高等数学第二章课后习题答案

第二章 导数与微分

1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设

2002

00(1)(1)10(1)10

'(1)lim lim

1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x

x x x x

∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆

2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么,

并将答案填在括号内。

⑴ ()()=∆-∆-→∆x

x f x x f x 000lim

（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆x

x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()

=--+→h

h x f h x f h 000lim

（02'()f x ）.

3. 求下列函数的导数：

⑴ ='=y x y ,4

则34x ⑵ ='=y x y ,32

则1

323

x -

⑶ ='=y x

y ,1

则3212x -- ⑷ =

'=y x x y ,53

则11

5165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭

⎫

⎝⎛=πx y

'sin ,'()32

y x y π=-=-

所以切线方程为1)23y x π-

=-

2(1)0y +-+=

法线方程为1)23y x π-

=-

化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨

⎧=≠=0

00 1sin 2

x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 2

0(0)0

1lim sin 0(0)()x f x f x

→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续

因为 20001

sin

(0)(0)

1lim lim

lim sin 0x x x x f x f x x x

x x

∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆

所以函数在0x =处可导.

6. 已知()()()()是否存在？

又及求 0 ,0 0 ,

0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2

'

00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h

h +

→+→++-===

'0

0(0)(0)(0)lim

lim 1h h f h f h

f h

h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在

7. ()(). , 0 0

sin x f x x x x x f '⎩

⎨

⎧≥<=求已知

当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

当0x =时

'0

0(0)(0)(0)lim

lim 1h h f h f h

f h

h +→→+-===＋＋ '0

0(0)(0)sin (0)lim

lim 1h h f h f h f h h

-→-→+-===－ '(0)1f ∴=

综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩

8. 求下列函数的导数：

（1）;5432

3

-+-=x x x y （2）;122

7445+-+=

x

x x y 222

222

22322

4222

2csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23

(3)(3ln )(2ln )(2)

'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=

+-+-=

+++-++=+-+-+=

+2'364

y x x =-+

652'20282y x x x ---=--+

（3）;3253

x

x

e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y

2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+

（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=

123

'ln10ln 2

y x x x =

-+

'422y x =--

（7）;ln x

x

y =

（8）;cos ln 2x x x y = 2

1

ln 'x x

x y x

-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 2

1ln x x

-= 2

2ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22

x

x

y +=

222

2csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+

222

2(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+

（10）.ln 3ln 22

3

x x x x y ++=

22322

23

(3)(3ln )(2ln )(2)

'(3ln )

x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222

(94)ln 32(3ln )

x x x x x x x x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4

π

ϕϕ

ρϕϕϕρ=+

=d d 求

因为

1

sin cos

sin 2

d d ρϕϕ

ϕϕϕ=+-

所以

4

12422284

d d π

ϕρπϕ

=

=

+-=+