高考理科数学第一轮复习第七章直线和圆的方程 第1课时 直线的方程

直线的方程

一、【知识精讲】

（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。故倾斜角的范围是[0，π）。

（2）斜率：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan α。 （3）过两点P(x 1,y 1),P(x 2,y 2),(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 k=tan α=1212x x y y --

（4）直线方程的几种形式：

注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。 2、重难点

（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；

（2）确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k ∈[-1,1],则θ∈⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 （3）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程； ⑷ 直线方程的五种形式之间的熟练转化。 二、【例题选讲】

例1、直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是_________。

解:直线地斜率3333cos 33≤≤-⇒-

=k k α,⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴πππα,656,0 练习: 直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(－3,2)的线段相交,则a 的取值范围是( )

A.[－1,2]

B.[2,+∞]∪（－∞,－1）

C. [－2,1]

D. [1,+∞]∪（－∞,－2）

解：直线ax+y+1=0过定点C(0,－1),当直线处在AC 与BC 之间时,必与线段AB 相交,应满足213+≥

-a 或3

1

2-+≤-a 即2-≤a 或1≥a .选D 。 【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定

例2 (优化设计P102例1) △ABC 直线方程。

解：由已知得直线BC 在x 轴、y 轴上的截距分别为-6、3，利用截距式，直线BC 的方程

为

13

6=+-y

x ，化为一般式为062=+-y x ∵37-=AB k , AB 在y 轴上的截距为3， ∴由斜截式得直线AB 的方程为33

7

+-=x y ，

化为一般式为0937=-+y x

∵94-

=AC k ，∴由点斜式得AC 的方程为)6(9

4

0+-=-x y ，化为一般式为02494=++y x

【评注】本题考查了求直线方程的基本方法，合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速

度.

例3 (优化设计P103例2) 已知两直线和0111=++y b x a 0122=++y b x a 的交点为 P （2，3），求过两点),(111b a Q 、)(222b a Q （)21a a ≠的直线方程。 解法一：∵P （2，3）在已知直线上，∴⎩⎨

⎧=++=++0

1320

1322211b a b a

∴0)(3)(22121=-+-b b a a 即3

2

2121-=--a a b b

∴所求直线方程为 )(3

2

11a x b y --

=- 即0132=++y x 【深化拓展】由“两点确定一条直线”，你有新的解法吗？ 解法二：∵P （2，3）在已知直线上，∴⎩⎨

⎧=++=++0

1320

1322211b a b a

∴ 直线0132=++y x 过点),(111b a Q 、)(222b a Q （)21a a ≠，∵两点只能确定一条直线，

∴所求直线方程为0132=++y x

例4 (优化设计P103例3)一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：

O C(-6,0

y

B(0,3) A(3,-4) x

（1） 倾斜角是直线034=+-y x 的倾斜角的两倍；

（2） 与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点） 解法一：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ=2α，

且tan α=

41,tan θ=tan2α15

8

=,从而所求直线方程为06158=+-y x （3） 设直线方程为1=+b

y

a x ，(0>a ,0>

b ), 点P （3，2）代入得

ab b a 62123≥=+ 得24≥ab 从而1221≥=∆ab S AOB 等号当且仅当b a 23=时成立，这时3

2

-=-

=a b k ，从而所求直线方程为01232=-+y x 【评注】此题（2）也可以转化成关于b a 或的一元函数后求解。

（4） 解法二：设直线方程为1=+b

y

a x ，(0>a ,0>

b ), 点P （3，2）代入得

123=+b a ，解得32-=a a b （)3>a ，则3212-==∆a a ab S AOB 63

9

)3(+-+-=a a

12≥，等号当且仅当3

9

)3(-=

-a a 即6=a 时成立，这时4=b ，从而所求直线方程为 14

6=+y

x 即01232=-+y x 【深化拓展】若求PB PA •及OB OA +的最小值，又该怎么解？ 解：显然直线斜率存在。设直线方程为y -2=k(x -3) (k<0) 得点A(0,2

3k

-

), B(0,2-3k)，︱PA ︱·︱PB ︱=121367222

≥⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

+k k ,此时1-=k 即直线为x+y -5=0 ︱OA ︱+︱OB ︱=(k

2

3-

)+ (2-3k) ≥625+,此时36-=k 即直线为

063636=--+y x

练习: 一条直线被两直线1l ：4x+y+6=0,2l ：3x －5y －6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点,求这条直线的方程.

解法一：由题意可设所求直线方程为y=kx,分别与1l ,2l 的方程联立得两交点的横坐标分别