第2章一阶逻辑典型习题

第二章 一阶逻辑

1. 用谓词表达式写出下列命题:

(1) 王文不是学生;

(2) 2是素数且是偶数;

(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;

(4) 河北省南接河南省;

(5) 若2大于3.则2大于4.

解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文

于是（1）为：）（a P ⌝.

(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2

于是（2）为：H （a ））（a M ∧

(3) R(x) ：x 是奇数

于是（3）为：R （m ））

（m R 2⌝→. (4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省

于是（4）为L （c,d ）.

(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4

于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.

说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。其中，主语是语句中的主动者，称为个体。谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。

例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ 南接”都是谓词。

在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。个体变量的取值范围是定义域。

例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。

表示个体性质的谓词，一般形如G （x ）,是一元谓词或一元命题函数。表示n 个个体之间关系的谓词，一般形如P （x 1，x , n ）,是n 元谓词或n 元命题函数。

谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。

例如，“x 是有理数”是一元谓词，记作G （x ），其中G 表示谓词“是有理数 ”，D ：实数集，G （x ）：x 是有理数，是一元谓词（不是命题，没有真值）。3D ∈，G （3）：3是有理数，是命题，真值为1。

由于命题逻辑是一阶逻辑的特例（命题可看作是无变量的谓词或0元谓词），因此，命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。

注意，n 元谓词中，与谓词想联系着的几个个体名称的次序是不能随意变动的，如前例中的（4）。

2.用谓词表达式写出下列命题：

（1） 凡是有理数都可以写成分数；

（2） 存在着会说话的机器人；

（3） 并非每个实数都是有理数；

（4） 如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零；

（5） 没有不犯错误的人。

解 （1）G （x ）：x 有理数 H （x ）： x 可以写成分数

于是（1）为：))()((x H x G x →∀

（2）F （x ）：x 会说话 Q （x ）：x 是机器人

于是（2）为：))()((x Q x F x ∧∃。

（3）R （x ）：x 是实数 Q （x ）：x 是有理数

于是 （3）为：)((x ∀⌝R （x ）))(x Q → (或为：))()((x Q x R x ⌝∧∃).

(4) N(x)：x 是有限个数的乘积 Z(y)：y 为0

P （x ）：x 的乘积为0 F （y ）：y 为乘积中的一个因子

于是 （4）为：))()(())()((y Z y F y x P x N x ∧∃→∧∀。

（5）M(x)：x 为人 F （x ）：x 犯错误

于是 （5）为：)))()((x F x M x ⌝∧∃⌝（ ( 或为：)))()((x F x M x →∀.

说明 引进了谓词，还要引进量词，这样才能建立起一阶逻辑。

全称量词和存在量词统称为量词。

全称量词x ∀表示“对任意x ”、“对每一个x ”、“对于所以的x ”等语句；存在量词x ∃表示“存在一个x ”、“对于一些x ”、“至少有一个x ”等语句。

设G （x ）是一元谓词，任取x 0D ∈,则G （x 0）是一个命题。于是，x ∀ G （x ）是命题：“对任意x D ∈,，都有G （x ）。

命题x ∀ G （x ）的真值规定如下：

x ∀ G （x ）x ∃G （x ）对任意⇔ x D ∈,G （x ）都取1值；

x ∀G （x ）取0值有一个⇔ x 0D ∈，使得G （x 0）取0值；

x ∃G （x ）是命题：

“存在一个x 0D ∈，使得G （x 0）成立”。 命题x ∃G （x ）的真值规定如下：

x ∃G （x ）x ∃G （x ）有一个⇔ x 0D ∈，使得G （x 0）取1；

x ∃G （x ）取0值对所有⇔ x D ∈,G （x ）都取0值。

在使用量词时，由于定义域的不同，命题符号化的形式可能不一样。

如 命题“凡是有理数都可以写成分数”。

① 当定义域D ：有理数集

H （x ）：x 可以写成分数，则有x ∀ H （x ）。

② 当定义域D ：实数集

G （x ）：x 是有理数 H （x ）：x 可以写成分数，则有x ∀ G （x ）))(x H →。

③ 当定义域D ：非空个体名称集（即一切事物的集合）时，则同②。

一般来说，谓词的定义域D 可以是有限集，如{1，2，3，4}、{a,b,c}、{狗，5，计算机}等；也可以是无限集，如有理数集、实数集等。不过，这种约定的定义域并不常见。这时，我们认为个体x 的定义域是一切事物。

3．设谓词的定义域都是{a,b,c },试将下面的表达式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。

⑴ x ∀P(x)；

⑵ x ∀R （x ）x ∀∧S(x)；

⑶ x ∀R （x ）x ∃∧S(x)；

⑷ x ∀（P(x)))(x Q →；

⑸ x ∀⌝P(x)∨ x ∀P(x)；

⑹ x ∀F(x) ∃→yG(y);

⑺ ),(y x yH x ∀∃.

解 ⑴x ∀P(x)=P （a ）∧P(b) ∧P(c).

⑵ x ∀R （x ）x ∀∧S(x)=R(a) ∧R(b) ∧R(c)∧S(a) ∧S(b) ∧S(c).

⑶ x ∀R （x ）x ∃∧S(x)=( R(a) ∧R(b) ∧R(c)) ∧( S(a) ∨S(b) ∨S(c)).

⑷ x ∀（P(x)))(x Q →=( P （a ）→Q(a)) ∧( P （b ）)→ Q(b) ) ∧( P （c ）→ Q(c )). ⑸ x ∀⌝P(x)∨ x ∀P(x)=(⌝ P （a ）⌝ P （b ）∧ P （c ）) ∨( P （a ）∧P(b) ∧P(c)). ⑹ x ∀F(x) ∃→yG(y)=(F(a) ∧F(b) ∧F(c)) →(G(a) ∨G(b) ∨G(c)).

⑺ ),(y x yH x ∀∃=(H(a,a) ∧H(a,b) ∧H(a,c)) ∨(H(b,a) ∧H(b,b) ∧H(b,c)) ∨(H(c,a) ∧(H(c,b) ∧H （c,c ）)

4. 指出下列命题的真值：

⑴x ∃（P(x)→Q(x)）其中，P(x)：x 3 H(x):x=4 定义域：D={2}； ⑵ x ∀（P(x)))(x Q ∨，其中，P(x)：x=1 Q(x):x=2 定义域：D={1,2}; ⑶ x ∀(P →Q(x)) ∨R(e)) 其中，P ：3 2 Q(x):x ≤3 R （x ）:x 5 e:5

定义域：D={-2,3,6}.