二次型

f x Ax 练习：已知三元二次型 A矩阵的特征值为2， 3，0, 且其中对应于特征值2，3的特征向量分别 为 ， 1 1
T
c3
1 1 , 2 1 0 1
求此二次型的表达式.
(提示:不同特征值对应的特征向量正交.再利 用特征向量的定义,可以求出矩阵A )
a11 a12 a1n x1 a a22 a2 n x2 x T Ax [ x1 , x2 ,, xn ] 21 an1 an 2 ann xn 其中 x=(x1,x2,,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称矩阵,称为二
f() = x TA x = yT(C TA C)y , yT(CTA C)y B = C TA C
故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C.
是 y1,y2,,yn 的一个二次型.
一般地,将二次型化为标准型的过程:
f ( x1 , x2 ,, xn ) x T Ax y T C T ACy
在二次曲面的研究中,也有类似的问题. (1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化 为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二 次齐次多项式,使之只含平方项. 这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及 物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般 化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
做坐标变换：
γ1
2, 1, 0T T 5 γ2 15 2, 4, 5 T γ3 1 1, 2, 2 3
5 5
2 5 5 即 (γ1 , γ 2 , γ 3 ) (ε1 , ε2 , ε3 ) 5 5 0
2 5 4 5 5
15 15
3
2 3 2 3
(第 i, j个分量为1,其余为0)，代入上式得
aij=bij (ij)
所以
A=B
由此可见,二次型与矩阵之间存在一一对应的关系,即任给一 个二次型,唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,唯 一确定一个二次型. 因此,研究二次型的性质,就是研究对称矩阵 A 的性质. 我们把对称阵 A 的秩, 例1 设 称做二次型 f 的秩.
6.1 二次型的定义和矩阵表示
合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2 , ,xn ) a11x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn 2 ann xn
为标准型. 解:
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
2 2 2 I A 2 5 4 2 4 5
( 1)2 ( 10) 0
1 1(二重) 得 2 10
1=1时，解齐次线性方程组
1 3
在新基{1, 2 , 3 }下，二次曲面方程为 y12+ y22 +10y32=1 这是椭球面方程，椭球的三个主轴长度分别为 1 1 1 1 1, 1, 1 2 3 10 三个特征值决定二次曲面的类型。
用正交变换化二次型为标准型,具有保持几何形状不变的优点. f ( x1 , x2 , x3 ) 1 上例中, 为一个椭球面; 2 2 2 y1 y 2 10 y3 1 在新的坐标系下,二次曲面方程 依然是一个椭球面.
an1 xn x1 an 2 xn x2 a x
n i 1
2 nn n
xi (ai1 x1 ai 2 x 2 ain x n )
xi aij x j
i 1 j 1
n
n
aij xi x j
i 1 j 1
n
n
f aij xi x j xi aij x j
I Ax 0
得到线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
γ1
5 5
2,
1, 0 ,
T
γ2
5 15
2,
4, 5
T
2=10 时， 解齐次线性方程组 10 I Ax 0
2 5 5 5 T γ1 , γ 2 , γ 3 5 取正交矩阵 0 则T1AT = diag(1, 1, 10)
2 3
x
4 3
y 16 z 38 0 3 9
配方得 ( x 1 ) 2 2( y 1 ) 2 2( z 4 ) 2 1 3 3 3
再令 x ( x 1 ) 3 y ( y 1 ) 3 z ( z 4 ) 3
x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
得
γ3 1, 2, 2
1 3
T
2 5 4 5 5 15 15
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2 3 2 3
1 3
例１的应用：在自然基{1, 2 , 3 }下，对二次曲面方程
2 2 2 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 5 x2 8 x2 x3 5 x3 1
2 2 d1 y12 d 2 y2 d n yn
x Cy
即寻找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵.
为此,引出合同矩阵的概念.
定义6.2
对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得
B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质：
x T Ax x 2 2 y 2 10 z 2 28 xy 8 yz 20 xz
用类似例1的正交变换法化为平方和:
(2)
13 2 3 2 3 取正交矩阵 T 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 令x = T y, x 1 x 2 y 2 z 3 3 3 即 y 2 x 1 y 2 z 3 3 3 z 2 x 2 y 1 z 3 3 3
叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）.其中系数 a ij 是数域F 中的数，实数域上的二次型简称实二次型.
如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
2 a21x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn
(1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A；
(2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A；
(3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则
A≃C 。
6.2 化二次型为标准形
a
i 1 j 1
T
n
n
ij i
x xj
次型 f 对应的矩阵.
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
x T Ax aij xi x j
i 1 j 1
n
n
bij xi x j x T Bx
i 1 j 1
n
n
则 A=B 证 先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得 aii=bii (i=1, 2, , n) 再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值， Q的n个列向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量.
例１ 用正交变换化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 5 x2 8 x2 x3 5 x3
事实上,当矩阵 Q 为正交矩阵时,线性变换 x Qy 常被称为 正交变换.此时,
x
(1)
, x ( 2) Qy (1) , Qy ( 2) ( y (1) , y ( 2) )


即正交变换具有保持距离不变的特点,当然不会改变图形在不 同坐标系中的形状.
例2
将一般二次曲面方程 x 2 2 y 2 10 z 2 28 xy 8 yz 20 xz 26 x 32 y 28 z 38 0 (1) 化为标准方程（只含平方项和常数项）。 解 将(1)式中二次项部分
第6章 二次型
2 2 在解析几何中,为了研究二次曲线(1) ax bxy cy 1
x x cos y sin 的几何性质,可以选择适当的坐标变换 y x sin y cos
,
将方程(1)化为不含
x, y
混合项的标准型(2)
ax 2 cy 2 1
i 1 j 1
i 1 j 1
n
n
n
n
a11x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 2n n [ x1 , x2 ,, xn ] 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn
x Ax y TCT ACy
C 0
2 2 d1 y12 d 2 y2 d n yn
x Cy
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次 型称其为标准形. 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法 和初等变换法.
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ， 存在正交变换都x =Qy (Q为正交阵)， 使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
(3)
其中x=(x, y, z)T, y=(x', y ', z ', )T
则
T1AT = diag (9, 18, 18)
即 x TA x = yT(TTAT)y=9 x'2+18 y'2 18z' 2 将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程(1)化为
x 2 2 y 2 2 z 2
2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x12 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x4 x3 5 x4
1 2
2 1 则它对应的矩阵为 A 2 1 0
1 0 1 0
0 0 2
0 2 0 5
例2、已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x1 5 x2 cx3 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 2 2
的秩为2，求参数
c
3 1 5 3 5 1 3 1 5 A 1 5 3 0 24 12 0 2 1 解: 3 3 c 0 12 c 9 0 0 c 3
f (α) x T Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数。
如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x=C y