力学_舒幼生_第一章质点运动学
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
第一章 质点力学ppt课件
6.加速度
a lim v dv v d2r r
t 0 t dt
dt2
加速度一定指向轨道的凹侧.
§1.2 速度、加速度的分量表示式
1. 直角坐标系
vr
r x&i
r y&j
r z&k
rrr
vxi vy j vzk
ar
r v&x i
v&y
r j
r v&z k
rr r
&x&i &y&j &z&k
切向加速度
法向加速度
a
set
s2
en
内禀方程
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对
轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自
然的在坐不联标同系描的.a建述描立中述这方的个法物联理中系量有的不与基其同本他的依表坐据标达是系形: 中式速的,度但物它和理们加量的速之v大度间
小和方向是惟一确定的.
质点的位置由坐标量 和r确定, 要明确极角 的正
方向 (即 的增加方向)!
vd drtd drterrddetr
de rlie m r(t t)e r(t)
dt t 0
t
lt i0 m e tr lt i0 m te e
径向速度
横向速度
v r e rr e
a d dv td dt(r e rr e )
（2）牛顿第二定律
质点所获得的加速度的大小, 与它所受作用力的大
小成正比, 与它的质量成反比; 加速度的方向与所受作
用力的方向相同.
m rF mv F
d
(mv)
F
理论力学第一章质点力学
F1 F2
分别作用在两个物体上
重点加深理解的几个问题
(1)牛顿定律是经典力学的基础，核心是牛顿 第二定律； (2)三个定律相互独立;牛顿第一定律是牛顿 第二定律的前提. 牛顿第一定律定义了惯性系,对力给出了定性 定义(力是改变运动状态的原因). 牛顿第三定律与参考系选择无关. (但第三定律只对接触力严格成立). (3) 质量 引力质量＝惯性质量
二、经典力学的相对性原理
（1）惯性系与非惯性系 地球系可近似视为惯性系
x x vt y y （2）伽利略变换式 (不同惯性系之间的变换) z z t t
（3）相对性原理 (不同惯性系之间)
a a
相对性原理的实质:物理定律在不同惯性系是相同的 (物理规律是绝对的)
约束反作用力不作功.
例如 曲面约束的物理意义则表现为曲面的支撑力.
*关于力的属性的说明(3)
保守力、非保守力与耗散力
(线积分)
力的功 W
B
A
B F dr Fx dx Fy dy Fz dz 一般与路径有关.
A
若力的功(线积分)与实际路径无关,仅与始末位置有关, 这种力称为保守力(保守力场). (1)保守力必然存在势能函数
(转动参考系的牵连加速度为 a [ r ( r )] )
(平动参照系的平移加速度为 a0
ma0
)
(3).柯里奥利惯性力 Fc0 2m v
(转动参考系的柯里奥利加速度为aco 2 v
速度矢量方向沿轨道切线方向(运动方向)。
加速度矢量
a lim
t 0
力学舒幼生第一章质点运动学
通过积分，可以得到轨道方程 r r()
33
例 狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都 为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。
求狗的速度、加速度和轨道方程。
狐狸的角速度 d v
dt R
狗有横向和纵向速度
v r,vr v2v2
狗的横向和纵向加速度
a2d dd d r t trd d2 2t,ard d22 rtr d d t2
A (r ,,t) A re r A e
与直角坐标系的变换
xrco ,syrsin
27
正交基矢与极坐标的微分关系
正交基矢只依赖 ，与 r 无关
当θ变化时，正交基矢同时改变方向 满足微分关系
der
de
de de r
e
er
d r(t)
参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展， 构成三维平直空间
参考系：参考空间+测量时间的时钟
z 坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。
时间的零点也可任选
O
y
x
相对运动的参考系
两个参考系之间若有相对运动，
他们观测同一个运动物体 是否会得到相同的距离和时间？
v
z
O
y
x
质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
dt dt
加速度
v(t)
dR
d
R
⊙k
a d v d R d R R v d td t d t a 心 v , a 切 R
22
曲线的曲率和曲率半径
曲率 d dl
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
力学第一章
第一章质点运动学
魏民云
大学物理力学
第一章质点运动学
大学物理
大学物理力学
本课程学习说明：
第一章质点运动学
1、不无故缺勤，不迟到，不早退。有事请假，假条须经辅 导员或系主任签字同意。
2、保持良好的课堂纪律和课堂秩序，注意关闭手机。
3、认真按时完成课后作业（与平时表现合计占本门课程总 成绩的30%），不抄袭。
B
0,
且
A
0,
B
0,则
A∥
B
大学物理力学
第一章质点运动学
矢量导数
㈠ 矢量函数（矢函）
• 一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发 生变化，则为恒矢量；反之则为变矢量，可有 三种情况：大小、方向均变化；大小变化，方
向不变；大小不变，方向变化
• 说一个变矢量 A 是标量 t 的矢函，意味着对应
t 的每一个数值，变矢 都存在A一个确定的矢
量与之对应，记为：
A A( t )
•
分量表示：A(t)
Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
大学物理力学
第一章质点运动学
㈡ 矢量函数的导数
dA / dt
矢端曲线
设⒈矢矢函量A函数A(导t),数在的t定内义矢函
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
A
A(t t)
A(t )
增量为A
A(t
t)
A(t),则 矢函A(t)在t内的
平均变化率为： A/ t [A(t t) A(t)] / t
2019第1章质点运动学共45页PPT资料
v1
反映了速度方向的改变
v2
反映了速度数值的改变
当 即
tv1 沿0时P1 ，点的法线方向0,，A指B向D 曲率2中在心极。限v情2 沿况下P1，点的v切1 线方v向。
v
·
36
∴加速度：
∴
a
lim
v
lim
v1
lim
v2
t0 t t0 t t0 t
x
v0
cos·t
y
v0
sin·t
1 2
gt
2
靶的横坐标始终为 x1 x ，只要证明在t时刻，靶的纵坐标为y即可，
t时刻靶的纵坐标为：
y1
1 2
gt 2
x tan
1 2
gt 2
v0
cos
t
tan
1 2
gt 2
证毕。
v0
sin
t
1 2
gt 2
y
32
三、圆周运动
轨迹为圆周的运动叫圆周运动。是一种重要的运动，旋转的 轮上各点，是刚体力学的基础。分析圆周运动，我们可以采用直 角坐标系，但更为简单的是自然坐标系。
dv dx
dx dt
v
dv dx
adx vdv
x adx vvdv
x0
v0
a x x0
1 2
v2
v
2 0
即v 2
v
2 0
2a x
x0 匀变速直线
当x0
0时，v 2
v
2 0
2ax 匀变速直线,x 0
0
26
举例：
1）自由落体：
2）竖直上抛
忽略空气阻力，为匀加速直线运动， 忽略空气阻力，为匀加速直线运动，
第一章质点运动学习题答案
第一章质点运动学习题答案1-1 质点做直线运动，运动方程为其中以s为单位，以m为单位，求：(1)＝4s时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出-t图、-t图、-t图.解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为（1）（2）（3）当＝4s时，代入数字得：mm/sm/s（2）当质点通过原点时，＝0，代入运动方程得：＝0解得：，代入（2）式得：m/s=－12m/s(3) 将代入（2）式，得解得：s代入（1）式得：12m－6m=6m1.2一质点在平面上运动，运动方程为=3+5,=2+3-4.式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度.解：（1）(2)将,代入上式即有(3)∵∴(4)则(5)∵(6)这说明该点只有方向的加速度，且为恒量.1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为，式中的单位为m，的单位为m/s,试求该质点的速度与位置坐标之间的关系.设时，＝4m/s解：依题意积分得1-5质点沿直线运动，加速度，如果当＝3时，，，求质点的运动方程. (其中以m/s为单位，以s为单位，以m为单位，以m/s为单位)解：加速度表示式对积分，得将＝3s，＝9m，m/s代入以上二式，得积分常数m/s，＝0.75m，则1-6 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即，其中为常量. 若物体不受其他力作用沿方向运动，通过原点时的速度为，试证明在此后的任意位置处其速度为.解：根据加速度定义得：，因，代入上式，分离变量，整理后得：，应用初始条件，两边积分得得即有：1-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质点的速度矢量和加速度矢量的标积等于零，即解：以直角坐标表示的质点运动学方程为以矢量形式表示的指点运动学方程为速度和加速度分别为所以1-8一质点在平面内运动，其运动方程为，其中均为大于零的常量.(1)试求质点在任意时刻的速度；(2)证明质点运动的轨道为椭圆；(3)证明质点的加速度恒指向椭圆的中心.解：（1）质点在任意时刻的速度（2）由消去，可得轨道方程可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动（3）加速度因为>0，所以的方向恒与反向，即恒指向椭圆中心.1-9路灯离地面高度为，一个身高为的人，在灯下水平路面上以匀速度步行. 如图所示，求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小.解：建立如图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的移动速度为，则由图中可看出有，则有所以有1-10 1.10质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2)为何值时，加速度在数值上等于．解：（1）则加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即∴当时，1-11质点做半径为20cm的圆周运动，其切向加速度恒为5cm/s，若该质点由静止开始运动，需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍.解：质点圆周运动半径＝20cm，切向加速度＝5cm/s，时刻速度为，法向加速度为，因此有（1）当时，s（2）当时，s1-12 (1)地球的半径为6.37m，求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度. (2)地球绕太阳运行的轨道半径为1.5m，求地球相对于太阳的向心加速度. (3)天文测量表明，太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动，半径为2.8m，速率为2.5m/s，求太阳系相对于银河系的向心加速度.解：（1）地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为m/s（2）地球相对太阳的向心加速度为m/s（3）太阳系相对银河系的向心加速度m/s1-13 以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径．解：设小球所作抛物线轨道如题1-13图所示．题1-13图(1)在最高点，又∵∴(2)在落地点，,而∴1-14一架飞机在水平地面的上方，以174m/s的速率垂直俯冲，假定飞机以圆形路径脱离俯冲，而飞机可以承受的最大加速度为78.4m/s，为了避免飞机撞到地面，求飞机开始脱离俯冲的最低高度. 假定整个运动中速率恒定.解：设飞机以半径为圆形路径俯冲，其加速度为当为飞机所能承受的最大加速度时，即为最小，所以m1-15一飞轮以速度rev/min转动，受制动而均匀减速，经s 静止，求(1) 角加速度和从制动开始到静止飞轮转过的转数；(2) 求制动开始后，s时飞轮的角速度；(3) 设飞轮半径=1m，求s时，飞轮边缘上一点的速度和加速度.解：（1）飞轮的初角速度，当s时，；代入得从开始到静止，飞轮转过的角度及其转数为：radrev（2）s 时，飞轮的角速度为rad/s（3）s 时，飞轮边缘上一点的速度为m/s相应的切线和法线加速度为m/sm/s1-16一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为，式中以弧度计，以秒计，求：(1)＝2s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成角时，其角位移是多少？解：(1)时，(2)当加速度方向与半径成角时，有即亦即则解得于是角位移为1-17一圆盘半径为3m，它的角速度在＝0时为3.33rad/s，以后均匀地减小，到＝4s时角速度变为零. 试计算圆盘边缘上一点在＝2s时的切向加速度和法向加速度的大小.解：角速度均匀减小，因此，角加速度为rad/s圆盘做匀角加速度，故有当s时，rad/s法向和切向加速度分别为m/s＝－7.8 m/s1-18某雷达站对一个飞行中的炮弹进行观测，发现炮弹达最高点时，正好位于雷达站的上方，且速率为，高度为，求在炮弹此后的飞行过程中，在(以s为单位)时刻雷达的观测方向与铅垂直方向之间的夹角及其变化率(雷达的转动角速度)解：以雷达位置为坐标原点，取坐标系如图所示，根据题意，炮弹的运动方程为可解得：（1）则将（1）式两边对求导数，得则有1-19 汽车在大雨中行驶，车速为80km/h，车中乘客看见侧面的玻璃上雨滴和铅垂线成角，当车停下来时，他发现雨滴是垂直下落的，求雨滴下落的速度.解：取车为运动参考系，雨滴相对于车的速度为，雨滴对地速度为，车对地的速度为，相对运动速度合成定理为见如图所示的速度合成图，则有m/s1-20一升降机以加速度1.22m/s上升，当上升速度为2.44 m/s时，有一螺帽自升降机的天花板松落，天花板与升降机底面相距 2.74m，计算：(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.解：以升降机外固定柱子为参考系，竖直向上为坐标轴正向，螺帽松落时升降机底面位置为原点. 螺帽从＝2.74m处松落，以初速度＝2.44m/s做竖直上抛运动，升降机底面则从原点以同样的初速度做向上的加速运动，加速度＝1.22m/s，它们的运动方程分别为螺帽：底面：螺帽落到底面上时，，由以上两式得＝0.705s（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为m1-21某人骑自行车以速率向西行使，北风以速率吹来（对地面），问骑车者遇到风速及风向如何？解：地为静系E，人为动系M。
质心运动课件
一.质心动能定理 (科尼希定理)
一个质点组的质心在C，如图．
z S
ric C
mi
rc
对某参照系S， 定义：
O
ri
EC
1 2
MvC2
——质心动能
x
y
是否相等？
Ek
i
1 2
mi
vi2——质点组总动能
可以证明：
对 质某点参组照 总系 动， 能：Ek EC ErC
——质心动能定理 (科尼希定理)
质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能
ErC
vrriiCC
i
1 2
mi
vi2C
是质点组相对质心的总动能
是第i个质点相对于质心C的位 速率矢
18
科尼希定理: Ek EC ErC 证明如下： z
r riC
是第i
个质点相对于质心C的位矢
如图：对某参照系S，
ri
v
2 i
rC
i
1 2
mi vi2C
i
1 2
mi
2vC
viC
19
Ek
i
1 2
mi vC2
i
1 2
mi vi2C
i
rr mivC viC
r r r mivC viC vC
r mi viC
vC
0
0
i
i
质心系中质点组总动量
＝质心系中的质心动量
Ek
i
1 2
dLrC dt
M rC
质点组对质心的 角动量变化定理
质点组的角动
质点组相对于质心的角动量的时间 量变化定理在
变化率 = 各外力对质心的总力矩
第1章 质点运动学优秀课件
时间 ：1秒（1s）
1967年以前，规定地球自转的平均太阳日（24小 时）的1/86400；
1967年13th 计量大会，1s＝Ce133原子基态的两个 超精细能级之间跃迁辐射周期的 9 192 631 700 倍的 持续时间，（即铯钟）。
质量 ：1千克（1kg）
1901年3rd 计量大会规定，巴黎度量局保存的国际 “千克器”的质量＝1kg；
1967年，13th 计量大会规定了“原子质量单位”： 1u ＝ 碳的同位素C12原子质量的1/12为一个原子质 量单位，即1.66056510-27kg。1kg随之定义
二、质点运动的描述
对象的描述
参考系
描述方式
质点：无形状、大小，具有一定质量 ｍ 并在空间占有
某一位置的点。是实际物体的一个理想模型（物体大 小比问题涉及距离小的多，考虑物体整体移动，不考 虑其转动和形状的变化）。
显然，1）任何一个物理量都必须有确定的量纲 2）只有量纲相同的物理量才能进行比较，或加减操作 3）任何物理方程，左右两边的量纲也必须相同
物理量的可测性
物理上，采用操作定义来确定其测量值，力学3个 基本单位的定义： 长度：1米 / 1m 时间：1秒 / 1s 质量：1千克 / 1kg 其他：位置：定义空间参考点后,
质点问题 变速运动
矢量性：运动学、动力学
物理量（ r
v
a
F ）的规律
瞬时性：变力问题，微积分
相对性：惯性、非惯性系 质点系问题 质心运动定律
Ft mv2 mv1
合外力为零时，系统动量守恒
质 (碰撞心的)
动量及动量守恒定律 角动量定理及角动量守恒定律
➢ 动能定理和机械能守恒定律 转 动能定理及机械能守恒定律
基础物理课件PPT-第2讲-力学第一章-质点运动学
1.运动函数 机械运动是物体(质点)位置随时间的改变 轨道方程 在坐标系中配上一套同步时钟，
位置坐标和时 间的函数关系 r r(t)
—— 运动函数
轨道方程
•直角坐标系 r ( t ) x( t )i y( t ) j z( t )k
分量方程 x x( t ); y y( t ); •平面极坐标系 r r( t )er
s
lim r lim
t0 t
t0 t
v r
或
v
rz
考虑方向后,可写成 v r
s Orn
k
同理有(自证):
a a ann
a
d
dt
r dz
dt
rz
an
v2 r
r
2
27
三.圆周运动
v(t t) v(t)
v匀速v(率)常圆周量运动：
v v( t t ) v( t )
vv (tv (tt))
切线方向
法线方向n
P
o
τ
P
•O s
n
6
第1章 质点运动学
§1-3. 位置矢量与轨道方程
Z
一. 位置矢量(位矢、矢径)
z
P
(position vector of a particle) 位矢：从原点O指向运动质点的矢量
用1.直来角确坐定标某系时:刻质r 点位xi置的y矢j 量zk
r
k
xi0
X
r
j
·
y
),求v,a
,
微分
v
dr dt
;
a
dv dt
d
2
r
dt 2
2.已知a 和某时刻t0 时的r0 ,v0 ,求任意时刻的 r ( t ),v ( t ),
第一章质点力学1-4
在开普勒定律三定律的基础上，牛顿结合他的第三 运动定律得到了万有引力定律（1687年），进一步阐明 了天体运行的动力学规律。
由开普勒定律第三定律得到牛顿万有引力定律,是个动力学逆问题。
15
第一章 质点力学
r + dr
dθ
r θ
dr
太阳
x
角动量守恒
16
第一章 质点力学
17
第一章 质点力学
(2) r = r (θ )已知时 , 把 r (θ ) ⇒ µ (θ ), 可求出 F (µ ) ⇒ F (r ).
(3) 如果把 θ → −θ , 即 dθ → d (− θ ) , dθ 2 → [d (− θ )]2 时方程不变 .
因此, 若 µ = µ (θ ) 是方程的解, 则 µ = µ ( −θ ) 也是它的解,
换句话说 , 轨道对 θ = 0 是对称的, µ 是θ 的偶函数 . 可见, 凡是在有心力作用下的 质点运动轨道 , 总是有对称轴
(即极轴 ).
9
第一章 质点力学
三、平方反比引力－行星运动
SUN、EARTH、MOON
可见，平方反比引力下行星的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。
10
第一章 质点力学 在B点 故 在B点
11
第一章 质点力学 （可否用E做判据？）
12
第一章 质点力学
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第一章 质点力学
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开普勒定律时在大量观测资料的基础上总结出来的.
开普勒三定律
第一、二、定律（1609年） 第三定律（1619年）
第一定律: 行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上. 第二定律: 行星和太阳之间的联线(矢径)在相等的时间里所扫 过的面积相等. 第三定律: 行星公转周期的平方和轨道长半轴的立方成正比.
力学舒幼生讲义
力学舒幼生讲义力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动规律以及力的作用。
在我们日常生活中，力学无处不在。
从我们走路、开车、骑自行车，到天空中飞行的飞机、行驶的火车，都涉及到力学的运用。
力学的基本概念和原理对于我们理解和应用物理学都具有重要意义。
在物理学中，力学分为静力学和动力学两个部分。
静力学主要研究物体处于平衡状态时的力学问题，而动力学则研究物体在运动过程中的力学问题。
让我们来了解一下静力学的基本概念。
静力学研究的是物体处于静止状态时的力学问题。
其中，最基本的概念是力和力的平衡。
力是物体之间相互作用的结果，它可以改变物体的状态，例如改变物体的形状或者使物体加速。
力的大小可以用牛顿（N）作为单位进行表示。
力的平衡是指物体所受到的所有力相互抵消，物体保持静止或者匀速直线运动的状态。
在静力学中，我们还学习了杠杆定律、浮力以及摩擦力等概念和原理。
接下来，我们来了解一下动力学的基本概念。
动力学研究的是物体在运动过程中的力学问题。
其中，最基本的概念是质点和力学运动学。
质点是物理学中最简单的模型，它可以看作没有大小和形状的点。
力学运动学则研究物体的运动状态，包括位置、速度和加速度等。
在动力学中，我们学习了牛顿三定律，这是力学的基石。
第一定律也被称为惯性定律，它描述了物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律描述了物体所受合力与物体的加速度之间的关系。
第三定律则描述了物体之间相互作用的力具有相互作用、大小相等、方向相反的特点。
除了基本概念和原理外，力学还涉及到一些重要的分支和应用。
例如，静力学的扩展——弹性力学研究的是物体在受力后发生形变的力学问题。
弹性力学在工程学中有着广泛的应用，用于设计和分析建筑结构、机械零件等。
另外，动力学的扩展——刚体力学研究的是物体形状和大小不变的力学问题。
刚体力学在机械工程和航天工程中有着重要的应用，用于设计和分析机械系统和航天器的运动。
总结起来，力学舒幼生讲义涵盖了静力学和动力学的基本概念和原理，以及一些相关的分支和应用。
(完整版)第1章质点力学
第1章质点力学1-1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2 (SI ),则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ______________ ;质点所走过的路程为 __________________ 。
1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2( SI )，如果质 点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4 一质点沿半径 R 的圆周运动，运动方程为 =3+2t 2( SI )，贝V t 时刻质点的法向 加速度大小为 a n __________________________ ；角加速度 = ___________________ 。
1-5某质点的运动方程为x= 3t-5t 3 +6 (SI ),则该质点作(A) 匀加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向。
(B )匀加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向。
(C )变加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向。
(D )变加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向。
1-9 一质点作直线运动，其坐标 x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第1-10 一物体作斜抛运动，初速度 v 0与水平方向夹角为，如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径为 _________________ 。
题1-11图A 点处速度V 的大小为v ，其方向与a t = ,轨道的曲率半径________ 秒瞬时速度为零；在第 __________ 秒 至第 ________ 秒间速度与加速度同方向。
1-11 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道 水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度题1-10图1-12在相对地面静止的坐标系内， A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（ x 、y 方向单 位矢用i 、j 表示），那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为：（A ）2i 2j（ B ） 2i 2j（C ） 2i 2j （ D ）2i 2j[]t 时刻其速度 v = ___________ 加速度的大小 a t = _______ ;该质点运动的轨迹是 ___________1-26 一质点沿x 轴作直线运动，它的运动方程为x=3+5t +6t 2_ t 3（ SI ），贝V（1） 质点在 t=0时刻的速度 V 0 =________________ ; （2） 加速度为零时，该质点的速度 v= ______________ 。
力学舒幼生讲义
力学舒幼生讲义力学是物理学的一个分支，研究物体的运动和力的作用。
舒幼生讲义是一本介绍力学知识的教材，本文将围绕这个主题展开讨论。
一、力学的基本概念力学研究的对象是物体的运动和力的作用。
物体的运动可以是平动，也可以是旋转。
力是导致物体发生运动或形变的原因，可以是接触力或非接触力。
二、牛顿三定律牛顿三定律是力学中的重要定律，它们分别是惯性定律、动量定律和作用反作用定律。
惯性定律指出物体的运动状态只有在受到外力作用时才会发生改变。
动量定律描述了物体的动量变化率等于作用在物体上的力。
作用反作用定律表明任何作用力都会有一个相等大小、方向相反的反作用力。
三、质点运动学质点运动学研究的是质点在空间中的运动。
质点是一个集中质量的物体，可以忽略其大小和形状。
质点的运动可以是直线运动、曲线运动或周期性运动。
质点的运动可以用位移、速度和加速度等物理量来描述。
四、刚体力学刚体是一个具有固定形状的物体，其内部各点之间的相对位置保持不变。
刚体力学研究的是刚体的平衡和运动。
刚体的平衡需要满足力的平衡和力矩的平衡两个条件。
刚体的运动可以是平动和旋转运动，可以用质心的运动和刚体的转动来描述。
五、力的合成与分解力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。
力的合成可以用平行四边形法则或三角形法则来进行。
力的分解是指将一个力分解为多个力的过程。
力的分解可以用正交分解法或平行分解法来进行。
六、万有引力万有引力是一种非接触力，是由于物体之间的引力作用而产生的。
万有引力的大小与物体的质量成正比，与物体之间的距离的平方成反比。
万有引力是质点运动中的重要力之一，也是行星运动和天体运动的基础。
七、动力学动力学研究的是物体的运动和力的关系。
动力学可以分为静力学和动力学两个方面。
静力学研究物体在平衡状态下受到的力的平衡条件。
动力学研究物体在非平衡状态下受到的力和物体的运动规律。
八、能量守恒定律能量守恒定律是力学中的重要定律，它指出一个系统的能量在封闭过程中保持不变。
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例 空心入篮
抛射角
1 2
y
1 2 x vt cos 2 gt sin 1 2 1 2 y vt sin 2 gt cos 1 2 2v sin 2 t y0 g cos1
2 gx cos 1 2 A v sin(2 1 ) sin 1
不能反映各个时刻的运动
x 瞬时速度 v lim t 0 t
瞬时速度，简称速度
dx v dt
2
加速度
dv d x a 2 dt dt
如果已知加速度随时间的变化
v(t ) v0
v (t )
v0
dv a(t )dt
t0 t t0
t
v(t ) v0 a(t )dt x(t ) x0 v(t )dt
第一章 质点运动学
1.1 空间和时间
时间和空间的测量
绝对时空观 绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关， 始终保持着相似和不变。 绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地 流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿——《自然哲学的数学原理》 时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系
参考系
斜面底部从静止开始匀加速离开斜面。若A不能追上B，试求B 的加速度a的取值范围。 A 分析：a越小，A越能追上B， 先求A恰能追上B的加速度临界值。 设A滑到底部的速度为vA，所用时间为t1
B
vA t1 g sin
路程 速度
经t2时间，A恰能追上B的条件
1 a g sin 2
1 v At 2 a(t1 t 2 ) 2 2
物体运动的初始状态与积分常数一一对应
1.2.2 三类直线运动
直线运动可按加速度为零、常量和变量分为： 匀速、匀加速和变加速
例 简谐振动
2 3
x A cos(t 0 ) v A sin(t 0 )
a 2 A cos(t 0 ) 2 x
例 小球A在倾角为φ的光滑斜面顶部从静止下滑，同时小球B在
t0 t0
t
t
t
0
b(t t0 )]dt
1 v v0 [a0t b(t t0 ) 2 ] 2 t0 1 1 2 2 [a0t b(t t0 ) ] [a0t0 b(t0 t0 ) ] 2 2
1 v v0 a0 (t t0 ) b(t t0 ) 2 2
参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。
参考系：参考空间+测量时间的时钟 z 坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。 时间的零点也可任选
O
x
y
相对运动的参考系
两个参考系之间若有相对运动， 他们观测同一个运动物体 是否会得到相同的距离和时间？
再求 t 时刻的位置 微分关系式
t t
dx vdt
t
1 两边积分 dx vdt [v0 a0 (t t0 ) b(t t0 ) 2 ]dt t0 t0 t0 2
1 1 2 3 x x0 v0 (t t0 ) a0 (t t0 ) b(t t0 ) 2 6
d d 2 角加速度 2 dt dt d R 速度 v R dt
dv v (t ) v (t dt) dv
d
dv//
圆周运动加速度可分解为 dv dv dv// a a心 a切 dt dt dt
v
2
O
x
A
xA
1
水平线
无极大值，但有极小值
极小值对应的抛射角 0 45
1
2
1.3.2 自然坐标系分解
自由度：确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目。 限定在一条曲线上运动：
限定在圆周上运动：
x y R
2 2
2
曲面上运动的质点最多有两个自由度
圆周运动
d 角速度 dt
dr dx dy 速度 v i j r dt dt dt
O
加速度
P yj xi r (t ) r (t t )
r
Q
x
2 dv d r dvx dvy a 2 i j r dt dt dt dt
O
这个运动方程有两个分量式
r (t )
x
x x(t ), y y(t )
平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动
t 时刻质点位于P处，位置矢量 r (t ) t + dt 时刻质点运动到Q处，位矢 r (t t ) 位移 r r (t t ) r (t ) y
平均速度 切线
Q
x v t
x(t t ) x(t )
割线
P
t
x
瞬时速度
x v lim t 0 t
O
t
某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起来 求导 ↔ 积分 历史上，正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要 一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。
x 平均速度 v t
v
z
O
x
y
质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
由简到繁 质点——质点系
1.2 直线运动
1.2.1 位移 速度 加速度
直线运动的运动方程 x x(t )
x
x(t ) x(t t )
位移
x x(t t ) x(t )
矢量的标量化：引入正负号即可表示方向
平均速度和瞬时速度 x
t0 t
( x, v ) 质点的初始运动状态： ( x0 , v0 )
质点的运动状态：
例题 物体在 t0 时刻的初始运动状态为(x0,v0)， 加速度 a a0 b(t t0 ) 求 t 时刻的位置和速度
先求 t 时刻的速度 微分关系式 两边积分
t t0
dv adt
dv adt [a
vA a(t1 t2 )
1 B的加速度a的取值范围 a g sin 2
1.3 平面曲线运动
直角坐标系
自然坐标系
极坐标系
1.3.1 直角标系分解
在质点运动的平面上建立直角坐标系Oxy 位置矢量
r xi yj
y
P
质点的平面曲线运动方程
r r (t )