《初中数学》数学分析-第一章第一节：极限(文字版)

国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
一、实数的完备性
二、极限
（一）实数的完备性
（一）极限的定义
1、确界
（二）极限的基本性质
2、单调数列
1、数列极限的性质
（二）关于实数完备性的三个基本定理 2、函数极限的性质
1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
x M ,则 M 是 S 的下界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最大下界，则称 M 是数集 S 的下确界，记作M inf S .
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一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n} 的各项满足关系式an an1 ，则{a n} 为递增数 列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.
存在 N 0 ，使得当 n, m N 时，有 an am 成立.
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二、极限
【极限的定义】
定义一：
lim
n
xn
A :
0, 正整数N，当n
N时，有
xn
A
பைடு நூலகம்
.
若xn存在极限（有限数）， 又称{xn}收敛，否则称 {xn}发散.
x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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一、实数的完备性
【确界】
下确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
一、实数的完备性 （一）实数的完备性
1、确界 2、单调数列 （二）关于实数完备性的三个基本定理 1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
二、极限 （一）极限的定义 （二）极限的基本性质
1、数列极限的性质 2、函数极限的性质 3、两个重要极限 （三）求极限的方法 1、变量替换与重要极限法 2、等价无穷小因子替换 3、洛必达法则 4、利用夹逼法
国家教师资格证考试笔试
初级中学-数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
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I 高等数学基础知识 II 高中数学学科知识
定义二：
lim f (x) A: 0,正数M，当x M时，有 f (x) A .
x
定义三：
lim
nx0
f (x)
A :
0, 正数，当0
x - x0
时，有
f (x) A
.
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二、极限
【极限的定义【】例】
证选 明择 题题
（三）求极限的方法
计选
1、两个重要极限
算择 题题
2、变量替换与重要极限法
3、等价无穷小因子替换
4、洛必达法则
5、利用夹逼法
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一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
III 初中数学学科知识
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I 高等数学基础知识
第一章 数学分析
II 高中数学学科知识
III 初中数学学科知识
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考试重点 考试重点 考试重点 考试重点 考试重点
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x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
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二、极限
【极限的定义】【例】
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ D ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
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一、实数的完备性
【三个基本定理】
确界原理：设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若S 有 下界，则 S 必有下确界。 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。 柯西收敛准则：数列{a n} 收敛的充要条件是：对任意给定的 0 ，