高数 大一期末考试复习重点

对数法求导
分段函数在分段点求导
高阶导数(sin
x,cos
x,e
x
,
1
)
1 x
14
参数方程
x y
(t ) 求导数： (t)
dy
dy dx
dt dx
(t) (t )
dt
dy
d2 y dx 2
d( dy ) dx dx
d( ) dx dt dx
d( (t)) (t)
d来自百度文库 dx
dt
dt
15
a. 求导数 f ( x); b. 求驻点(方程 f ( x) 0 的根) 及 f ( x)不存在 的 点. c. 检查 f ( x) 在b中所有点左右的正负号, 或 f ( x) 在该点的符号, 判断极值点. d. 求极值.
24
渐近线的求法
(a) 水平渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) a,
x 1, 已知函数在 x1
2.
lim
x
x
x2
ln( 1
1 x
)
3.求极限
ex sin x x(1 x)
(1) lim x0
x3
1
(2) lim(ex 1 x)lnx x0
26
计算题解答
1. 由连续性, 有 lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
a b 1
(1)
2
当 x 0,
ax 1 ~ x lna arcsinx ~ x arctan x ~ x (1 x) 1 ~ x tan x sinx ~ x3
2
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分;
(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质
函 (6) 复合函数求极限法则
12
第二章 导数与微分
导数
定义
左导数 f( x0 ), 右导数 导数存在的充要条件
f(
几何意义
切线斜率k
f ( x0 )
x0
)
可导性与连续性的关系 可导 连续
微分
求微分
dy
f ( x0 )dx
可导与微分的关系
可导 可微
13
按定义求导
求导数方法
复合函数求导
隐函数,
参数方程求导
x0
etan x esin x
tan x sin x lim
x0 ( 1 tan x 1 sin x )(etan x esin x )
1 2
tan x sin x
lim
x0
etan x
esin x
1 2
tan x sin x lxim0 esin x (etan xsin x 1)
1 lim ex
上 式 e x0 e2
31
第四章 不定积分
基本概念
(原函数,不定积分
f
( x)dx
)
基本性质(与求导, 微分运算间关系;线性可加性)
积
分 法
换 分部 元积 积分 分法 法第 第二 一类 类换 换元 元((三凑角微代分换法),倒代换) 有理函数的积分可四化种为基有本理形函式数的的积积分分
x 1,
x = –1为第一类可去间断点
lim f ( x) ,
x 1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, lim f ( x) 1, lim f ( x) 1.
x 0
x 0
x = 0为第一类跳跃间断点
8
1
例
求y
2x
1
1 sin( x 1)sin 1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
(2) lim(ex 1 x)ln x (00 ) x0
ex 1
lim ln(e x 1 x )
lim e x 1 x x0 1
e x0 ln x e
x
e e e lim x0
x(ex 1) e x 1 x
lim
x0
e
x
1 xe ex 1
x
1
lim
x0
xe x ex 1
x 0时，ex 1 ~ x
32
例
x2 1 x4 1 dx
分子分母同除以 x 2
解
原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x2 1 2x
C
33
例
1 x4
1
dx
1 2
(
x
2
1) ( x2 x4 1
1)
dx
x0
6x
ex cos x 1
lim
x0
3x
lim ex sin x ex cos x
x0
3
1
3
29
解法2 :
原式
lxim0
ex
(si
n x
x
3
x)
ex
1 x2
x
l i me x
x0
cos x
lim
x0
3x2
1
ex lim x0 2x
1
1 1 1 62 3
30
1
闭区间连续函数的性质有 最界 大性,最小值定理 介值定理, 零点定理
6
例 求 f (x)
1
x
的间断点,
并指出其类型.
1 e1 x
解 当x 0, x 1时,函数无定义,是函数的间断点.
x 0,
由于
lim
x0
f
(
x)
lim
x0
1
1 e
x 1 x
,
所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( 2
x0
)
(
x
x0
)n
o[(
x
x0
)n ].
18
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o( x2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n o( x2n )
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在,但不相等，
所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
1
lim
x1
y
2x
lim[
x1
1
1
1
1 x2
dx 1
1
1 x2
dx
2
x2
1 x2
2
x2
1 x2
1 2
d( x 1 ) x
(x 1 )2
2
1 2
d( x 1 ) x
(x 1 )2
2
x
x
1 arctan 22
x 1 x 2
1 1 ln 22 2
x 1 x
x 1
x
2 2
C ( x 0)
34
例 求 max{1, x }dx.
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
11
例
讨论
f (x)
x2 sin 1 ,
x
x0
0,
x0
在x 0处的连续性与可导性 .
例
如果
f
( x)
eax , b(1
x x2 ), x
0 处处可导,那么 0
()
( A) a b 1;
(B) a 2, b 1;
(C) a 1, b 0; (D) a 0, b 1.
驻点 函数的极值极值存在的必要条件
极值存在的充分条件
函数的凹凸性 (拐点,凹凸性和判别法)
函数的最大最小值
函数的渐近线 (水平,垂直)
17
带Peano型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在含 x0 的区间(a, b)内有 n 阶连续 导数, 则对于x (a, b), 有
f (x)
f ( x0 )
由可导性,有 lim f ( x) f (1) lim f ( x) f (1)
x1
x1
x1
x1
lim
ax b 1
lim
2 1 x2
1
x1 x 1
x1 x 1
a
lim
x1
2 1 x2
1
x 1
lim
x 1
4x (1 x2 )2
1
27
a 1 由（1） b 2.
2.
lim
x
x
x2 ln(1
22
定理(第二充分条件)
设 f ( x)在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则 (a) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极大值, (b) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极小值.
23
求极值的步骤:
数 极
(7) 利用左、右极限求分段函数极限;
限 (8) 利用夹逼定理;
的 求
(9)
利用两类重要极限;
法 (10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用连续函数的性质(代入法);
(12) 利用洛必达法则.
洛必达法则+等价无穷小代换
洛必达法则+变上限积分求导
3
例
1 tan x 1 sin x
lim
n!
20
洛必达法则
基本类型： 0 型, 型
0
变型:
0 , , 00, 1, 0型
法则：
lim f ( x) lim f ( x) .
g( x)
g( x)
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
第三章 微分中值定理及其应用
罗尔定理
中值定理柯 拉格 西中 朗日 值中 定理 值定理
泰勒定理 (泰勒公式,麦克劳林公式)
洛必达法则(计算
0 0
,
,
,
1
等未定型极限)
中值定理的应用
证明不等式 讨论方程根的存在与个数
16
函数的单调性(利用导数判断)
函 数 性 态
x ( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线y a.
(b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
xx0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线x x0.
25
计算题
1. 设
y
f (x)
2 1 x2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
x0
x0
limarctan 1 , limarctan 1 .
x0
x
2 x0
x2
一类需要注意的极限
lim
x2 1 1,
lim
x2 1 1.
x x
x x
5
连续的定义
左xlim连x0 f续( x、) 右f连( x续0 )
间断点的分类
第一类间断 第二类间断
(可去型, (无穷型,
跳跃型) 振荡型)
第一章 极限与连续
极限存在准则
单调有界必有极限
夹逼定理
lim sin x 1
两类重要极限
x0 x lim(1
x
1 )x x
e
无与穷小性质有无限穷个小无与穷有小界的量和的,积积仍仍是是无无穷穷小小 无穷大比较 (高阶, 低阶,同阶, 等价, k 阶)
1
常用等价无穷小
ex 1 ~ x sinx ~ x tan x ~ x ln(1 x) ~ x 1 cos x ~ x2
x 1,
由于
lim f
x 1
(x)
1
lim
x1
1
e
x 1 x
0
lim f
x 1
(x)
1
lim
x1
1
e
x 1 x
1
所以 x 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7
例求
的间断点,并判别其类型.
解 x 1, x 1, x 0是间断点,
x 1, lim (1 x)sin x 1 sin1, x 1 x ( x 1)( x 1) 2
2x
1 1
sin( x
1) sin
x
1
] 1
1 3
即在x 1处函数的左右极限都存在且相等，
所以x 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.
10
例 设函数
a (1 cos x) x2
在x = 0连续,则a= 2 ,b= e .
提示:
f
(0 )
lim
x0
a (1 cos x2
x)
a 2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0
~ 当 x 0, etan xsin x 1 tan x sin x,
故
原式
1 2
tan x sin x lxim0 esin x (etan xsin x 1)
1
tan x sin x 1
2 lxim0 esinx (tan x sin x) 2 4
两对重要的单侧极限
1
1
(a 1) lima x 0, lima x ,
1 x
)
lim
x
1
x ln(1 1
1) x
令
t
1
，则原式
lim
1
1 t
ln(1
x t)
x
t 0
lim
t 0
t
t ln( 1
t2
t)
lim
t 0
1
1 1 2t
t
1t 1 1
lim
t0 2t(1 t ) 2
28
3. 解(1) :
原式
lime
x0
x
si
n
x
e
x
3
cos x2
x
1
2
x
limex (sinx cos x) ex (cos x sin x) 2
21
定理(第一充分条件) 设 f ( x)在邻域U( x0 )内,
(a) 当 x x0, 有 f ( x) 0; 而当 x x0, 有 f ( x) 0, 则 f ( x)在x0处取极大值. (b) 当 x x0, 有 f ( x) 0; 而当 x x0, 有 f ( x) 0, 则 f ( x)在x0处取极小值. (c) 若 f ( x)在邻域U( x0 )内 符号相同, 则 f ( x)在x0处无极值.
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n xn1 o( xn1 )
23
n1
19
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn o( xn )