。求飞机受到的牵引力。 2、在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上,有一个物体的质量为m,初速度为V1,在与 运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移S,如图所示,试求物体的末速度V2。 拓展:若施加的力F变成斜向右下方且与水平方向成θ角,求物体的末速度V2 V滑上动摩擦因数为μ的粗糙水平面上,最后3、一个质量为m的物体以初速度 静止在水平面上,求物体在水平面上滑动的位移。

4、一质量为m的物体从距地面高h的光滑斜面上滑下,试求物体滑到斜面底端 的速度。 拓展1:若斜面变为光滑曲面,其它条件不变,则物体滑到斜面底端的速度是多少? 拓展2:若曲面是粗糙的,物体到达底端时的速度恰好为零,求这一过程中摩擦力做的功。 类型题 题型一:应用动能定理求解变力做功 1、一质量为m的小球,用长为L的轻绳悬挂于O点,小球在水平力F作用下,从平衡位置缓慢地移Q点如图所示,则此过程中力F所做的功为() A.mgLcos0 B.FLsinθ C.FLθ?D.(1cos). - mgLθ

2、如图所示,质量为m的物体静放在光滑的平台上,系在物体上的绳子跨过光 V向右匀速运动的人拉着,设人从地面上由平台的滑的定滑轮由地面上以速度 边缘向右行至绳与水平方向成30角处,在此过程中人所做的功为多少? 3、一个质量为m的小球拴在钢绳的一端,另一端用大小为F1的拉力作用,在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动(如图所示),今将力的大小改为F2,使小球仍在水平面上做匀速圆周运动,但半径变为R2,小球运动的半径由R1变为R2过程中拉力对小球做的功多大? 4、如图所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为R=0.8m,BC是水平轨道,长S =3m,BC处的摩擦系数为μ=1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

(完整word版)高中物理功和功率典型例题解析

功和功率典型例题精析 [例题1] 用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧接着匀速上升,如果前后两过程的时间相同,不计空气阻力,则[ ] A.加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B.匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C.两过程中拉力的功一样大 D.上述三种情况都有可能 [思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用:重力mg、拉力F.这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态.设匀加速提升重物时拉力为F1,重物加速度为a,由牛顿第二定律F1-mg=ma, 匀速提升重物时,设拉力为F2,由平衡条件有F2=mg,匀速直线运动的位移S2=v·t=at2.拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2. [解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式,不难发现:一切取决于加速度a与重力加速度的关系. 因此选项A、B、C的结论均可能出现.故答案应选D. [小结]由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知:恒力对物体做功的多少,只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小,而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关.在一定的条件下,物体做匀加速运动时力对物体所做的功,可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功. [例题2]质量为M、长为L的长木板,放置在光滑的水平面上,长木板最右端放置一质量为m 的小物块,如图8-1所示.现在长木板右端加一水平恒力F,使长木板从小物块底下抽出,小物块与长木板摩擦因数为μ,求把长木板抽出来所做的功.

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动,进而求功的问题.小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的.分别隔离选取研究对象,均选地面为参照系,应用牛顿第二定律及运动学知识,求出木板对地的位移,再根据恒力功的定义式求恒力F的功. [解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为t,则m与M在时间t内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 [小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上,头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景,为此要认真画好草图(如图8-2).在木板与木块发生相对运动的过程中,作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力,作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力,由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和,而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成,再根据恒力功的定义式求出最后结果.

线段、角典型例题

基本的平面图形典型例题与强化训练 典型例题:例1、已知线段AB,延长线段AB 到C,使BC=3 AB ,反向延长线段 AB 至 3 1 D,使AD=2 AB ,P 为线段CD 的中点,已知 BP=15cm 求线段AB 、CD 的长。 数。⑴ 若/ AOB=a ,其他条件不变,/ DOE 等于多少? ⑵ 若/ BOC 邛,其他条件不变,/ DOE 等于多少? ⑶若/ AOB=a ,Z BOC=3,其他条件不变,/ DOE 等于多少? 例2、如图,C ,D, E 将线段AB 分成2:345 四部分,M P ,Q, N 分别是AC ,CD ,DE EB 的中 点,且MN=21求线段PQ 的长度. . ....................... 例5、如图, 长线?求/ AB CD 相交于点 直线 2和/ 3的度数,并说明 O,且/ BOC=80 , OE 平分/ BOC OF 为OE 的反向延 OF 是否为/ AOD 勺平分线. 例3、已知线段 AB=14cm 在直线AB 上有一点C,且BC=4cn, M 是线段AC 的中点,求线 段AM 的长. 例6、如图, / BOC OE 平分/ AOD 若/ EOF=170,求/ COD 的度数。 由点O 引出六条射线 OA OB OC OD OE OF,且/ AOB=90 , OF 平分 例4、如图所示,/ AOB=90 , / BOC=30 , OE 平分/ AOC OD 平分/ BOC 求/ DOE 的度

练习: 1.下列说法中,错误的是(8.如上图所示,从 0点岀发的五条射线,可以组成小于平角的角的个数是 A. 10 个 B . 9 个 C 9.下图中,能用2 AOB 2 Q .8个D . 4个 21 三种方法表示同一个角的图形是( A o .18 A.经过一点可以作无数条直线 C.—条直线只能用一个字母表示 2.下列说法中,正确的是() A .射线AB和射线BA是同一条射线 C.延长线段 MN到P使NP= 2MN 3.平面上的三条直线最多可将平面分成( B .经过两点只能作一条直线 D .线段CD和线段DC是同一条线段 10.已知/ 1=17° .延长射线MN到C .连结两点的线段叫做两点间的距离 )部分。A . 3 B . 6 C . 7 D A . / 1=22 11 .如右图,从 地有2条水路、 4.如图所示,B、C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD中点,若MN=a BC=b, 则线段AD的长是() A. 2(a-b) B. 2a-b C. a+b D. a-b 5.如果点P在AB上,下列表达式中不能表示 P是AB中点的是( 1 A . AP=1 A B B . AB=2BP C . AP=BP D . AP+BP= AB 6.下列四个图中的线段(或直线、射 线)能相交的是 -* ----- * — A B A1 7.点P在线段EF 上, 其中能表示点P是 2B 现有四个等式: EF中点的有( ) ⑵ PE=PF; C 2 .2个D . 1个 18',2 2=17 B . 21=23 A地到C地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从 2条陆路,从B地达到C地有3条陆路可供选择,走空中从( 种 2 3=17 . 3°,下列说法正确的是 ( 2 2=2 3 D .没有相等的角A地到B A地不经B 地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有 A . 20 种 B . 8 种 C . 5 种 D . 13 12. 一个人从A点岀发向北偏东60° 再从B点岀发向南偏西15 °方向走到 A 、75 ° 13.往返于A、 14.(1)如 图 (2)如图( A C 、 105° 的方向走到B点, C点,那么/ ABC的度数是() 、 45 ° D 、135 ° B两地的客车,中途停靠五个站,则共有_种票价,要准备 ________ 种车票。 (1)的射线上,O为端点,A、B、C为任意三点,则图中有__________ 条射线. 2)直线m上有4个点A、B、C、D,则图中共有_________ 条射线. 15.已知平面内三个点 A、B C,过其中每两个点画直线,可以画_________________ 几条。 16.如图,AB= 40,点C为AB的中点,点 D为CB上的一点,点 E是BD的中点,且 EB= 5,则CD的 长为j___________ i J___j C I> K H 17.已知点B在直线AC上,线段AB=8cm AC=18cm p、Q分别是线段 AB、AC的中点,则线段PQ= __________________ .

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