第四节 矩阵秩与矩阵的等价标准形

r ( AB ) ≤ r ( A) ≤ 5 < 6 ∴ A6×5 B5×6 = 0
永远是奇异矩阵 有可能是非奇异矩阵
1 0 1 0 0 = 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
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例4
设 n 阶方阵 A 满足 A = E ,
又 r ( P ) + r (Q ) ≤ 3
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小结: 小结: 矩阵秩的定义，矩阵秩的求法，矩阵的等价标准形， 矩阵秩的定义，矩阵秩的求法，矩阵的等价标准形， 关于矩阵秩的一些结论． 关于矩阵秩的一些结论．
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作业: 作业
P65 9; P88 18;19;20;
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(B) t = 6 时, 必有 r(P) = 2 (C) t ≠ 6 时, 必有 r(P) = 1 (D) t ≠ 6 时, 必有 r(P) = 2 首先, 首先 1 ≤ r ( P ) ≤ 3, 1 ≤ r (Q ) ≤ 2
t = 6 时, r (Q ) = 1, t ≠ 6 时, r (Q ) = 2
n r( A) = n (9) r( A∗ ) = 1 r( A) = n − 1 ( A是n 阶方阵) 0 r( A) < n − 1
r ( A), k ≠ 0 (10)∀k ∈ R, r ( kA) = k=0 0
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例3
A6×5 B5×6 = ?
( AB )6×6 ×
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三.矩阵的等价标准形 矩阵的等价标准形 例1
1 2 −1 −1 1 −2 1 1 4 − 6 2 −2 3 6 −9 7 2 4 4 9
r1 ↔ r2
1r 2 3
1 −2 1 1 1 2 −1 −1 2 − 3 1 −1 3 6 −9 7
Er A→ 0 0 0
是唯一的。 的秩。 中 r 是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。 于是得到求秩的方法： 于是得到求秩的方法： 行(列)变换 → T (行阶梯形矩阵 ) A 则： r ( A ) = T 的台阶数
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例1
求矩阵 A 的秩
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 − 1 4 1 6 − 4 − 1 4 1 − 1 0 − 4 3 0 0 0 4 − 8 0 0 0 0 0
定理3 等价标准形定理) 定理3 (等价标准形定理 等价标准形定理 用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形 用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形 相抵标准形）： （也称相抵标准形）： 也称相抵标准形
Er O 等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
O O
其中r 其中 为矩阵的秩
2 3 1
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2、矩阵的秩： 如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶 、矩阵的秩： 子式，且所有ｒ＋ 阶的子式（如果存在的话） ｒ＋１ 子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全 等于零, 记为r( ＝ｒ. 等于零, 称ｒ为A的秩, 记为r(A)＝ｒ.
1 3 −2 例如 A = 0 2 − 1 − 2 0 1 1 1 3 =2≠0 0 0 2 −2
1 0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 0 0 4 1 0 3 列变换 0 → 0 1 −3 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0
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定理4 定理4
设A, B均为m × n矩阵，则以下三个条件 等价： 矩阵， 等价：
(1) A与B等价； 等价；
( 2) 秩A等于秩 B; 等于秩
使得: ( 3) 存在 m 阶可逆矩阵 P和n阶可逆矩阵 Q , 使得:
B = PAQ
(证明略) 证明略) 推论1 设秩( A) = r , 则存在 m 阶可逆矩阵 P与n阶可逆矩阵 Q , 推论1
1 − 2 2 −1 0 ~ 2 −4 8 A= −2 4 −2 3 3 −6 0 −6
~ r( A) = 2, r( A) = 3
1 2 3 4
r
1 − 2 0 0 0 0 0 0
2 − 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
没有
r -1 满秩矩阵
r(A) = r(AT)
(6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) = n 为 (7) A = O 的充要条件是 r(A) = 0
r （8） 如果A ≠ 0 则： ( A) ≥ 1 ）
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二、秩的求法： 秩的求法： 秩的基本定理 初等变换不改变矩阵的秩。 初等变换不改变矩阵的秩。 即: A ~ B , 则: r ( A) = r ( B ) 例1. 求下列矩阵的秩 1 2 4 3 3 2 1 (1) A = 0 1 2 ( 2) B = 0 6 1 4 0 0 0 2 0 0 0 3 2 解: (1) =3≠0 而 A = 0 ∴ r ( A) = 2 0 1 1 2 3 ( 2) 0 6 4 = 12 ≠ 0 而４阶子式不存在 ∴ r ( B ) = 3
0 0 2
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由以上例子说明: 阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！ 由以上例子说明 阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！ 秩的基本定理又可叙述为 秩的基本定理又可叙述为: 又可叙述为 r (P m A m×n Q n ) = r (A) × (其中 P，Q 是可逆矩阵 其中 ， 是可逆矩阵) 注：该定理回答了矩阵标准形
r3 + 5r2 r4 − 3r2
1r 2 2
4 0 0 2 − 6 0 1 − 3
r3 ↔ r4
r4 − 2r3
r1 − r2 r2 − r3
1 0 0 0
0 −1 1 −1 0 0 0 0
0
4 0 3 1 − 3 0 0
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如果我们对矩阵
1 0 0 0 1 −2 1 1 −1 1 0 0
4 2 2 9
r2 − r3 r3 − 2r1
r4 − 3r1
1 −2 1 4 1 2 −2 2 0 0 0 − 5 5 − 3 − 6 0 3 −3 4 − 3
1 0 0 0 1 −2 1 1 −1 1 0 0 4 0 0 1 − 3 0 0 0
2
证明 r ( E + A) + r ( E − A) = n A 2 = E ⇒ ( A + E )( A − E ) = O
⇒ r( A + E ) + r( A − E ) ≤ n ⇒ r ( E + A) + r ( E − A) ≤ n ( A + E ) + ( E − A) = 2 E
Er 使得A = P 0
0 Q 0
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三、秩的一些重要性质
(1) 0 ≤ r( Am×n ) ≤ m {m, n} in
(2) r( AT ) = r( A)
(3) r(PAQ) = r(PA) = r( AQ) = r( A) (P,Q 可逆)
(4)r ( AB ) ≥ r ( A) + R( B ) − k , 其中 为 m × k B为 k × n 其中A为 为 (5)r ( AB ) ≤ min[ r ( A), r ( B )], (6)r ( A ± B ) ≤ r ( A) + r ( B ) 其中 和Ｂ均为 m × k 其中A和
3 −2 2 2 −1 3 = 0 0 1 5 1 0
2 规定:零矩阵的秩是零 零矩阵的秩是零. 规定 零矩阵的秩是零 3 5 1 3 2 3 −2 0 2 3 =0 2 −1 = 0 −2 0 5 0 1
r ( A) = 2
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−2 2 −1 3 = 0 −2 1 5
回答下面问题： 回答下面问题： (1) 矩阵的秩是否惟一 当然惟一 矩阵的秩是否惟一? (2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是 r(A)≤min(m, n) 其秩最大可能是? × (3) A 有一个 r 阶子式不为零 其秩至少是 r(A)≥r 阶子式不为零,其秩至少是 其秩至少是? (4) 如果 有一个 r 阶子式不为零 且所有 r + 1 阶都等于零 有没有 如果A 阶子式不为零, 阶都等于零, r + 2 阶不为零的子式？ 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零 A 的秩最 阶不为零的子式？ 阶子式都等于零, 大可能是 多少? 多少 (5) r(A) = r(AT)?
第二章 矩阵理论基础
§2.1 矩阵的运算 §2.2 n阶(方阵的)行列式 n阶 方阵的) §2.3 可逆矩阵 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.5 矩阵分块法 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则
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§2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形
建议只用行变换
r
r( A) = 3
阶梯形不唯一
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例2
~ r( A) 和 r( A) = r[ A | b] 求
1 − 2 2 − 1 1 0 2 −4 8 2 A= , b = 3 −2 4 −2 3 3 − 6 0 − 6 4
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Baidu Nhomakorabea
A (7) m {r( A), r(B)} ≤ r ≤ r( A) + r(B) ax B
m {r( A), r(B)} ≤ r[ A B] ≤ r( A) + r(B) ax
r( A) ≤ r[ A b] ≤ r( A) + 1 (b 是列向量)
(8) r( A) = r( AT A) = r( AAT )
证
⇒ r ( A + E ) + r ( E − A) ≥ r ( 2 E ) = n
⇒ r ( E + A) + r ( E − A) ≥ n
思考： 设 思考： n 阶方阵 A 满足 A2 = A, 证明 r ( A) + r ( A − E ) = n
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1 2 3 例5 P3× 3 ≠ O , Q = 2 4 t , PQ = O 3 6 9 则 (A) t = 6 时, 必有 r(P) = 1
主要内容： 主要内容：一、秩的定义； 秩的定义； 二、秩的求法； 秩的求法； 三、矩阵的等价标准 形 四、一些重要的性质
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一、秩的定义 1、k阶子式： m × n 矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这 、 阶子式 在 阶子式： 阶行列式, 些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式 阶子式. 称为 A 的 k 阶子式
1 0 1 0 A = 1 2 2 1 例如 2 2 3 1 0 0 1 2
2 1
等等, 它们都是二阶子式. 2 2 等等 它们都是二阶子式
1 0 0 1 2 1 2 2 1
1 1 0
等等, 它们都是三阶子式. 1 2 1 等等 它们都是三阶子式
说明： ） 说明：1）1 ≤ k ≤ min[ m , n] k k 每一个元素都是一阶子式. 每一个元素都是一阶子式 k 2） 阶子式共有 C m C n 个 ）